(整理)广义积分的收敛判别法

第二节 广义积分的收敛判别法

上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分?

+∞a

dx

x f )(收敛的充分必要条件是：0>?ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有

ε

b b dx x f

证明：对+∞→b lim

0)(=?

+∞

b

dx x f 使用柯西收敛原理立即得此结论．

同样对瑕积分?b a

dx x f )((b 为瑕点), 我们有

定理9.2（瑕积分的Cauchy 收敛原理）设函数f (x )在[a ,b )上有定义，在其任何闭子区间[a , b –ε]上常义可积，则瑕积分?b

a dx x f )(收敛的

充要条件是: 0>?ε , 0>?δ, 只要0<δηη<

εηη

b b dx x f

定义9.5如果广义积分?+∞

a dx x f |)(|收敛，我们称广义积分?

+∞a

dx

x f )(绝对收敛（也称f (x )在[a ,+)∞上绝对可积]; 如?+∞

a dx x f )(收敛而非绝

对收敛，则称?

+∞a

dx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上条件可积．

由于a A A ≥?/,，均有

|)(|/

?

A A

dx x f ≤?/

|)(|A A dx x f

因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分?+∞a

dx x f )(绝对收敛，

则广义积分?+∞

a

dx x f )(必收敛．

它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。 对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．

下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法：

定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a ,+∞)上恒有

),()(0x k x f ?≤≤（k 为正常数）

则当?+∞

a dx x )(?收敛时,

?+∞

a

dx x f )(也收敛;

当?

+∞a

dx x f )(发散时,

?+∞

a

dx x )(?也发散．

证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立．

对瑕积分有类似的结论判别法

定理9.5 设f (x ), g (x ) 均为[a ,b )上的非负函数，b 为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使

∈?≤≤x x kg x f ),()(0[a , b ), 则

1） 如?b

a

dx x g )(收敛，则?b

a

dx a f )(也收敛。

2）如?b a

dx x f )(发散，则?b

a

dx x g )(也发散．

比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式．

定理9.6 如果f (x ), g (x )是[a ,+)∞上的非负函数, 且,)()

(lim l x g x f x =+∞

→

则 (1) 如果+∞<≤l 0, 且?+∞

a

dx x g )(收敛, 则积分?+∞

a dx x f )(也收敛．

(2) 如果+∞≤

a

dx x g )(发散，则积分?+∞

a dx x f )(也发散．

证明：如果,0)()

(lim

≠=∞

→l x g x f x

则对于)0(0>->εεl , 存在A, 当A x ≥时, εε+<<-≤l x g x f l )

()

(0

即)()()()()(x g l x f x g l εε+<<-成立. 显然

?+∞

a

dx x f )(与

?+∞

a

dx x g )(同时收敛或同时发散，在l =0或 l =∞时，可类似地讨论.

使用同样的方法，我们有

定理9.7 对以b 为唯一瑕点的两个瑕积分?b a dx x f )(与?b

a dx x g )( 如果

f (x ),

g (x ) 是非负函数，且,)()

(lim l x g x f b

x =-

→

则 （1） 当+∞<≤l 0, 且?b

a

dx x g )(收敛时，则?b a

dx x f )(也收敛．

（2） 当+∞≤

dx x g )(发散时，则?b

a

dx x f )(也发散．

对无限区间上的广义积分中，取?

∞

+a

p dx x

1

作比较标准，则得到下列Cauchy 判别法：设f (x )是[a ,+)∞的函数，在其任意闭区间上可积,那么:

定理9.8 若0≤f (x )≤p x

c

， p >1,那么积分?+∞a

dx x f )(收敛，如

f (x )≥p x

c

，p ≤1,则积分?+∞a

dx x f )(发散．

其极限形式为

定理9.9 如+∞

→x lim l x f x p =)(

(+∞<≤l 0, p >1), 则积分?+∞

a

dx x f )(收

敛．

如∞→b lim l x f x p =)(,

而+∞≤

a dx

x f )(

发散.

例9.8 判断下列广义积分的收敛性。

(1) ?∞

+?????

?+-+1

11)11ln(dx x x (2)

?∞

++1

1dx x

x n

m

(m >0, n >0) 解：（1）因为0x x +-

+≤11

)11ln(

=

+-≤x x 11

1 21)1(1x x x ≤+

由?

∞+1

21

dx x 收敛推出?∞+?????

?+-+111)11ln(dx x x 收敛． （2）因为+∞

→x lim ,11=+-n

m

m

n x x x

所以当n －m >1时，积分?∞

++11dx x x n m

收敛. 当n －m ≤1时，积分?∞++11dx x x n m

发散．

对于瑕积分，使用?-b a

p

dx a x )

(1

作为比较标准，我们有下列柯西判别法．

定理9.10 设x=a 是f (x )在[a ,b )上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么

（1） 如0≤f (x )≤p a x c

)(- (c>0), p<1, 则?b a dx x f )(收敛． （2） 如f (x )≥p a x c )

(- (c>0), p ≥1, 则?b a dx x f )(发散． 瑕积分的Cauchy 判断法的极限形式为

定理9.11 设k

x f a x p a x =-+

→)()(lim

如0≤k <∞, p<1, 则?b a

dx x f )(收敛 如0

a dx x f )(发散．

例9.9 判别下列瑕积分的敛散性。 (1)

?--1

0222)1)(1(x k x dx

(k 2<1)

(2)

?

20

cos sin π

x

x dx

q

p (p ,q>0) 解：（1）1是被积函数的唯一瑕点

因为 -

→1

lim x )

1)(1()1(2

2

2

2

1

x k x dx x --- =

+∞<-)

1(212

k

由2

1

=p 知瑕积分收敛．

（2）0与2

π

都是被积函数的瑕点．

先讨论,cos sin 40

?

π

x x dx q p 由+→0lim x 1cos sin 1=x

x x q p p

知: 当p<1时, 瑕积分?

4

cos sin π

x

x dx

q

p 收敛; 当p ≥1时,瑕积分?

40

cos sin π

x

x dx

q

p 发散． 再讨论

?2

4

cos sin π

πx x dx

q p 因-→

2

lim πx 1cos sin 1

)2(=-x x x q

p p

π

所以当 q <1时, 瑕积分?2

4

cos sin π

πx x dx

q

p 收敛， 当q ≥1时，瑕积分?2

4

cos sin π

πx x dx

q

p 发散． 综上所述，当p<1且q<1时, 瑕积分?20cos sin π

x

x dx

q

p 收敛; 其他情况发散．

例9.10 求证: 若瑕积分?1

)(dx x f 收敛，且当+→0x 时函数f (x )单调趋

向于+∞，则+

→0

lim x x f (x )=0. 证明：不妨设]1,0(∈?x , f (x )≥0, 且f (x )在(0, 1)上单调减少。

已知?1

0)(dx x f 收敛，由柯西收敛准则，有

0>?ε, 0>?δ(δ<1), δ<

,

)(2

ε

x

x

dt t f

从而

0<)(2x f x

≤ε

)( 或

0

即+

→0

lim x x f (x )=0. 例9.11 求证瑕积分?-1

0)]cos 1([1dx x x λ

(λ>0), 当λ<3

1

时收敛 当λ3

1

≥

时发散.

证明:∵+

→0lim x λλ

)]cos 1([3x x x -=+

→0lim x λ

λλ

??

? ??-2

33cos 1x x x x =+

→0

lim x λλ

2cos 112=??

?

??-x x

所以当3λ<1时，即λ<31时，瑕积分收敛．当3λ≥1，即λ≥3

1

时，瑕积分发散．

前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果．

定理9.12（积分第二中值定理）设g (x )在[a ,b ]上可积，f (x )在[a ,b ]上单调，则存在ξ∈[a ,b ] 使

?b

a

dx x g x f )()(=??+ξ

ξa a dx x f b g dx x f a g )()()()(

为了证明定理9.12，我们先讨论下列特殊情况．

引理9.1设f (x )在[a , b ]上单调下降并且非负，函数g (x )在[a ,b ]上可积，则存在c ∈[a ,b ]，使

?b

a

dx x g x f )()(=f (a )?c

a dx x g )(

证明：作辅助函数)(x ψ= f (a ),

)(?x a

dt t g

对[a ,b ]的任一分法

P: a =x 0

我们有

?b

a

dx x g x f )()(=dx x g x f n

i x x i

i )()(1

1

∑?=-

由此得到

|?b

a

dx x g x f )()(－dx x g x f n

i x x i i

i )()(1

11

∑?=--|

=|dx x g x f x f i n

i x x i

i )()]()([111

-=-∑?-|

≤dx x g x f x f i n

i x x i

i |)(||)()(|11

1

-=-∑?-

≤)(1

f L n

i i ∑=ω△x i

这里L 是|g (x )|在[a ,b ]的上界, )(f w i 是)(x f 在[]i i x x ,1-上的振幅，从这个估计式可知,

当P 0→时,应当有

dx x g x f n

i x x i i

i )()(1

11

∑

?=--→?b

a dx x g x f )()(

我们来证明

≤∈)(m i n ]

,[x b a x ψdx x g x f n

i x x i i

i )()(1

11

∑?=--)(m a x ]

,[x b a x ψ∈≤

为此，引入记号 G(x )=

?x

a dt t g )( 并作如下变换

dx x g x f n

i x x i i

i )()(111

∑

?=--

=)]()([)(111-=--∑i i n

i i x G x G x f

=-∑=-)()(11i n

i i x G x f )()(11

1-=-∑i n

i i x G x f

=-∑=-)()(1

1i n

i i x G x f )()(1

i n i i x G x f ∑-=

=-∑=-)()(11i n

i i x G x f )()(11

i n i i x G x f ∑-= （0)()(0==a G x G ）

=+-∑=-)(])()([1

1i n

i i i x G x f x f )()(n n x G x f

因为0)()(1≥--i i x f x f , )(n x f 0≥,

所以

dx x g x f n

i x x i i

i )()(1

11

∑

?=--

=+-∑=-)(])()([1

1i n

i i i x G x f x f )()(n n x G x f

≥{)(])()([1

1n n

i i i x f x f x f +-∑=-})(min ]

,[x G b a x ∈

=)(min )(]

,[x G a f b a x ∈

同样可证

dx x g x f n

i x x i i

i )()(1

11

∑

?=--≤)(max )(]

,[x G a f b a x ∈

我们证明了不等式

)(min )(]

,[x G a f b a x ∈≤dx x g x f n

i x x i i

i )()(1

11

∑?=--≤)

(max )(]

,[x G a f b a x ∈

即

)(min ]

,[x b a x ψ∈≤dx x g x f n

i x x i i

i )()(1

11

∑?=--≤)(max ]

,[x b a x ψ∈

现令|p|0→, 取极限，就得到

)(min ]

,[x b a x ψ∈≤?b

a

dx x g x f )()(≤)(max ]

,[x b a x ψ∈

因此，存在c ∈[a ,b ]，使得

)(c ψ=?b

a dx x g x f )()( （因为)(x ψ在［

b a ,］上是连续函数）

也就是?b

a

dx x g x f )()(=?c

a

dx

x g a f )()(

证毕

下面我们证明定理9.12

证明：如f (x )是单调下降的，则f (x )－f (b )单调下降且非负，由引理12.2.1知，存在c ∈[a ,b ), 使

?-b a dx x g b f x f )()]()([=?-c

a dx x g

b f x f )()]()([

即

?b

a

dx x g x f )()(=,

)()()()(??+b

c c a dx x g b f dx x g a f

对f (x )单调上升的情形，可作类似讨论.

使用积分第二中值定理，我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的判别法

定理9.13 若下列两个条件之一满足，则?+∞

a dx x g x f )()(收敛 （1）（Abel 判别法）?

+∞a

dx x f )(收敛，g (x )在[a ,∞]上单调有界;

（2）（Dirichlet 判别法）设F(A)=?A a

dx x f )(在[a ,∞]上有界，g (x )在

[a ,)∞上单调, 且+∞

→x lim g (x )=0.

证明：（1）0>?ε, 设|g (x )|≤M ，∈?x [a ,∞), 因?

+∞

a

dx x f )(收敛，由

Cauchy 收敛原理，a A ≥?0, 使01,A A A ≥?时, 有

M

dx x f A A 2|)(|1

ε

<

?

由积分第二中值定理，我们得到

|)()(|1

?A A dx x g x f ≤+??|)(||)(|ξ

A dx x f A g |)(||)(|1

1??A dx x f A g ξ

≤+??|)(|ξ

A

dx x f M |)(|1

??A dx x f M ξ

≤

2ε+2

ε=ε 再由Cauchy 收敛原理知?

+∞a

dx x g x f )()(收敛

(2) 设M 为F(A)在[a ,+)∞上的一个上界，则a A A ≥?1,, 显然有

M dx x f A A 2|)(|1

同时, 因为+∞

→x lim g (x )=0，所以存在a A ≥0, 当x >A 0时, 有

g (x )|

4ε

于是，对01,A A A ≥?有

≤?|)(|1A A

dx x f +??|)(||)(|ξ

A

dx x f A g |)(||)(|1

1??A dx x f A g ξ

≤+?|)(|2A g M |)(|21A g M ?

≤

2ε+2

ε=ε 由Cauchy 收敛原理知?+∞a dx x g x f )()(收敛 例9.12 讨论广义积分?

∞

+1

cos dx x

x

的敛散性， 解：令f (x )=x

1

, g (x )=cos x

则当x +∞→时，f (x )单调下降且趋于零， F(A)=

?A

xdx 1

cos =1sin sin -A 在[a ,∞)上有界．

由Dirichlet 判别法知?∞+1

cos dx x

x

收敛， 另一方面

≥x x |cos |=x x 2cos x

x

22cos 1+

因?

∞

+1

21

dx x 发散，?∞+122cos dx x

x 收敛 从而非负函数的广义积分?∞

+1

22cos dx x

x

发散 由比较判别法知?∞

+1

|

cos |dx x

x 发散， 所以?

∞

+1

cos dx x

x

条件收敛 例9.13 讨论广义积分?

∞+1

arctan cos xdx x

x

的敛散性． 解：由上一题知，广义积分?

∞+1

cos dx x

x

收敛, 而arctan x 在[a , +∞)上单调有界，所以由Abel 判别法知?

∞+1

arctan cos xdx x

x

收敛。 另一方面, 当),3[∞+∈x 时, 有

|arctan cos |x x x ≥|cos |x

x 前面已证?

∞+1

|

cos |dx x

x 发散 由比较判别法知

?∞

+1

|

arctan cos |dx x

x x 发散, 所以

?∞

+1

a r c t a n

c o s dx x

x x 条件收敛.

对瑕积分也有下列形式的Abel 判别法和Dirichlet 判别法

定理9.14若下列两个条件之一满足，则?b

a

dx x g x f )()(收敛：（b 为唯

一瑕点）

（1）（Abel 判别法）?b

a dx x f )(收敛, g (x )在[a ,

b )上单调有界

(2) (Dirichlet 判别法) )(ηF =?

-η

b a

dx x f )(在[a , b )上有界, g (x )

在(],0a b -上单调, 且0)(lim =-

→x g b

x . 证明: (1) 只须用第二中值定理估计 ?--/

)()(ηηb b dx x g x f

读者可以仿照定理11.2.8(1) 的作法完成(1)的证明.

(2) 读者可以仿照定理11.2.8(2) 的作法完成(2)的证明.

例9.14 讨论积分 ?1

01

sin dx x

x p (0

解: 对于0

p p

x

x x 11s i n

≤ 由?1

1

dx x

p 收敛知 ?1

01sin dx x

x p

绝对收敛敛

对于0≤p <2, 因为函数f (x ) =p x -2, 当+→0x 时单调趋于0, 而函数

g (x )=

2

1sin

x x

满足

2|1cos 1cos |1sin 1≤-≤?η

ηdx x x p

所以积分

?1

1sin

dx x x p ?-=10

2

21

sin

dx x x x p 收敛.

但在这种情况下,

dx x x p

?1

1

sin 是发散的,

事实上

由p

p p p x x x x x x x 22cos

211sin 1sin 2-=≥

因?1

021

dx x

p 发散,

?1

022

cos

dx x x p

收敛, 知

dx x x p

?1

1

sin 发散

从而当0≤p<2时, 积分条件收敛. 最后我们讨论p=2的情形, 因为

?121s i n ηdx x x n

1cos 1cos -=

当+→0η时, 上式无极限, 所以积分?1

021

sin dx x

x 发散.

值得注意的是, 两种广义积分之间存在着密切的联系, 设

?b a

dx

x

f)

(中x=a为f(x)的瑕点, 作变换y=

a

x-

1

, 则有

?b a

dx

x

f)

(=?∞+

-

+

a

b

dy

y

y

a

f

12,

)

1

(

而后者是无限区间上的广义积分.

习题9.2

1、论下列积分的敛散性（包括绝对收敛，条件收敛，发散）

(1)?∞+2sin

ln

ln

ln

xdx

x

x

；

(2) ?+∞02

sin dx

x；

(3) ?202

2sin

cos

1

π

dx

x

x

；

(4) ?

-

1

021

ln

dx

x

x

；

(5) ?-

--

1

1

1ln

)

1(xdx

x

x q

p；

(6) )0

,

(

ln

1

1

1

>

-

?

-

-

q

p

dx

x

x

x q

p

；

(7) ?∞+

+

1

dx

x

x q

p

；

(8) ?+∞--

1dx

e

x x

p；

(9)

?∞

+-+0

2

1

1dx x

x p ； (10) ?∞

+0sin 2sin dx x x

e p

x ； (11) )0(1sin 1

≥+?∞

+p dx x

x

x p

q ；

(12) )0()1

sin(0

>+?∞+p dx x x x p

．

2．证明：若瑕积分?1

)(dx x f 收敛， 且当+→0x 时， 函数f (x )

单调趋于+∞， 则+

→0

lim x x f (x )=0． 3. 若函数f (x )在),[+∞a 有连续导数f /

(x )， 且无穷积分?+∞

a

dx

x f )(与?+∞a

dx x f )(/都收敛， 则+∞

→x lim f (x )=0．

4.

5. 设f (x )在),[+∞a 上可导，且单调减少，+∞

→x lim f (x )=0,

求证:

?+∞

a

dx x f )(收敛 ?

?+∞

a

dx x xf )(/收敛．

6. 证明：若函数f (x )在),[+∞a 上一致连续， 且无穷积分

?+∞

a

dx x f )(收敛， 则+∞

→x lim f (x )=0．

7.

8. 求证： 若无穷积分?

+∞

a

dx x f )(收敛， 函数f (x )在),[+∞a 内单

调， 则 f (x )=o (x

1

)．

9. 计算下列广义二重积分的值．

(1) ??

D

q

p y x dxdy

,

其中D={}|1,1|),(>≥x xy y x ； (2) ??

≤+≤--1

02

2

221y x y

x dxdy ；

(3)

dxdy e

y x ??+∞∞-+∞∞-+-)

(22, 并由此证明

π

1

12

=?+∞∞--dx e

x .

8、讨论下列广义重积分的敛散性．

(1) dxdy y x y x a a

p ??-00||)

,(?, M

y x m ≤≤<|),(|0?；

(2)

dxdy

xy y x y x p

y x )

()

,(2

2

1

22++??

≤+?

M y x m ≤≤<|),(|0?．