4.1.2圆的一般方程
§4.1.2圆的一般方程 主备人：张健 【教学目标】 1.正确理解圆的一般方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.
2.会在不同条件下求圆的一般方程
【教学重点】正确理解圆的一般方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径
【教学难点】正确理解圆的一般方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径；
会在不同条件下求圆的一般方程
【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习
【教学手段】多媒体辅助教学
【教学过程】
一、复习引入
圆心为(,)A a b ,半径长为r 的圆的标准方程是什么？
222()()x a x b r -+-=
这是一个关于x,y 的二元二次方程，那么关于,x y 的二元二次方程是否都表示圆呢？
思考：
(1) 方程222410x y x y +-++=表示什么图形？
(2) 方程222460x y x y +--+=表示什么图形？
二、新课探究
方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？
把方程220x y Dx Ey F ++++=配方可得：
22224()()224
D E D E F x y +-+++= （1）当2240D E F +->时
方程220x y Dx Ey F ++++=表示以(,)22
D E -
-为圆心，
为半径的圆。 （2）当2240D E F +-= 方程22224()()224D E D E F x y +-+++=只有一解,,22
D E x y =-=- 它表示一个点(,)22
D E -- （3）当2240D E F +-< 方程22224()()224
D E D E F x y +-+++=没有实数解，它不表示任何图形。 结论：圆的一般方程
任何一个圆的方程都可以写成220x y Dx Ey F ++++=的形式
反过来，当2240D E F +->时，方程才表示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程. 思考：圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？
标准方程：
图形特征一目了然，明确地指出了圆心和半径；
一般方程：
突出了代数方程的形式结构，
（1）x 2和y 2系数相同，都不等于0；
（2）没有xy 这样的二次项.
例1：下列方程各表示什么图形?
22(1)0x y += 22(2)2460x y x y +-+-=
222(3)20x y ax b ++-=
练习：判断下列方程能否表示圆的方程,若能,写出圆心与半径
22(1)2440x y x y +-+-= 22(2)2212440x y x y +-+-=
22(3)26410x y x y +-+-= 22(4)26500x y x y +-++=
22(5)3520x y xy x y +-++=
例2：求过三点12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 的圆的方程，并求出圆心坐标和半径． 用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤：
（1）根据题意，选择一般方程或标准方程；
（2）根据条件列出关于a,b,r 或D,E,F 的方程组；
（3）解出a,b,r 或D,E,F ，代入一般方程或标准方程．
练习：1.求经过三点(0,0),(2,2),(4,0) 的圆的方程.
2.等腰梯形ABCD 的底边长分别为6和4，高为3，求这个等腰梯形的外接圆方程．
例3、已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)2+y 2=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
练习：如图，已知点P 是圆x 2+y 2=16上的一个动点，点A 是x 轴上的定点，坐标为（12，0），当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？
补例
例 4 、已知一曲线是与两个定点(0,0),(3,0)O A 距离的比为12
的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线.
问题1：等腰三角形的顶点A 的坐标是（4，2），底边一个端点B 的坐标是（3，5）， 求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它是什么图形。
问题2:长为2a 的线段AB 的两个端点分别在相互垂直的两条直线上滑动，则线段AB 的中点轨迹为
x
o y θ
问题3:已知动点M 到点A （2，0）的距离是它到点B （8，0）的距离的一半，求：
（1）动点M 的轨迹方程；
(2)若四边形AMPB 是平行四边形,试求点P 的轨迹方程.
课后练习
1．方程x 2+2xy+y 2+x+y －2=0表示的曲线是（ ）
（A ）两条相交直线 （B ）两条平行直线 （C ）不是圆也不是直线 （D ）圆
2．若方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a －1=0表示圆，则a 的取值范围是 。
3．三角形△ABC 的三个顶点A (1，4)，B (－2，3)，C (4，－5)，则△ABC 的外接圆方程是____________________.
(1) 任何一个圆的方程都可以写220x y Dx Ey F ++++=的形式，但是方程220x y Dx Ey F ++++=的曲线不一定是圆,只有在2240D E F +->时，表示圆心
为(,)22D E -
- ,半径为22142
D E F +-的圆。 （2）利用待定系数法求圆的方程，对于根据已知条件容易求出圆心坐标和半径或需用圆心坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程，否则用圆的一般方程。 【作业】课后练习、习题4.1对应习题 创新设计对应练习
【教学反思】