专题23 以函数为背景的直角三角形的存在性问题(提升训练)(解析版)

专题23以函数为背景的直角三角形的存在性问题

1、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点A （1-，0）、B （4，0）、

C （0，2）．点

D 是点C 关于原点的对称点，联结BD ，点

E 是x 轴上的一个动点，设点E 的坐标为（m ，0）

，过点E 作x 轴的垂线l 交抛物线于点P ．（1）求这个二次函数的解析式；

（2）当点E 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点Q ，当四边形CDQP 是平行四边

形时，求m 的值；

（3）是否存在点P ，使BDP ?是不以BD 为斜边的直角三角形，如果存在，请直接写

出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．

A B

C

O 【答案】（1）213222

y x x =-++；（2）m =2；（3）（3）()1818P -，

，()210P -，，()332P ，．【解析】解：（1）∵二次函数过点A 、B ，

∴设二次函数为()()14y a x x =+-．

将点C （0，2）代入，解得12

a =-．

∴二次函数解析式为：213222

y x x =-++；（2）D 点坐标为（0，2-）．

∴直线BD 的解析式为：122

y x =-．∴P 点坐标为213,222m m m ??-++ ???，Q 点坐标为1,22m m ??- ???

．∵CD =PQ ，∴2131224222

m m m -++-+=．解得：m =2或m =0（舍），

故m 的值为2；

（3）()1818P -，

，()210P -，，()332P ，．（注：可设过B 或D 的与BD 垂直的直线，然后与二次函数联立后解出）

【总结】本题综合性较强，考查的内容也比较多，包含了二次函数解析式的确定，还有就是平行四边形的存在性以及直角三角形的存在性的确定，注意利用相关性质去确定点的坐标．

2、如图，在Rt ABC ?中，∠ACB =90°，AB =13，CD //AB ，点E 为射线CD 上一动点（不与点C 重合），联结AE 交边BC 于F ，∠BAE 的平分线交BC 于点G ．

（1）当CE =3时，求S △CEF ∶S △CAF 的值；

（2）设CE =x ，AE =y ，当CG =2GB 时，求y 与x 之间的函数关系式；

（3）当AC =5时，联结EG ，若AEG ?为直角三角形，求BG 的长．

【答案】（1）313；（2）26y x =-；（3）BG 的长为6或16924

．【解析】解：（1）∵CD //AB ，CE =3，AB =13，∴313

EF CE AF AB ==．∴

313CEF CAF S EF S AF ??==．（2）延长AG 交CD 于M ．∴2CM CG AB GB

==．∴26CM =．

∵CD //AB ，

∴EMA MAB EAM ∠=∠=∠，

∴AE =EM ，

∴26y x =-．

（3）∵90EAG ∠

①当90AGE ∠=?时，可得AG =GM ．

∵CD //AB ，∴162

BG BC ==；②当90AEG ∠=?时，可得ACF GEF ??∽，

∴ECF GAF ??∽，ECF FAG ∠=∠．

又∵FAG GAB ∠=∠，ECF B ∠=∠，

∴B GAB ∠=∠，

∴GA =GB ．∴16924

BG =．

综上所述，若AEG

为直角三角形，BG的长为6或169 24．

【总结】本题综合性较强，考查的内容也比较多，包含了面积的比值，函数解析式的确定以及直角三角形的存在性的确定，注意在求解析式时，利用角平分线的性质去确定解析式．