最精最全的《函数与导数解题方法知识点技巧总结》

最精最全的《函数与导数解题方法知识点技巧总结》

1.高考试题中，关于函数与导数的解答题(从宏观上)有以下题型： （1）求曲线()y f x =在某点出的切线的方程 （2）求函数的解析式

（3）讨论函数的单调性，求单调区间 （4）求函数的极值点和极值 （5）求函数的最值或值域 （6）求参数的取值范围 （7）证明不等式 （8）函数应用问题

2.在解题中常用的有关结论（需要熟记）：

曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，且切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+。 若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值，则0()0f x '=。反之不成立。

对于可导函数()f x ，不等式()f x '

0>0<（）的解是函数()f x 的递增（减）区间。

函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立（()f x '

不恒为0）.

若函数()f x 在区间I 上有极值，则方程()0f x '=在区间I 上有实根且非二重根。 （若()f x '

为二次函数且I=R ，

则有0?>）。

若函数f(x)在区间I 上不单调且不为常量函数,则()f x 在I 上有极值。

若x I " ()f x 0>恒成立，则m in ()f x 0>; 若x I ?∈()f x 0<恒成立，则m ax ()f x 0<

若

0x I

?∈使得

0()f x 0>，则m ax ()f x 0>.;若0x I ?∈使得 0()f x 0<，则m in ()f x 0

<.

设()f x 与()g x 的定义域的交集为D ，若x ?∈D ()f x >()g x 恒成立，则有

[]min ()()0f x g x ->.

（10）若对11

x I ?∈、

22

x I ∈ ，

12()()f x g x >恒成立，则min max

()()f x g x >.

若对

11

x I ?∈，

22

x I ?∈ ， 使得

12()()

f x

g x >, 则

min min

()()f x g x >. 若对

11

x I ?∈，

22

x I ?∈,使得

12()()

f x

g x <,则

m ax m ax

()()f x g x <.

（11） 已知()f x 在区间1I 上的值域为A,()g x 在区间2I 上值域为B ，若对11x I ?∈,22

x I ?∈使得1()f x =2()g x 成

立，则A B ?。

（12） 若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '

=有两个不等实根12,x x 且12()()0f x f x <

（13） 证题中常用的不等式:

①ln 1(0)x x x ≤->（仅当x=1时取“=”

） ②

ln +1(1)x x x ≤>-（）（仅当x=0时取“=”

）

③

2

ln(1)(0)x x x +<> ④ln 1(1)

1

2

x

x x x -<

>+

⑤2

2

ln 11(0)

2

2x

x x

x

<

-

>

⑥ 1x

e x ≥+ ⑦1x

e

x -≥-

3.函数与导数解答题常见题型的解法

（1）已知曲线()y f x =

（含参数）的切线方程为y kx b =+，求参数的值

【解法】先设切点坐标为00(,)x y ，求出切线方程 000()()()

y f x x x f x '=

-+

再与已知切线方程比较系数得: 000()()()f x k

xf x f x b

'=??

'-+=?

解此方程组可求参数的值

（2）已知函数()y f x =

（含参数）

，讨论函数的单调性 【解法】先确定()f x 的定义域，并求出()f x '，观察()f x '能否恒大于或等于（恒小于或

等于）0，如果能，则求参数的范围，讨论便从这里开始，当参数在上述范围以外取值时，令()0f x '=，求根12,x x .再分层讨论，是否在定义域内或讨论12,x x 的大小关系，再列表讨论，确定()f x 的单调区间。（大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数，因此讨论函数单调性问题又往往是讨论二次函数在某一区间上的符号问题）

（3）已知函数()y f x =

（含参数）在区间I

上有极值，求参数的取值范围.

【解法】函数()f x 在区间I 上有极值，可转化为，方程()0f x '= 在区间I 上有实根，

且为非二重根。从而确定参数（或其取值范围）。

（4）可导函数()f x （含参数）在区间I 上无极值，求参数的取值范围

【解法】()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，

进而得到()f x '0≥或()f x '0

≤在I 上恒成立

（5） 函数()f x （含单个或多个参数）仅在0x x =

时取得极值，求参数的范围

【解法】先由()0f x '=，求参数间的关系，再将()f x '表示成

()

f x '=0()

x x -()

g x ，再由

()g x 0≥(0)≤恒成立，

求参数的范围。（此类问题中()f x '一般为三次多项式函数）

（6） 函数()f x （含参数）在区间I 上不单调，求参数的取值范围

【解法一】转化为()f x 在I 上有极值。（即()0f x '= 在区间I 上有实根且为非二重根）。 【解法二】从反面考虑：假设()f x 在I 上单调则()f x ' 0

≥(0)≤在

I 上恒成立，求出参

数的取值范围，再求参数的取值范围的补集

（7）已知函数()f x （含参数），若0x I ?∈，使得0()f x 0>0<（）成立，求参数的取值范围. 【解法一】转化为()f x 在I 上的最大值大于0（最小值小于0）

【解法二】从反面考虑：假设对()0(0)x I f x ?∈≤≥，恒成立则 m ax ()f x 0≤ （m in ()f x 0≥）,

求参数的取值范围，再求参数的取值范围的补集

（8）含参数的不等式恒成立，求参数的取值范围 【解法一】分离参数求最值 【解法二】构造函数用图像

（注：对于多变量不等式恒成立，先将不等式变形，利用函数的最值消变元，转化

为单变量不等式恒成立问题）

（9）可导函数()f x （含参数）在定义域上存在单调递增(减)区间， 求参数的范围. 【解法】等价转化为()f x '0>0<（）在定义域上有解即0x ?∈D 使0()f x 0>0<（）成立（1）

可用分离参数法（2）利用图像及性质

（10）证明不等式

【解法】构造函数()f x 并确定定义域D ，考察在D 上的单调性（注意区间端点的函数值）

或者求()f x 在D 上的最值

（ 注：对于含有正整数n 的带省略号的不定式的证明，先观察通项，联想基本不

定式，确定要证明的函数不定式，再对自变量x 赋值，令x 分别等于1、2、…….、n,把这些不定式累加，可得要证的不定式。）