高中数学建模

高中数学建模教学实施策略探究

一 问题提出

六七十年代西方国家开始设置数学建模课程，着重讲授一些数学建模方法，旨在培养学生数学建模能力。八十年代初我国一些高等院校的数学专业引入了这门课程。九十年代初我国举办大学生数学建模竞赛，数学建模课程得到了很大的发展。二十一世纪初我国《普通高中数学课程标准（实验）》中要求数学建模以不同的形式渗透于必修和选修课程中。数学建模进入高中数学课程成为必然，作为一线教师必须改变观念，积极探索数学建模教学实施策略，为学生数学学习营造更为宽广的空间。

二 数学建模

2.1 数学模型

数学模型是一个数学结构，它依赖于现实世界的某一特定对象，通过必要的简化和假设等数学工具获得的。由此所见数学模型能解释特定现象的现实性态；能预测对象的未来状态；能提供处理对象的最优决策或控制。数学模型有两个特点，一是它是一种纯关系结构，是经过数学抽象抛离了一切与关系无本质联系的属性后的系统。二是它是由数学概念和数学符号来描述的。

三 高中数学建模教学案例分析

高中数学建模要以多种方式渗透进各个模块的学习中，其研究的实际问题可涉及多个方面，如函数问题、三角函数问题、数列问题、不等式问题、解析几何问题、立体几何问题、概率问题。 3.1立体几何模型

物体的形状、大小与位置关系是几何研究的主要对象，它涉及到零件体积、事物包装、工程计算等实际问题。建构立体几何模型可以培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力和几何直观能力。

案例一：某高速公路收费站入口处的安全标识墩如右图所示,墩的上半部分是正四棱锥P - EFGH ，下部分是长方体ABCD - EFGH . 图1和图2分别是该标识墩的正(主)视图和俯

视图．

（1）请画出该安全标识墩的侧(左)

视图; （2）求该安全标识墩的体积； （3

）证明

: 直线BD

平面PEG ．

学生甲的解决方案：

学生乙的解决方案：

建模分析：这是一道立体几何的应用题，考查知识涉及三视图、体积公式

和线面关系。问题解决不仅 40cm 40cm

图2 40cm 60cm

20cm

图1

侧视 正视

C A E

B

D

H

P G F

需要学生理解长方体模型和正四棱锥模型，而且需要学生正确使用不同的体积公式。在证明线面垂直关系时，学生需要建构相交直线模型，然后利用判定定理解决问题。

教师点评：甲生解题思路清晰、书写规范、计算正确。求解体积时很好的将复杂的几何体分割成了熟悉的几何模型，这样便于利用已知公式计算。利用面面垂直推证线面垂直在学生求解中比较少见。该生在证明过程中同时使用∵、∴、 符号，有些混淆。

乙生三视图观察到位，左视图绘画正确。计算体积时做到了正确的分割，但读题时有所遗漏，将正四棱锥的条件看漏，重复证明正四棱锥。体积公式使用正确，但将棱锥的高60看成了棱锥的斜高，导致答案十分复杂。书写计算过程将单位代入、数字相乘使用点号，这些是不规范的写法。证明环节有些冗长，BD//HF实际上可以通过长方体的性质直接得到，无需证明平行四边形的存在。利用判定定理证明线面垂直思路清晰，书写规范。两位同学都没有完成“答”的环节，没有实现对现实模型的回归。

3.2排列组合、概率模型

概率是研究随机现象规律的数学科学，它为人们认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法。排列组合又是概率的基础知识，它的背景多是学生熟知的生活问题。高中阶段学生需要认识概率的基本模型——古典概型、几何概型、独立试验概型，尝试在实际问题中利用实验、计算机（器）抽象建立上述模型，理解模型的基本性质，加深对随机现象的了解。

案例二：德国世界杯足球赛共32个队参赛，比赛前抽签分成8个小组，每个小组4个队，各小组都进行单循环赛（即每队都要与本组其他各队比赛一场），然后由各小组积分多的两个队出现组成十六强，规定：在小组赛中，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分（积分相同是取净胜球或进球总数多的队。若再相同，根据其它规定，每小组总可排出前两名。）若甲、乙两队分别在小组赛中各积5分和2分，请判断甲、乙两队的出现情况，并说明理由。

以下是学生甲的解决方案：

解：设甲所在小组中4队分别为甲、A、B、C，乙所在小组中4队分别为乙、D、E、F 因为甲队5分，甲队要与A、B、C共进行3场单循环赛，所以甲必定一胜、两平。

对于甲

①假设已得1分的B分别胜了A、C，则B有1+3+3=7（分），但

A、C分别0、1分，则甲分数第二高，可以出线入十六强

②若A、B、C中任一队只能胜一场，则甲队5分最高，甲队仍可

出线入十六强

因为乙队2分，乙队要与D、E、F共进行3场单循环赛，所以乙必

定一负两平，对于乙

①若D皆胜E、F，则D有9分，E、F比赛平局，则乙=E=F=2

分，乙可能出线

②若E、F两队中任一队胜一次的话，最终积分超过4分，而D

无论如何积分都会比2大，所以其他情况下乙入不了小组前两

名，出不了线

学生乙的解决方案：

建模分析：本案例与排列组合相关，需要学生考虑参赛队伍在小组中的所有情况，建构甲队、B 对、C 队同积5分的“极端”模型，从而较为准确推导甲队出线情况。同理乙队也存在相对极端的状态：乙队、E 对、F 对均积2分，都有可能出线。

教师点评：甲生审题仔细，理解正确。对甲、乙两队分开讨论，并绘制了相应的图表，清晰地表达了解题思路。对甲队的讨论列出了两种情况：甲队第二和第一，但忽视了一种比较极端的状态，即甲队和其它两队均得5分的情况。因此对于甲队的出现情况结论错误。对于乙队学生想到了极端情况，即有3队积两分，因此乙队结论正确。学生乙在理解题意上出现重大失误，将甲、乙放在了一个小组中进行比较判断。而实际题意是甲、乙分别在不同的小组比赛。但就学生的理解而言，她的分类比较完整，思路清楚。

四 数学建模教学策略探究

4.1 初、高中数学建模对比

义务教育阶段和高中阶段的数学建模课程与学生的社会生活紧密相关，但侧重点不同 。初中阶段学生的数学学习主要依赖于他们生活中的直接经验，数学化的活动多是对简单数学模型的识别和演算。在现实教学中其表现形式主要是解决数学应用题。而高中的数学建模强调数学模型是可以超越数学问题达到非数学领域的原始问题，重心在于培养学生分析、解释数据信息、识别隐含信息的能力，建构和反复修订模型的技能。下表

初中数学应用题 高中数学建模 问题类型 数学问题和开放性问题 数学问题和非数学领域的原始问题 数学模型 已建立需识别 需选择和建构

数据处理 计算、验证、求解 假定条件、解释和识别数据、抽象理论 数学结果 解释与应用 检验和修改 问题结论

拓展与引申

学生阶段 初中（第三学段）

模型1 几何直观（观察法）：以直径AC 为斜边构造Rt △，寻求AB 边上的高最大 模型2

建构二次函数，寻求最值。设AB=x ，()R x x R x S

20422<<-=

体积最大。问题转化为了求圆内接四边形面积最大，也就是初中的圆内接矩形中正方形学生阶段 高中

模型1 几何直观（观察法）：以直径AC 为斜边构造Rt △，寻求AB 边上的高最大 模型2

建构二次函数，寻求最值：设AB=x ,()R x x R x S

20422<<-=

学生可以利用均值定理、判别式?和求导的方法求上述模型的最值。

模型3

建构三角形面积关系：

2222sin 2sin 2144R AOB R AOB R S S AOB ≤∠=??

?

??∠==?,

当∠AOB=900时取等号

模型4

建构三角代换：设α=∠ACB

()时取等号

当0

2

2

045,22sin 2cos sin 4900,cos 2,sin 2=≤==<<==αααααααR R S R BC R AB

模型5

建构均值不等式：y BC x AB ==

,设

时取等号当y x R R y x xy S ===+≤=,22

4222

22

4.2

数学课堂是开展数学建模活动的有效领域。具体做法是：由教师给出实际问题，然后学生们分组讨论、合作研究。在后续课堂上再由学生选派代表来阐述建模情况和结论。在整个建模过程中，教师应及时给予学生相关地指导，对于建模结论给予评价。 4.2.1选用高中数学教材的原题

教材中部分例题或习题自身就是应用问题。由于它们的难度不大，学生们常常兴趣激增，易于在课堂通过讨论解决问题。问题的拓展可以更大限度的激发学生的多向思维，不断地完善模型的合理性。 案例一：

问题提出：（教材立体几何部分例题） 道路旁有一条河，彼岸有电塔

AB ，高15cm 。只有测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离。 建模过程：教师预先给出题目和图示，学生们分组讨论、建模、演算、求解。（建模关键：在道路边取一点，使BC 与道路边所成的水平角等于900） 数学模型：三垂线模型

问题拓展：两类条件开放的情况：（1）再在道边取一点D （BC 边的左、右均可），水平角∠CDB 因人而异，测得C 、D 的距离也不相同，但算法同教材一样；（2）题中没有规定测角器只能测水平角，若能测仰角∠ACB ，就用不着取点D 。 4.2.2改编高中数学教材的原题

由于教材中现成的应用问题所占比例不大，而其中的建模问题就更少了。为弥补其不足，教师可以创设一些应用背景，把教材中部分例题或习题改编成了建模问题。这样学生们不仅能接触到更多的应用问题，还会学到改编问题的一些手段，举一反三，触类旁通。

案例二

问题提出（

1

）一个正三棱锥和一个正四棱锥，所有棱长都相等，问重合一个面后还有几个面？（2）已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都相等，把它们拼接

起来，使一个表面重合，所得的多面体有多少个面？

建模过程学生分组制作实物模型、操作模型、分组讨论、获得结论。

建模关键点：对于二面角的理解与计算。

数学模型立体几何模型——正八面体、正四面体、正四棱锥。

问题结论（1）5个面；（2）7个面。

问题拓展学生自由组合多个模型，寻求最优化的结论。

（1）当拼接两个正四面体时，新多面体最少为6个面；

（2）当拼接三个正四面体时，新多面体最少为5个面；

（3）当拼接四个正四面体时，新多体最少为4个面；

背面

4.2.3从教材外引入应用问题

为进一步提高学生兴趣，拓宽其知识面，增强学生们的开放性思维和创新能力，从教材外引入建模问题是必要的。 案例三：

问题提出：学习代数内容后给出讨论课题：根据下表给出的数据资料，预测M 国1980年的人口数。

时间（年份）

1790 1800 1820

1830

1840

1850

1860

1870

人口数（百万） 3.929 5.308 7.240 12.866 17.069 23.192 31.443 38.558 1880

1890

1900

1910

1920

1930

1940

1950

50.156 62.948 75.995 91.972 105.711 122.775 131.669 150.697

建模过程：学生分组讨论，分析处理数据，用拟合的方法建立不同的函数模型 数学模型：主要有三类：（１）直线型（２）抛物线型（３）指数曲线型 4.3 积极拓展选修课堂

选修课堂开设“数学建模讲座”，着重介绍建模的一些方法。每次给出建模课题，由学生们独立探索或分组讨论。下次讲座由学生阐述探索过程及结果。这样可以培养学生的收集处理信息的能力、团结协作能力、语言文字表达能力。在选修课堂上学生可以接触许多课本以外的数学知识，了解它们的起源和发展，从而反过来利用这些知识突破数学课堂的知识难点。

4.3.1选用或改编高中数学应用问题 案例一

背面

上面

问题提出 某化工厂制定明年某化工产品的生产计划，已有如下数据：（1）生产此产品的工人不超过200人；（2）每个工人年工时按2100工时计；（3）预计此产品明年销售量至少80000袋；（4）每袋需用4小时；（5）每袋需用原料20公斤；（6）目前存有原料800吨，每年还需200吨，明年可补充1200吨。试根据上述数据，确定明年的产量。

建模过程 学生分析数据 数学模型 一元一次不等式组模型

问题结论

产量是开放的，在[80000，90000]内变化均可

4.3.2选用或改编有关“趣味数学”问题 案例二

问题提出

公主狄多由于不满父母做主的包办婚姻，逃到了地中海彼岸——北非，为了谋生，她托人同当地部落

的酋长谈判，打算在海边购买一块土地，但是贪婪的酋长索要高价，而且只肯售出一块公牛皮所能围住的土地，公主二话没说，马上拍板成交。她围出了一块面积很大的土地，她是怎样围的呢？

建模过程

学生讨论：（1）把公牛皮切成细条，然后用这些细条结成一根极长的绳子；（2）可以利用海岸线作为天然疆界；

学生操作：绘制不同具体图形进行计算、比较；

建模关键点：给定周长的前提下，什么样的图形面积最大？

数学模型 几何模型——周长、面积

问题结论

周长相等的三角形中，正三角形面积最大； 周长相等的四边形中，正方形面积最大； 猜测：周长相等的n 边形中，正n 边形面积最大；

进一步猜测：边数n 不断增加，正n 边形近似于圆，即周长相等的平面图形中，圆面积最大。

4.3.3选用或改编数学建模竞赛题

大学生数学建模竞赛题涉及的实际背景更为复杂、模型抽象更为困难。但是教师可以根据高中数学课程要求选用或改编这些试题，激发学生敢于探索、敢于创新的勇气。让学生尝试成功的喜悦或失败的沮丧，促使他们不断自主学习新知识，弥补其不足。

公主领地

地中海

总之，在数学建模活动中教师的角色是引导者、组织者、参与者。教师要积极创设建模情景，鼓励学生实质性参与建模过程，发挥他们的主动性、创造性和协作精神。学生要积极利用计算机、计算器等工具，将知识的学习、应用、探究等过程整合起来，在数学建模的过程中学数学、用数学，悟数学。

高中数学建模教学实施

策略探究

成都七中数学组周莉莉陈中根