2017北京中考数学二模28几何综合专题

Image Image 1【2017东城二模】

28. 取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：如图1，先把正方形ABCD对折，折痕为MN；

第二步：点G在线段MD上，将△GCD沿GC翻折，点D恰好落在MN上，记

为点P，连接BP.

（1）判断△PBC的形状，并说明理由；

（2）作点C关于直线AP的对称点C′，连PC′，D C′，①在图2中补全图形，并求出∠APC′的度数；②猜想∠PC′D的度数，并加以证明.

（温馨提示：当你遇到困难时，不妨连接A C′，C C′，研究图形中特殊的三角形）

2【2017西城二模】

28．△ABC是等边三角形，以点C为旋转中心，将线段CA顺时针方向旋转60°得到线段CD，连接BD交AC于点O．（1）如图1，

①求证：AC垂直平分BD；

②点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且ND=NM，连

接BN，判断△MND的形状，并加以证明；

（2）如图2，点M在BC的延长线上，点N在线段AO上，且ND=NM，补

全图2．

求证：NA = MC．

3【2017海淀二模】

28．在锐角△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，E为AC中点．

（1）如图1，过点C作CF⊥AB于F点，连接EF．若∠BAD=20°，求∠AFE的度数；

（2）若M为线段BD上的动点（点M与点D不重合），过点C作CN⊥AM于

N点，射线EN，AB交于P点．

①依题意将图2补全；

②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点M运动的过程中，始终有∠APE=2∠MAD．

小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：连接DE，要证∠APE=2∠MAD，只需证∠PED=2∠MAD．想法2：设∠MAD=α，∠DAC=β，只需用α，β表示出∠PEC，通过角

度计算得∠APE=2α．

想法3：在NE上取点Q，使∠NAQ=2∠MAD，要证

∠APE=2∠MAD，只需证

△NAQ∽△APQ．……

请你参考上面的想法，帮助小宇证明∠APE =2∠MAD．

（一种方法即可）

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4【2017朝阳二模】

28.在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，且点D与点C在直线AB的两侧，连接CD．

(1) 如图1，若∠ABC=30°，则∠CAD的度数为．

(2)已知AC=1，BC=3.

①依题意将图2补全；

②求CD的长；

小聪通过观察、实验、提出猜想，与同学们进行交流，通过讨论，形成了求CD长的几种想法：

想法1:延长CB，在CB延长线上截取BE=AC，连接DE.要求CD的长，需证明

△ACD≌△BED，△CDE为等腰直角三角形.

想法2:过点D作DH⊥BC于点H，DG⊥CA，交CA的延长线于点G，要求CD的长，需证明△BDH≌△ADG，△CHD为等腰直角三角形.

……

请参考上面的想法，帮助小聪求出CD的长（一种方法即可）. (3)用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系（直接写出即可）．

5【2017丰台二模】

28．已知正方形ABCD，点E，F分别在射线AB，射线BC

上，AE=BF，DE与AF交于点O.

（1）如图1，当点E，F分别在线段AB，BC上时，则线段DE与AF的数量关系是，位置关系是 .

（2）如图2，当点E在线段AB延长线上时，将线段AE沿AF进行平移至FG，连接DG.

①依题意将图2补全；

②小亮通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有.

小亮把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：连接EG，要证明，只需证四边形FAEG是平行四边形及△DGE是等腰直角三角形.

想法2：延长AD，GF交于点H，要证明，只需证△DGH是直

角三角形.

图1 图2

请你参考上面的想法，帮助小亮证明.（一种方法即可）

6【2017石景山二模】

28．已知在中，，，点为射线上一点（与点不重合），过点作⊥于点，且（点与点在射线同侧），连接，．

（1）如图，当点在线段上时，请直接写出的度数.

（2）当点在线段的延长线上时，依题意在图中补全图形并判断（1）中结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（3）在（1）的条件下，与相交于点，若，直接写出的最大值．

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图1 图2 备用图

7【2017房山二模】

28. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P为BC边上的一个动点

（不与B、C重合）. 点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N，连结MN交AB于点F，交AC于点E.

（1）当点P为BC的中点时，求∠M的正切值；

（2）当点P在线段BC上运动（不与B、C重合）时，连接AM、AN，求证：

① △AMN为等腰直角三角形；②△AEF∽△BAM .

8【2017通州二模】

28．在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°. 以AB为斜边作等腰直角三角形ADB. 点P是直线DB上一个动点，连接AP，作PE⊥AP交BC所在的直线于点E.

（1）如图1，点P在BD的延长线上，PE⊥EC，AD=1，直接写出PE 的长；

（2）点P在线段BD上（不与B，D重合），依题意，将图2补全，求证PA=PE；

（3）点P在DB的延长线上，依题意，将图3补全，并判断PA=PE是否仍然成立.

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图1 图2 图3

9【2017门头沟二模】

10【2017昌平二模】

28. 如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE，将△ADE绕点

D逆时针旋转90°得到△CDF，作点F关于CD的对称点，记为点G，

连接DG.

（1）依题意在图1中补全图形；

（2）连接BD，EG，判断BD与EG的位置关系并在图2中加以证明；

（3）当点E为线段AB的中点时，直接写出∠EDG的正切值.

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11【2017顺义二模】

28．在△ABC中，AB=AC，D为线段BC上一点，DB=DA，E为射线AD上一点，且AE=CD，连接BE．

（1）如图1，若∠B=30°，AC=√3，请补全图形并求DE的长；

（2）如图2，若BE=2CD，连接CE并延长，交AB于点F，小明通过观察、实验提出猜想：CE=2EF．小明把这个猜想与同学们进行交流，通

过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：过A作AM∥BC交CF的延长线于点M，先证出△ABE≌△CAD，再证出△AEM是等腰三角形即可；

想法2：过D作DN∥AB交CE于点N，先证出△ABE≌△CAD，再证点N 为线段CE的中点即可．

请你参考上面的想法，帮助小明证明CE=2EF．（一种方法即可）

12【2017平谷二模】

28．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的点，

且BE=CF．连结CE，DF．将线段FD绕点F逆时针旋转90°，得到线段FG．

（1）依题意将图1补全；

（2）连结EG，请判断：EG与CF的数量关系是，位置关系

是；并证明你的结论；

（3）当FG经过BE中点时，写出求∠CDF度数的思路．

备用图

图1

13【2017怀柔二模】

28．在△ABN中，∠B =90°，点M是AB上的动点（不与A,B两点重合），点C是BN延长线上的动点（不与点N重合），且AM=BC，

CN=BM，连接CM与AN交于点P.

（1）在图1中依题意补全图形;

备用图

图1

（2）小伟通过观察、实验，提出猜想:在点M，N运动的过程中，始终有∠APM=45°. 小伟把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的一种思路:

要想解决这个问题，首先应想办法移动部分等线段构造全等三角

形，证明线段相等，再构造平行四边形，证明线段相等，进而证明等腰直角三角形，出现45°的角，再通过平行四边形对边平行的性质，证明∠APM=45°.

他们的一种作法是：过点M在AB下方作MDAB于点M,并且使

MD=CN.通过证明△AMD△CBM,得到AD=CM,再连接DN，证明四边形CMDN是平行四边形，得到DN=CM，进而证明△ADN是等腰直角三角形，得到∠DNA=45°.又由四边形CMDN是平行四边形，推得∠APM=45°.使问题得以解决.

请你参考上面同学的思路，用另一种方法证明∠APM=45°.

14【2017燕山二模】

15【2017大兴二模】