北师大版八下数学第一章三角形的证明测试题B卷(含详解)

八年级下册第一单元测试题(B)

（满分100分，60分钟）

一、选择题(每题3分，共30分)

1. 已知等腰三角形的两边长分别为5 cm、2 cm，则该等腰三角形的周长是（）A．7cm B．9 cm C．12 cm或者9 cm D．12 cm

2.如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB, BC=5，AE=4，则CH的长是（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

第2题第3题第4题

3. 如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（）

A．2 B．C．D．3

5. 如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则DE的长为（）A．3B．5C．6 D．8

6.如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）

A．6 B．12 C．32 D． 64

7.如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，D 是AB 上一点，且DB=DC ， 过BC 上一点P ，作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥DC 于F ，已知：AD:DB ＝1:3，BC=64，则PE+PF 的长是（ ） （A ） 64 （B ） 6 （C ）62 （D ）24

第5题 第6题 第7题 8.如图，一张直角三角形的纸片，象图中那样折叠，使A 与B 重合，∠B=30°，AC=3，则折痕DE 的长为( )．

A 、1

B 、

23 C 、3 D 、21

第8题

9.在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点P 在坐标轴上，若以P 、O 、A 为顶

点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P 最多有（ ）

A 、10个

B 、8个

C 、6个

D 、4个

10. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a ，则其底边上的高是 .

A 、a 2或

a 21 B 、a 23或a 2 C 、a 23 D 、a 23或a 2

1

二、填空题(每小题4分，共20分)

11.命题“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题是 .

12. 正三角形的边长为a ，则它的面积为 ．

13.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这

个三角形中 ___．

14. 如图，△ABC 中，AB=AC ，DE 垂直平分AB ，BE ⊥AC ，AF ⊥BC ，则∠EBC= °．

15.在等腰△ABC 中，∠A=30°，AB=8，则AB 边上的高CD 的长是 ．

三、解答题

16.(7分) 如图所示，Rt △ABC 中，，D 是AB 上一点，BD=BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于点E ，CD 交BE 于点F 。求证：BE 垂直平分CD 。

17. (10分) 在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，且AE ＝

2

1

（AB ＋AD ），求∠ABC ＋∠ADC 的度数．

A B

C E

D F

18. (10分)如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，求：BC的长。

19.(11分)已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．

(1)当∠A满足什么条件时，点D恰为AB的中点?写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；

(2)在(1)的条件下，若DE＝1，求△ABC的面积．

20.(12分)△ABC中，AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．

（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF是_________三角形；

（2）若∠BAC=∠DAE≠60°

①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；

②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．

第2题

2.如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB, BC=5，AE=4，则CH的长是（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

拆解

第3题

3. 如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（）A．2 B．23C．3D．3

拆解

交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于1

2

MN的长为半径画弧，两弧交于

点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；

③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1:2．正确的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

拆解

【答案】C

【解析】①根据作图的过程可知，是∠的平分线，故①正确.

②∵在△中，∠90°，∠30°，所以∠60°.

又因为是∠的平分线，所以∠∠∠30°，

所以∠90°－∠60°，故②正确.

③因为∠∠30°，所以，所以点在的中垂线上，故③正确.

④因为在中，∠30°,所以，

所以，所以.

因为，

所以，

所以，故④不正确.

综上所述，正确的结论是①②③，共有3个，故选C.

【题型】选择题

【一级知识点】图形的性质

【二级知识点】角

【三级知识点】角平分线性质定理

【试题评价】中理解后进行简单运用

垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则DE的长为（）A．3B．5C．6 D．8

拆解

【答案】C

【解析】由BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，可得△ABQ≌△EBQ,

∴AB=BE，

同理AC=CD，

∵BE+CD=AB+AC=26-BC=26-10=16，

∴DE=BE+CD-BC=16-10=6.

【题型】选择题

【一级知识点】图形的性质

【二级知识点】直线、射线、线段

【三级知识点】线段的垂直平分线的性质定理

【试题评价】中理解后进行简单运用

第6题

6.如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）

A．6 B．12 C．32 D． 64

拆解

【答案】C

【解析】∵△A1B1A2是等边三角形，

∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=60°，

∴∠1=∠4-∠MON=60°-30°=30°

同理：A2B2=A3 B2，∠6=30°，

∵∠1=∠MON=30°

∴A1B1=OA 1=1

∵A2B1 = A1B1，

∴A2B1 = 1，

∵∠5=180°-∠1-∠3=180°-30°-60°=90°，∠6=30° ∴A 2B 2=2 A 2B 1， 又∵A 2B 2=A 3 B 2， ∴A 3B 2=2 A 2B 1=2，

同理：A 4B 3=2 A 3B 2=4B 1A 2=4， 以此类推可得：A 7B 6=32B 1A 2=32． 故选：C ．

【题型】选择题

【一级知识点】三角形 【二级知识点】直角三角形

【三级知识点】含30度角的直角三角形的性质 【试题评价】较难运用多个知识点解决问题 第7题

7.如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，D 是AB 上一点，且DB=DC ， 过BC 上一点P ，作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥DC 于F ，已知：AD:DB ＝1:3，BC=64，则PE+PF 的长是（ ） （A ） 64 （B ） 6 （C ）62 （D ）24

拆解

【答案】D

【解析】∵AD :DB=1:3

∴可设AD=x ，DB=3x ，则AB=4x. ∵DB=DC ， ∴DC=3x. ∵∠A ＝90°，

∴2

2

2

2

2

2

1696)4()64(x x AB BC AC -=-=-=,

2

222228)3(x x x AD DC AC =-=-=.

∴2281696x x =- ∴x=2

∴2422==x AC

连接PD ，PD 把△BCD 分成两个三角形△PBD，△PCD， S△PBD=

PE BD ?21,S△PCD=PF CD ?2

1

, S△BCD=

AC BD ?2

1

. ∵S△PBD + S△PCD =S△BCD . ∴

PE BD ?21+PF CD ?21=AC BD ?2

1

, ∵BD=CD. ∴PE+PF=AC=4．

故选D ．

【题型】选择题

【一级知识点】三角形 【二级知识点】等腰三角形

【三级知识点】等腰三角形的性质

【试题评价】较难运用多个知识点解决问题 第8题

8.如图，一张直角三角形的纸片，象图中那样折叠，使A 与B 重合，∠B=30°，AC=3，则折痕DE 的长为( )．

A 、1

B 、

23 C 、3 D 、2

1

拆解

【答案】A

【解析】∵Rt △ABC 中,∠B=30° ∴∠BAC=60°

由折叠的性质可得，∠DAB=∠B=30°,DE ⊥AB ∴∠CAD=30° ∴DC=DE

在Rt △ACD 中,设CD=x,则AD=2x 根据勾股定理AC=3x

拆解 【答案】

24

3a . 【解析】如图：∵△ABC 为正三角形，AD 为BC 边上的高，且AB=AC=BC=a ；

∴BD=

a 2

1

, .30,90?=∠?=∠BAD ADB a BD AB AD 23.2

2=-=

∴正三角形的面积=2

4

3232121a a a AD BC =?=?.

【题型】选择题

【一级知识点】三角形 【二级知识点】等边三角形

【三级知识点】等边三角形的面积计算 【试题评价】中理解后进行简单运用

第13题

13. 用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角不大于60°”时，首先应假设这个三角形中 ___．

拆解

【答案】每一个内角都大于60°.

【解析】根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的每一个内角都大于60°． 【题型】填空题

【一级知识点】图形的性质

【二级知识点】定义、命题、定理 【三级知识点】反证法

【试题评价】易了解简单的概念

第14题

14. 如图，△ABC 中，AB=AC ，DE 垂直平分AB ，BE ⊥AC ，AF ⊥BC ，则∠EBC= °．

拆解

拆解

【答案】4，34或

3

3

4. 【解析】（1）当AB=AC 时， ∵∠A=30°， ∴CD=

482

1

21=?=AC （2）当AB=BC 时，

则∠A=∠ACB=30°，

∴∠ACD=60°，∴∠BCD=30°， ∴BD=

482

1

21=?=BC CD=34484222=-=-BD BC .

（3）当AC=BC 时， 则AD=

482

1

21=?=AB ， ∵∠A=30°，∠ADC=90°

∴AC=2CD.

设CD=x, 则AC=2x.

在Rt △ADC 中：222AC CD AD =+ 即：2

2

2

)2(4x x =+ ∴334=

x ∴3

3

4=

CD , 综上，CD 的长为：4，34或

3

3

4． 【题型】填空题

【一级知识点】三角形 【二级知识点】等腰三角形

【三级知识点】等腰三角形的性质

【试题评价】较难运用多个知识点解决问题 第16题

16.(7分) 如图所示，Rt △ABC 中，D 是AB 上一点，BD=BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于点E ，CD 交BE 于点F 。求证：BE 垂直平分CD 。

C

E

F

∴AF=AE ，CF=CE ，-----------------------------------5分 ∵AE ＝

2

1

（AB ＋AD ） ∴2AE=AB+AD ，

又∵AD=AF-DF ，AB=AE+BE ，AF=AE ， ∴2AE=AE+BE+AE-DF ，

∴BE=DF ，----------------------------------------------------------------------------------------------7分

∵∠DFC=∠CEB=90°，CF=CE ， ∴△CDF ≌△CEB （SAS ），

∴∠ABC=∠CDF ，-------------------------------------------------------------------------------------9分

∵∠CDF+∠ADC =180°，

∴∠ABC+∠ADC=180°．---------------------------------------------------------------------------10分

【解析】本题主要考查角平分线的性质和辅助线的常用做法。 【题型】解答题

【一级知识点】图形的性质 【二级知识点】角

【三级知识点】角平分线性质定理 【试题评价】中理解后进行简单运用 第18题

18. (10分) 如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC ．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，求：BC 的长。

拆解

【答案】解：延长ED 交BC 于M ，延长AD 交BC 于N ，-----------------------------------2分

∵AB=AC ，AD 平分∠BAC ， ∴AN ⊥BC ，BN=CN ， ∵∠EBC=∠E=60°，

∴△BEM 为等边三角形，------------------------------------------5分 ∵BE=6，DE=2，

∴DM=4，BM=BE=6. ---------------------------------------------7分

∵△BEM 为等边三角形， ∴∠EMB=60°， ∵AN ⊥BC ， ∴∠DNM=90°， ∴∠NDM=30°， ∴NM=

242

1

21=?=DM ， ∴BN=BM-NM=4，----------------------------------------------------9分 ∴BC=2BN=8. -----------------------------------------------------------10分

【解析】此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN 的长是解决问题的关键． 【题型】解答题

【一级知识点】三角形 【二级知识点】等边三角形

【三级知识点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质． 【试题评价】较难运用多个知识点解决问题 第19题 19. (11分)已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，沿过B 点的一条直线BE 折叠这个三角形，使C 点与AB 边上的一点D 重合．

(1)当∠A 满足什么条件时，点D 恰为AB 的中点? 写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D 为AB 的中点；

(2)在(1)的条件下，若DE ＝1，求△ABC 的面积．

拆解

【答案】（1）添加条件是∠A=30°．------------------------------------------------------1分

证明：∵∠A=30°，∠C=90°，∴∠CBA=60°， ∵C 点折叠后与AB 边上的一点D 重合， ∴BE 平分∠CBD ，∠BDE=∠C= 90°， ∴∠EBD=

2

1

∠CBA=30°，