2018年人教A版选修1-2《第二章推理与证明》质量检测试卷含解析

阶段质量检测（二）推理与证明

(时间：120分钟满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是()

A．归纳推理B．类比推理

C．演绎推理D．非以上答案

解析：选C根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.

2．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理()

A．正确

B．推理形式不正确

C．两个“自然数”概念不一致

D．“两个整数”概念不一致

解析：选A三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．

3．设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数，有以下说法：

①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．

则说法中正确的个数有()

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：选B可用反证法推出①，②不正确，因此③正确．

4．下列推理正确的是()

A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a y

B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin y

C．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a y

D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)

解析：选D(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．

5．已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为()

A．(3,9) B．(4,8)

C．(3,10) D．(4,9)

解析：选D因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)，故选D.

6．求证：2＋3> 5.

证明：因为2＋3和5都是正数，所以为了证明2＋3>5，

只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5，

即26>0，此式显然成立，所以不等式2＋3>5成立．上述证明过程应用了( ) A ．综合法

B ．分析法

C ．综合法、分析法配合使用

D ．间接证法

解析：选B 证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．

7．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )

A ．a 1a 2a 3…a 9＝29

B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29

C ．a 1a 2…a 9＝2×9

D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9

解析：选D 由等差数列性质，有a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5.易知D 成立． 8．若数列{a n }是等比数列，则数列{a n ＋a n ＋1}( ) A ．一定是等比数列 B ．一定是等差数列

C ．可能是等比数列也可能是等差数列

D ．一定不是等比数列

解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＋a n ＋1＝a n (1＋q )．∴当q ≠－1时，{a n

＋a n ＋1}一定是等比数列；

当q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，此时为等差数列． 9．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0

D ．不大于0

解析：选D 法一：∵a ＋b ＋c ＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 2

≤0.

法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a ，b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab <0，排除A 、B 、C ，选D.

10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －

1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( )

A ．a ＝12，b ＝c ＝1

B ．a ＝b ＝c ＝1

C ．a ＝0，b ＝c ＝1

D ．不存在这样的a ，b ，c

解析：选A 令n ＝1,2,3，得????

3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.

所以a ＝12，b ＝c ＝14

11．已知数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为( )

A ．S n ＝2n

n ＋1

B ．S n ＝

3n －1

n ＋1 C ．S n ＝2n ＋1

n ＋2

D ．S n ＝

n ＋2

解析：选A 由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝1

6，

S 3＝32＝6

；

又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85

由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝8

5可以猜想S n ＝2n n ＋1

12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 016＝( )

A.1 C ．4

D ．5

解析：选D x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2 016＝x 4＝5，故应选D.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．

解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．

答案：x ，y 都大于1

14．已知a >0，b >0，m ＝lg

a ＋

b 2，n ＝lg a ＋b

，则m ，n 的大小关系是________．解析：ab >0?ab >0?a ＋b ＋2ab >a ＋b ? (a ＋b )2>(a ＋b )2?a ＋b >a ＋b ? a ＋b 2>a ＋b 2?lg a ＋b

2>lg a ＋b

. 答案：m >n 15．已知 2＋2

＝223

， 3＋38

＝338

， 4＋415

＝ 4

15，…， 6＋a b ＝6a

b ，a ，b 均为正实数，由以上规律可推测出a ，b 的值，

则a ＋b ＝________.

解析：由题意归纳推理得

6＋a b ＝6

a b ，b ＝62

－1

＝35，a ＝6.∴a ＋b ＝6＋35＝41. 答案：41

16．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 2

4.类比到空间，有两个棱长为a 的正方体，其中一个的某

顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．

解析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a 3

答案：a 3

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b

； (2)6＋10>23＋2. 证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b

≥ab ， ∴lg a ＋b 2

≥lg ab ，

∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b 2.

(2)要证 6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，

即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立．

18．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n

1＋a n

(n ＝1,2，…)． (1)求证：a n ＋1≠a n ；

(2)令a 1＝1

2，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n (不要求

证明)．

解：(1)证明：若a n ＋1＝a n ，即2a n

1＋a n ＝a n

，解得a n ＝0或1.

从而a n ＝a n －1＝…＝a 2＝a 1＝0或1，这与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾，所以a n ＋1＝a n 不成立．故a n ＋1≠a n 成立．

(2)由题意得a 1＝12，a 2＝23，a 3＝45，a 4＝89，a 5＝16

17，由此猜想：a n ＝2n －

12n －1＋1.

19．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处． (1)求证：四边形的内角和等于360°.

证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.

(2)已知 2 和 3 都是无理数，试证：2＋3也是无理数．

证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．

(3)已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，用反证法证明：关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．

证明：假设方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0有实根．由已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)＜0，解得－2＜m ＜－1

2，而关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0的判别式Δ＝4(m 2－4)，∵－

＜m 2＜4，∴Δ<0，即关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．

解：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形． (2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．

(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．

20．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ； (2)设b n ＝S n

(n ∈N *)，

求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

解：(1)由已知得???

a 1＝2＋1，

3a 1＋3d ＝9＋32，

∴d ＝2.

故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S n

n ＝n ＋ 2.

假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0，

∵p ，q ，r ∈N *，∴?

????

q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，

∴????p ＋r 22

＝pr ，(p －r )2

＝0. ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．

∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．

21．(本小题满分12分)已知：sin 2 30°＋sin 2 90°＋sin 2 150°＝32，sin 2 5°＋sin 2 65°＋sin 2

125°＝32，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题，并

给予证明．

解：一般形式为：

sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝3

证明：左边＝1－cos 2α2＋1－cos (2α＋120°)

2＋

1－cos (2α＋240°)2

＝32－1

[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－1

2(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°) ＝32－12cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos 2α＋32sin 2α＝3

＝右边．

将一般形式写成sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝3

2也正确

22．(本小题满分12分)根据要求证明下列各题：

(1)用分析法证明：已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：|a|＋|b|

|a＋b|

≤2；

(2)用反证法证明：1，2，3不可能是一个等差数列中的三项．

证明：(1)a⊥b?a·b＝0，要证|a|＋|b|

|a＋b|

≤ 2.

只需证|a|＋|b|≤2|a＋b|，

只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，

只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，

只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，

上式显然成立，故原不等式得证．

(2)假设1，2，3是某一个等差数列中的三项，且分别是第m，n，k项(m，n，k∈N*)，

则数列的公差d＝

2－1

n－m

＝

3－1

k－m

，即2－1＝

2(n－m)

k－m

，

因为m，n，k∈N*，所以(n－m)∈Z，(k－m)∈Z，所以2(n－m)

k－m

为有理数，

所以2－1是有理数，这与2－1是无理数相矛盾．

故假设不成立，所以1，2，3不可能是一个等差数列的三项．