教案坐标系和极坐标方程

教学过程

一、复习预习

1．极坐标系

(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线Ox，叫做

极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．

设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．

(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，

并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ρcos_θ，y＝ρsin_θ.

另一种关系为ρ2＝x2＋y2，tan θ＝y

x.

二、知识讲解

考点1

简单曲线的极坐标方程 (1) 直线的极坐标方程

θ＝α (ρ∈R)表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过???

?b ，π

2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2) 圆的极坐标方程

ρ＝2rcos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r|的圆； ρ＝2rsin θ表示圆心在????r ，π

2，半径为|r|的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r|的圆．

考点2

极坐标方程与直角坐标方程互化公式：

?????

x ＝ρcos θ

y ＝ρsin θ，?

????

ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y

x x≠0.

三、 例题精析

【例题1】直角坐标与极坐标的互化

【题干】(1)把点M 的极坐标????－5，π

6化成直角坐标； (2)把点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标． 【答案】

(1)∵x ＝－5cos π6＝－523，y ＝－5sin π6＝－5

2，

∴点M 的直角坐标是????－523，－52. (2)ρ＝

－32

＋－1

2

＝3＋1＝2，

tan θ＝－1

－3＝3

3

.

∵点M 在第三象限，ρ>0，∴最小正角θ＝7π

6.

因此，点M 的极坐标是?

???2，7π6. 【解析】把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍)，一般取θ∈[0,2π)．

【例题2】直角坐标方程与极坐标方程的互化

【题干】在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C

的极坐标方程为ρcos ?

??

?θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．

(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．

【答案】先将ρcos ????θ－π

3＝1利用三角公式展开，然后即可化成直角坐标方程；写出M 与N 的直角坐标，利用中点公式即可写出P 的直角坐标，再化成极坐标，就能求出直线OP 的极坐标方程．

解 (1)∵ρcos ????θ－π3＝1，∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3

＝1. 又?????

x ＝ρcos θy ＝ρsin θ

，∴12x ＋3

2

y ＝1.即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0.

令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝

233.∴M(2,0)，N ????

0，233. ∴M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为??

?

?

233，π2.

(2)M 、N 连线的中点P 的直角坐标为?

??

?

1，

33，P 的极角为θ＝π6.

∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π

6 (ρ∈R)．

【解析】

直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境．

【例题3】

【题干】

⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程． 【答案】

以极点的原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．

(1)ρ＝4cos θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcos θ； ρ＝－4sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsin θ. 由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2， 得⊙O 1，⊙O 2的直角坐标方程分别为 x 2＋y 2－4x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0.

(2)由?

????

x 2＋y 2

－4x ＝0， ①x 2＋y 2＋4y ＝0， ②

①－②得－4x －4y ＝0， 即x ＋y ＝0为所求直线方程．

【解析】直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境．

【例题4】曲线极坐标方程的应用

【题干】

(1)把点M 的极坐标?

???8，2π

3化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标．(ρ>0,0≤θ<2π)

【答案】

(1)x ＝8cos

2π3＝－4，y ＝8sin 2π

3

＝43， 因此，点M 的直角坐标是(－4,43)．

(2)ρ＝ 6

2

＋－2

2

＝22，tan θ＝－26

＝－3

3，

又因为点在第四象限，得θ＝11π

6.

因此，点P 的极坐标为?

???22，11π6. 【解析】利用互化公式

?????

x ＝ρcos θ

y ＝ρsin θ和???

ρ＝x 2＋y 2

tan θ＝y

x x≠0

四、课堂运用

【基础】

1．已知曲线的极坐标方程为ρ＝4sin θ，将其化为直角坐标方程为____________． 答案 x 2＋(y －2)2＝4

解析 由ρ＝4sin θ得ρ2＝4ρsin θ.

又?

????

ρ2＝x 2＋y 2ρsin θ＝y ，∴x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.

2．在极坐标系(ρ，θ) (0≤θ<2π)中，曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标为__________． 答案 ???

?1，π2 解析 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直

角坐标方程为y －x ＝1.联立方程组????? x ＋y ＝1，y －x ＝1，得?????

x ＝0，

y ＝1，

则交点为(0,1)，对应的极

坐标为???

?1，π2.

【巩固】

1.在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为__________．

答案ρcos θ＝3

解析由题意可知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心是(3,0)，所求直角方程为x＝3，则极坐标方程为ρcos θ＝3.

π2

答案

2

2

解析 极点的直角坐标为O(0,0)， ρsin ???θ＋π4＝ρ????22sin θ＋2

2cos θ＝22

， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，化为直角坐标方程为x ＋y －1＝0. ∴点O(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝12＝22

， 即极点到直线ρsin ????θ＋π4＝22的距离为2

2.

【拔高】

1. 在极坐标系中，已知点A(2,0)，点P 在曲线C ：ρ＝2＋2cos θ

sin 2θ上运动，则P 、A 两点的

距离的最小值是________． 答案 2 2

解析 曲线C 的极坐标方程可化为ρ＝2

1－cos θ，

即ρ－ρcos θ＝2.化为直角坐标方程，得x 2＋y 2－x ＝2，

即y 2＝4(x ＋1)．设点P(x ，y) (x≥－1)， 则PA ＝

x －2

2

＋y 2＝x 2＋8≥22，

当且仅当x ＝0时取等号．故(PA)min ＝2 2.

2．在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2sin θ，曲线C 2：θ＝π

3，若曲线C 1与C 2交于A ，B 两点，

则线段AB 的长度为________． 答案

3

解析 曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1，曲线C 1的半径r ＝1，

曲线C 2的直角坐标方程为y ＝3x ，圆心(0,1)到直线y ＝3x 的距离为d ＝1

2，

则AB ＝2 r 2－d 2＝2

1－1

4

＝ 3.

课程小结

方法与技巧

1．极坐标方程与直角坐标方程互化公式：

????

?

x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，?

????

ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y

x x≠0.

2．解决极坐标系中的一些问题时，主要的思路是将极坐标化为直角坐标，在直角坐标系下求解后，再转化为极坐标． 失误与防范

极坐标与直角坐标互化的前提条件： (1)极点与原点重合； (2)极轴与x 轴正方向重合； (3)取相同的长度单位．

课后作业

【基础】

1. (2012·安徽)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π

6(ρ∈R)的距离是________．

答案

3

解析 将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解．

极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x 2＋y 2＝4y ，即x 2

＋(y －2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝π6转化为平面直角坐标系中的方程为y ＝3

3x ，

即3x －3y ＝0.

∴圆心(0,2)到直线3x －3y ＝0的距离为|0－3×2|

3＋9＝ 3.

2 在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为____________． 答案 ρ＝－22cos θ

解析 如图，O 为极点，OB 为直径，

A(ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°， OB ＝22＝

ρ

sin

θ－90°

，

化简得ρ＝－22cos θ.

【巩固】

1. (2012·陕西)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________． 答案

3

解析 利用极坐标方程与直角坐标方程的互化求解． 直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12；

圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ， 化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x.

将x ＝12代入x 2＋y 2＝2x 得y 2＝34，∴y ＝±32.

∴弦长为2×3

2＝ 3.

2. (2012·湖南)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a ＝________. 答案

2

2

解析 将极坐标方程化为普通方程求解． ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，

即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0， ρ＝a(a>0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2. 在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22

. 将???

?22，0代入x 2＋y 2＝a 2

得a ＝22.

【拔高】

1. 已知极坐标系中，极点为O ，将点A ????4，π6绕极点逆时针旋转π

4得到点B ，且OA ＝OB ，则点B 的直角坐标为__________．

答案 (6－2，6＋2)

解析 依题意，点B 的极坐标为????4，5π

12， ∵cos

5π12＝cos ????π4＋π6＝cos π4cos π6－sin π4sin π

6

＝22×32－22×1

2＝6－24， sin

5π

12

＝sin ????π4＋π6 ＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6

＝

22×32＋22×12＝6＋24

， ∴x ＝ρcos θ＝4×6－24

＝6－2，

y ＝ρsin θ＝4×6＋2

4

＝6＋ 2.