线性代数[第三章n维向量]山东大学期末考试知识点复习
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第3章 n维向量
一、n维向量的概念
1．n维向量的定义
由n个数a1，a2，…，a n所组成的一个有序数组α=(a1，a2，…，a n)称为一个n维向量，其中第i个数ai称为向量α的第i个分量(i=1，2，…，n)．向量常用希腊字母α，β，γ，…来表示，其分量常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示．
2．零向量
所有分量都是零的向量称为零向量．
3．负向量
向量α中的每个分量都变号后得到的向量，称为α的负向量，记为-α．4．向量相等
两个向量相等的充要条件是它们的对应分量相等．
二、向量的线性运算
1．向量的加法
设α=(a1，a2，…，a n)，β=(b1，b2，…，b n)，定义α+β为这两个向量的对应元素相加所得到的向量，即α+β=(a1+b1，a2+b2，…，a n+b n)，并称其为向量的加法．
2．数与向量的乘法
设α=(a1，a2，…，a n)，k∈R，则kα=(ka1，ka2，…，ka n)
3．向量的减法
设α=(a1，a2，…，a n)，β=(b1，b2，…，b n)，则
α-β=(a1-b1，a2-b2，…，a n-b n)．
4．向量的线性运算
向量的加法以及数与向量的乘法称为向量的线性运算．向量的线性运算满足
以下八条运算规律：
(1)α+β=β+α；(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)；
(3)α+θ=α；(4)α+(-α)=θ；
(5)1.α=α；(6)(kl)α=k(lα)；
(7)k(α+β)=kα+kβ；(8)(k+l)α=kα+lα
三、向量的线性组合
1．向量的线性组合的定义
设β，α1，α2，…，αn是一组m维向量，如果存在数k1，k2，…，k n使得关系式β=k1α1+k2α2+…+k nαn成立，则称卢是向量组α1，α2，…，αn的线性组合，或称β可由向量组α1，α2，…，αn线性表示．
2．几个常用结论
(1)零向量可由任意同维向量组线性表示；
(2)向量组中的任一向量可由该向量组线性表示；
(3)任一n维向量α=(a1，a2,…，a n)都可由n维单位向量组ε1，ε2，…，ε
线性表示，且α=a1ε1+a2ε2+…+a nεn．
n
四、向量组的等价
1.定义
设有两个向量组
α1，α2，…，αm，(1)
β1，β2，…，βn．(2)
若向量组(1)中每个向量可以由向量组(2)线性表示，则称向量组(1)可由向量组(2)线性表示．若向量组(1)与向量组(2)可互相线性表示，则称两向量组等价，记作
{α1，α2，…，αm}≌{β1，β2，…，βn}．
2．向量组的等价性质
向量组的等价满足反身性、对称性、传递性．
五、向量组线性相关与线性无关
1．定义
设α1，α2，…，αn为n个m维向量，如果存在一组不全为零的数k1，k2，…，k n，使得k1α1+k2α2+…+k nαn=θ成立，则称向量组α1，α2，…，αn线性相关；否则，称向量组α1，α2，…，αn线性无关．
线性无关的几种等价定义：
(1)对任意一组不全为零的数k1，k2，…，k n，都有k1α1+k2α2+…+k nαn≠
θ
(2)k1α1+k2α2+…+k nαn=θ当且仅当k1，k2，…，k n全为零．
2．几个常用结论
(1)由一个向量α构成的向量组线性相关的充要条件是α=θ．
(2)由两个向量构成的向量组线性相关的充要条件是其对应分量成比例．
(3)含有零向量的任一向量组线性相关．
(4)若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组线性相关；反之，若一个向量组线性无关，则它的任一部分组都线性无关．我们可把这个结论简单地记为“部分相关，整体相关；整体无关，部分无关”．
(5)一个线性无关的向量组中的每个向量按相同的位置随意增加一些分量所得到的高维向量组仍线性无关．
逆否命题：一个线性相关的向量组中的每个向量按相同的序号划去一些分量所得的低维向量组仍线性相关．
(6)n维向量组α1，α2，…，αn线性无关的充要条件是D=det(α1，α2，…，αn)≠0；
n维向量组α1，α2，…，αn线性相关的充要条件是D=det(α1，α2，…，αn)=0．
(7)向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余s-1个向量的线性组合．
(8)若向量组α1，α2，…，αs线性无关，而α1，α2，…，αs，β线性相关，则向量β可由向量组α1，α2，…，αs线性表示，且表示法惟一．
(9)若向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表示，且s>t，则向量组α1，α2，…，αs线性相关．
逆否命题：若向量组α1，α2，…，αs线性无关，且可由向量组β1，β2，…，βt线性表示，则s≤t．
(10)m个n维向量组(m>n)必线性相关．
(11)两个等价的线性无关的向量组必含有相同个数的向量．
六、向量组的极大线性无关组
1．极大线性无关组的概念
向量组α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs的部分组α1，α2，…，αr是极大无关组
?(1)α1，α2，…，αr线性无关；
(2)α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs中每个向量可由α1，α2，…，αr 线性表示．
?(1)α1，α2，…，αr线性无关；
(2)α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs中任意r+1个向量线性相关．
2．关于极大线性无关组的常用结论
(1)含非零向量的任一向量组一定存在极大无关组．
(2)线性无关向量组的极大无关组是其自身、．
(3)任何向量组均与其极大无关组等价．
(4)一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量．
七、向量组的秩
1．向量组的秩的定义
向量组α1，α2，…，αs的任一极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记为r(α1，α2，…，αs)．
2．关于向量组的秩的常用结论
(1)对任何向量组α1，α2，…，αs均有0≤r(α1，α2，…，αs)≤s；
(2)向量组α1，α2，…，αs线性无关?r(α1，α2，…，αs)=s；
(3)向量组α1，α2，…，αs线性相关?r(α1,α2，…，αs) (4)若向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表示，则r(α1，α2，…，αs)≤r(β1，β2，…，βt)． 特别地，若两向量组等价，则它们的秩相同；反之不真． (5)若向量组的秩为r，则其任何含r个向量的线性无关的部分组都是其极大线性无关组． 八、矩阵的行秩与列秩 1．定义 矩阵A的行(列)向量组的秩称为A的行(列)秩． 2．矩阵秩的性质 (1)对任何矩阵A，都有A的行秩=A的列秩=r(A)； (2)r(AB)≤min{r(A)，r(B)}； (4)r(A+B)≤r(A)+r(B)． 九、极大无关组的求法 1.矩阵的初等行(列)变换不改变其列(行)向量间的线性关系 2．求向量组α1，α2，…，αs的一个极大无关组的方法 (1)以α1，α2，…，αs为列向量作矩阵A； (2)对A施以初等行变换化成阶梯形矩阵B，设r(B)=r，且B中第j1，j2，…，j r列有一个r阶子式不等于零，则αj1，αj2，…，αjr即为所求向量组的一个极大无关组． 3．求向量组α1，α2，…，αs的极大无关组并将其余向量用该极大无关组表出的方法 (1)以α1，α2，…，αs为列向量作矩阵A； (2)对A施以初等行变换化成阶梯形矩阵B； (3)再通过初等行变换化为行简化阶梯形矩阵C，设矩阵C的第j1，j2，…，j r列为单位向量，则αj1，αj2，…，αjr即为所求向量组的一个极大无关组，且C 中列向量间的线性关系即为A中相应列向量间的线性关系． 十*、向量空间 1.向量空间的定义 设V是非空的n维向量的集合，若集合V对于加法及数乘两种运算封闭，则称V是向量空间． 2．向量空间的生成 3．向量空间的相等 若{α1，α2，…，αm}≌{β1，β2，…，βn}，则span(α1，α2，…，αm)=span(β1，β2，…，βn)． 4．向量空间的子空间 设有向量空间V1，V2，若V1?V2，则称V1是V2的子空间． 5．向量空间的基及其维数 设V是向量空间，如果存在r个向量α1，α2，…，αr∈V，满足 (1)α1，α2，…，αr线性无关； (2)V中任一向量都可由α1，α2，…，αr线性表示； 则称α1，α2，…，αr为V的一个基，r称为V的维数． 十一、重点难点 （一）重点 (1)向量的线性运算可以看做是特殊矩阵的线性运算，它是后面讨论向量的线性组合、线性相关性等概念的基础，必须熟练掌握． (2)向量的线性组合、线性相关、线性无关的概念、性质及三者之间的关系定理是本章的重点，要熟练掌握三个概念及有关结论，详见内容提要；要深刻理解概念、定理的本质，熟练掌握线性相关和线性无关的有关性质及判别法，并能灵活应用． (3)向量组的极大无关组是特别重要的概念，它在向量组线性相关性的证明中往往能起到重要的作用；此外，还应当掌握求向量组的极大无关组的方法． (4)理解并掌握向量组的秩的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩的关系，熟练掌握求向量组的秩的方法，并能通过秩这一重要工具来判断向量组的线性相关性． （二）难点 (1)向量组的线性相关性的证明．常见的方法有：定义法、利用有关结论及定理、利用齐次线性方程组有无非零解、利用向量组的秩与向量组所含向量的个数关系等． (2)向量组的秩与线性方程组有关理论的证明． n维向量部分 这部分逻辑性非常强，考生必须要相当熟悉教材中的重要定理。从历年考试情况来看，线性相（无）关、线性表出、极大无关组、向量组的秩及等价、向量空间（数一）等内容是考试经常会涉及到的内容。常出现在选择题中。 回顾： n维向量的运算 1．定义：设 ，，k为数域Ｐ中的数，定义 ,称为向量与的和； ,称为向量与数k的数量乘积． 2．向量运算的基本性质 1） 2） 3） 4） 5） 6） 7） 8），9），， 10）若，则即，若，则或 1 向量组的秩、极大无关组的相关题型 知识点 极大线性无关组定义：设为中的一个向量组，它的一个部分组若满足 i) 线性无关 ii) 对任意的，可经线性表出 则称为向量组的一个极大线性无关组（简称极大无关组）． 向量组的秩 定义：向量组的极大无关组所含向量个数称为这个向量组的秩．性质： 1）一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量个数相同． 一个向量组线性相关的充要条件是它的秩＜它所含向量个数．2）等价向量组必有相同的秩．（注意：反之不然．） 3）若向量组可经向量组线性表出，则 秩秩． 例1 设向量组 （1）求此向量组的秩； （2）求此向量组的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组表示。 例2 选择题 若向量组的秩为 r,则（） （A）必定r 必修4 平面向量知识点小结 一、向量的基本概念 1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别. 向量常用有向线段来表示 . 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移. 举例 1 已知A（1,2），B（4,2），则把向量u A u B ur按向量a r（ 1,3）平移后得到的向量是. 结果：（3,0） 2.零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的方向是任意的； 3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位 向量（与u A uu B r共线uuur 的单位向量是u A u B ur ）； | AB| 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 a r、 b r叫做平行向量，记作：a r∥b r， 规定：零向量和任何向量平行 . 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有r0）； ④三点A、B、C 共线u A uu B r、u A u C ur共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a r的相反向量记作a r. 举例 2 如下列命题：（1）若|a r | |b r | ，则a r b r. （2）两个向量相 等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 . （3）若u A u B ur u D u C u r，则ABCD是平行四边形 . （4）若ABCD是平行四边形，则u A uu B r u D u C uur. （5）若a r b r，b r c r，则a r c r. （6）若a r / /b r，b r / /c r则a r / /c r.其中正确的是. 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法 高考平面向量知识点总结 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式： a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为 () 11,x y ， () 22,x y ，则 ()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向 b a C B A a b C C -=A -AB =B 线性代数教学教案 第3章 向量与向量空间 授课序号01 教 学 基 本 指 标 教学课题 第3章 第1节 维向量及其线性运算 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 维向量的概念、向量的线性运算的性质 教学难点 向量的线性运算的性质 参考教材 同济版《线性代数》 作业布置 课后习题 大纲要求 理解维向量的概念 教 学 基 本 内 容 一． 维向量的概念 1．维向量：由个数组成的有序数组称为维向量. 2．称为维行向量，称为维列向量. 二．维向量的线性运算 1．定义： （1）分量全为0的向量称为零向量； （2）对于，称为的负向量； （3）对于，，当且仅当时，称与相等； （4）对于，，称为与的和； （5）对于，，称为与的差； （6）对于，为实数，称为的数乘，记为. 2．向量的线性运算的性质：对任意的维向量和数，有： n n n n n n n a a a ,,,21 n ),,,(21n a a a n 12?????????????? n a a a n n ()12T n αa ,a ,,a = ()12---T n a ,a ,,a αT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β),,2,1(n i b a i i ==αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =βT n n b a b a b a ),,,(2211+++ αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β()1122---T n n a b ,a b ,,a b αβT n a a a ),,,(21 =αk T n ka ka ka ),,,(21 ααk n γβα，，l k , 《第四章 向量空间》 自测题 （75分钟） 一、选择、填空（20分，每小题4分） 1. 下列向量集合按向量的加法和数乘运算构成R 上一个向量空间的是（ ）。 （A ）R n 中，分量满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量； （B ）R n 中，分量是整数的所有向量； （C ）R n 中，分量满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量； （D ）R n 中，分量满足x 1=1，x 2，…，x n 可取任意实数的所有向量。 2．设R 4 的一组基为,,,,4321αααα令 414433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=， 则子空间}4,3,2,1,|{44332211=∈+++=i F k k k k k W i ββββ的维数为 ，它的一组基为 。 3. 向量空间R n 的子空间 },0|)0,,,,{(1121121R x x x x x x x W n n ∈=+=-- 的维数为 ， 它的一组基为 。 4. 设W 是所有二阶实对称矩阵构成的线性空间，即?? ? ???????∈???? ??=R a a a a a W ij 2212 1211，则它的维数为 ，一组基为 。 5．若A=????? ? ? ?????? ?? ? - 10 0021021b a 为正交矩阵，且|A|=－1，则a = ，= 。 二、计算题（60分） 1.（15分）设R 3的两组基为： T T T )1,1,0(,)0,1,1(,)1,0,1(321===ααα和T T T )1,2,1(,)2,1,1(,)1,1,1(321===βββ， 向量α=（2，3，3）T （1）求由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵。 （2）求α关于这两组基的坐标。 （3）将321,,βββ化为一组标准正交基。 2. （15分）在R 4 中，求下述齐次线性方程组的解空间的维数和基， 第五节 向量空间 分布图示 ★ 向量空间 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 子空间 ★ 例6 ★ 例7 ★ 向量空间的基与维数 ★ 例8 ★ 例9 ★ 向量在基下的坐标 ★ 例10 ★ 关于集合的坐标系的注记 ★ 例11 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-5 内容要点 一、向量空间与子空间 定义1 设V 为n 维向量的集合,若集合V 非空,且集合V 对于n 维向量的加法及数乘两种运算封闭, 即 (1) 若,,V V ∈∈βα则V ∈+βα; (2) 若,,R V ∈∈λα则V ∈λα. 则称集合V 为R 上的向量空间. 记所有n 维向量的集合为n R , 由n 维向量的线性运算规律,容易验证集合n R 对于加法及数乘两种运算封闭. 因而集合n R 构成一向量空间, 称n R 为n 维向量空间. 注：3=n 时, 三维向量空间3R 表示实体空间; 2=n 时, 维向量空间2R 二表示平面; 1=n 时, 一维向量空间1R 表示数轴. 3>n 时, n R 没有直观的几何形象. 定义2 设有向量空间1V 和2V , 若向量空间21V V ?, 则称1V 是2V 的子空间. 二、向量空间的基与维数 定义3 设V 是向量空间, 若有r 个向量V r ∈ααα,,,21 , 且满足 (1) r αα,,1 线性无关; (2) V 中任一向量都可由r αα,,1 线性表示. 则称向量组r αα,,1 为向量空间V 的一个基, 数r 称为向量空间V 的维数,记为r V =dim 并称V 为r 维向量空间. 注: (1) 只含零向量的向量空间称为0维向量空间, 它没有基; (2) 若把向量空间V 看作向量组,则V 的基就是向量组的极大无关组, V 的维数就是向量组的秩; (3) 若向量组r αα,,1 是向量空间V 的一个基,则V 可表示为 }.,,,,|{2111R x x V r r r ∈++==λλλαλαλ 此时, V 又称为由基r αα,,1 所生成的向量空间. 故数组r λλ,,1 称为向量x 在基r αα,,1 中的坐标. 注: 如果在向量空间V 中取定一个基r a a a ,,,21 , 那么V 中任一向量x 可惟一地表示为 ,2211r r a a a x λλλ+++= 数组r λλλ,,,21 称为向量x 在基r a a a ,,,21 中的坐标. （1）设n 阶方阵A 的秩r 第三章 课后习题及解答 将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合： 1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T 4T 3T 21T --=--=--===αααααT 2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα 解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得 解得.4 1,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+= . 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得 02321=++k k k ，04321=+++k k k k ， 0342=-k k ，1421=-+k k k . 解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=. 判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T 3T 2T 1===ααα 4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T 3T 2T 1==-=βββ， 解： 3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即 ?????=++=++=+0650320321 32131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关. 4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即 ???????=++=++=+-=+0 14240720303321321 2131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件. 解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性 无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是 0=α. 6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法， 假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关， 则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾， 所以该命题成立. 7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关. 证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ， 第三章 线性方程组 § n 维向量及其线性相关性 教学目标：掌握n 维向量及其运算，准确理解向量的线性相关和线性无关的定义， 掌握向量组的线性相关和线性无关的判定定理和判定方法. 重 点： ★ n 维向量的概念 ★ 向量的线性运算 ★ 线性方程组的向量形式 ★ 向量组的线性组合 ★ 向量组间的线性表示 ★ 线性相关和线性无关的概念 ★ 向量组的线性相关和线性无关判定 难 点： ★ 线性相关和线性无关的概念的理解， ★ 向量组的线性相关和线性无关的证明 内容要点 一、n 维向量及其线性运算 定义 数域F 上的n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的有序数组),,,(21n a a a 称为数域F 上的n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量. 向量常用小写希腊字母,,,αβγ来表示； 向量通常写成一行 12(,, ,)n a a a α= 称之为行向量； 向量有时也写成一列 12n a a a α?? ? ?= ? ??? T n a a a ),,,(21 = 称之为列向量． 注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上面定义的3维向量. 因此，当3≤n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3>n 时，n 维向量没有直观的几何形象. 若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组.=n F {数域F 上n 维向量的全体},=n R 实数域上的n 维向量的全体. 例如，一个n m ?矩阵 ?? ?? ?? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 每一列???? ?? ? ??=mj j j j a a a 21α),2,1(n j =组成的向量组n ααα,,,21 称为矩阵A 的列向量组， 而由矩阵A 的每一行),,2,1(),,,(21m i a a a in i i i ==β组成的向量组m βββ,,,21 称为矩阵A 的行向量组. 根据上述讨论，矩阵A 记为),,,(21n A ααα = 或 ???? ?? ? ??=n A βββ 21. 这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系. 定义 两个n 维向量),,,(21n a a a =α与),,,(21n b b b =β的各对应分量之和组成的向量，称为向量α与β的和, 记为βα+，即 ),,,(2211n n b a b a b a +++=+ βα 由加法和负向量的定义，可定义向量的减法： )(βαβα-+=- ),,,(2211n n b a b a b a ---= . 定义 n 维向量),,,(21n a a a =α的各个分量都乘以实数k 所组成的向量，称为数k 与向量α的乘积（又简称为数乘），记为αk ，即 ),,,(21n ka ka ka k =α. 向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算. 注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律: (1) αββα+=+; (2) )()(γβαγβα++=++; (3) ;αα=+o (4) ;)(o =-+αα (5) ;1αα= (6) ;)()(ααkl l k = (7) ;)(βαβαk k k +=+ (8) .)(αααl k l k +=+ 二、 n 维向量空间 定义：数域P 上的n 维向量的全体，同时考虑到定义在它们上的的加法和数量乘法，称为 第4章 n 维向量空间 §4.1 n 维向量 定义 1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组),,,(21n a a a 称为 n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量. n 维向量可写成一行，称为行向量，也可以写成一列,称为列向量. 向量常用黑体小写字母βα、、、b a 等表示, 即n 维列向量记为???? ?? ? ??=n a a a 21α,n 维行向量记为),,,(21n αααα =. 行向量与列向量的计算按矩阵的运算规则进行运算. 例 设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(T T T =-=-=γβα (1) 求 γβα32-+; (2) 若有x , 满足,0253=++-x γβα 求 .x 解（1）γ βα32-+T T T )1,0,1,0(3)2,4,7,1()3,1,0,2(2--+-=.)1,2,4,5(T = （2）由,0253=++-x γβα得 x )53(21γβα-+-=])1,0,1,0(5)2,4,7,1()3,1,0,2(3[2 1 T T T --+--=.)8,2/7,1,2/5(T --= 在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），这就是上面定义的3维向量. 因此，当3≤n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3>n 时，n 维向量没有直观的几何形象. §4.2 向量组的线性相关性 1、向量组的概念 若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组. 代数： 代数是研究数、数量、关系、结构与代数方程的通用解法及其性质的数学分支。初等代数一般在中学时讲授，介绍代数的基本思想：研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么，以及了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。 线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间，线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。 定义与历史： 概念 线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。 所谓“线性”，指的就是如下的数学关系：。其中，f叫线性算子或线性映射。所谓“代数”，指的就是用符号代替元素和运算，也 就是说：我们不关心上面的x，y是实数还是函数，也不关心f是多项式还是微分，我们统一把他们都抽象成一个记号，或是一类矩阵。合在一起，线性代数研究的就是：满足线性关系的线性算子f都有哪几类，以及他们分别都有什么性质。 历史 线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。“鸡兔同笼”问题实际上就是一个简单的线性方程组求解的问题。最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。 由于费马和笛卡儿的工作，现代意义的线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维线性空间的过渡。 随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在18～19世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。向量概念的引入，形成了向量空间的概念。凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。 矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维线性 第二节 n 维向量空间 定义1：n 个实数组成的有序数组称为n 维向量,一般用γβα,,等希腊字母 表示。称()n a a a ,,,21 =α为n 维行向量,称()T n n b b b b b b ,,,2121 =?????? ? ??=β为n 维列向 量。称i i b a ,分别为向量βα,的第i 个分量。 特别对矩阵=A ?? ? ? ? ? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a 2 1 22221 11211中每一行()in i i a a a ,,,21 ),,2,1(m i =称为 矩阵A 的行向量；每一列() T nj j j a a a ,,,21 ),,2,1(n j =称为矩阵A 的列向量。 定义2：所有分量都是零的向量称为零向量，零向量记作0＝()000 。 定义3：由n 维向量()n a a a ,,,21 =α各分量的相反数组成的向量，称为α的负向量，记作：()n a a a ---=-,,,21 α。 定义4：若n 维向量()n a a a ,,,21 =α与()n b b b ,,,21 =β的所有对应分量相等，即),,2,1(n i b a i i ==，则称这两个向量相等，记作βα=。 定义5：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α,()n b b b ,,,21 =β，βα与对应分量的和所构成的n 维向量，称为向量βα与的和，记作βα+。 ()n n b a b a b a +++=+,,,2211 βα ()βαβα-=-+()n n b a b a b a ---=,,,2211 定义6：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α的各分量都乘以数k 后所组成的n 维向量，称为数k 与向量α的乘积，记作： k α＝()n ka ka ka ,,,21 。 向量的运算性质： （1）αββα+=+ （2）γβαγβα++=++)()( 本章结构 0 m n m n A x b A x ????→?=? →???→?=? →→??6444444444447444444444448矩阵表示消元法 非齐次向量表示向量与向量组的线性组合 线性方程组 矩阵表示消元法 齐次向量表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组、秩 齐次线性方程组 非齐次线性方程组 解的性质、基础解系、全部解 解的性质、全部解 常用方法：1????→????????→??????→初等行变换 初等行变换 初等行变换 非零首元上面元素消成零非零首元消成“”相应矩阵阶梯形简化阶梯行最简阶梯 1、矩阵A 化等价标准形 A ????→初等行变换 阶梯形，求出矩阵A 的秩r ，则标准形 r I O D O O ??= ? ?? 2、求矩阵A 的逆 ()()1A I I A -→M M 3、消元法求线性方程组Ax b =的解 增广矩阵()A b M →行最简阶梯 4、求矩阵A 的秩 A →阶梯形 5、判断向量β能否由向量组12,,,s αααL 线性表示 以12,,,,s αααβL 为列向量的矩阵→行最简阶梯 6、求向量组12,,,s αααL 的秩和一个极大无关组，并将其它向量用该极大无关组线性表示 以12,,,s αααL 为列向量的矩阵→行最简阶梯 7、用基础解系表示(非)齐次线性方程组的全部解 增广矩阵()A b M →行最简阶梯 一、用消元法求解非齐次线性方程组m n A x b ?= 1、() A b M u u u u u u u u u u u u u u u r 初等行变换阶梯形矩阵，进而求出()r A 和(,)r A b 2、观察()r A 和(,)r A b 的关系：(1) ()(,)r A r A b ≠，方程组无解；(2) ()=(,)r A r A b ，方程组有解： ①、()=(,)r A r A b n =，方程组有唯一解； ②、()=(,)r A r A b n <，方程组有无穷多个解. 第三章 向量 1、基本概念 定义1：由n 个数构成的一个有序数组[]n a a ,,a 21ΛΛ称为一个n 维向量， 称这些数为它的分量。分量依次是a 1,a 2,? ,a n 的向量可表示成： =α[]n a a ,,a 21ΛΛ，称为行向量，或=T α[]T n a a ,,a 21ΛΛ称为列向量。 请注意，作为向量它们并没有区别，但是作为矩阵，它们不一样(左边是1?n 矩阵，右边是n ?1矩阵)。习惯上把它们分别(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别)。 一个m ?n 的矩阵的每一行是一个n 维向量，称为它的行向量；每一列是一个m 维向量，称为它的列向量，常常用矩阵的列向量组来写出矩阵，例如当矩阵A 的列向量组为m ααα,,21ΛΛ时(它们都是表示为列的形式!)可记A =（m ααα,,21ΛΛ ）。 矩阵的许多概念也可对向量来规定，如元素全为0的向量称为零向量，通常也记作0。 两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等. 2、向量的线形运算 3、向量组的线形相关性 定义2：向量组的线性组合:设m ααα,,21ΛΛ是一组n 维量,m k k k ΛΛ21,是 一组数，则m m k k k αααΛΛ++2211为m ααα,,21ΛΛ的线性组合。 n 维向量组的线性组合也是n 维向量。 定义3：线形表出：如果n 维向量β能表示成m ααα,,21ΛΛ的一个线性组 合，即=βm m k k k αααΛΛ++2211，则称β可以用量组m ααα,,21ΛΛ线性表示。 判别β是否可以用m ααα,,21ΛΛ线性表示? 表示方式是否唯一？就是问：向量方程βααα=++m m x x x ΛΛΛ2211是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以()βαααM ΛΛm 21,为增广矩阵的线性方程组。反之，判别 “以 ()βM A 为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？的问题又可转化为 β是否可以用A 的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题。 定义4：线性相关：对m 个n 维向量m ααα,,21ΛΛ，若存在一组不全为0 的数m k k k ΛΛ21,，使得m m k k k αααΛΛ++2211=0成立，则称向量组 m ααα,,21ΛΛ线性相关。 包含0向量的向量组肯定线性相关，有相等向量或成比例向量的向量组线性相 关，单个向量是0向量时线性相关。 定义5：线性无关：向量组m ααα,,21ΛΛ，只有当m k k k ΛΛ21,全为0时， 才有m m k k k αααΛΛ++2211=0成立，则称向量组m ααα,,21ΛΛ线性无关。 单个向量是非0向量时线性无关。 向量组m ααα,,21ΛΛ “线性相关还是无关”也就是向量方程 m m k k k αααΛΛ++2211=0 有没有非零解（仅有0解）,也就是以m ααα,,21ΛΛ为系数矩阵的齐次线性方程组有无非零解（仅有0解）. ?????? ?=+++=+++=+++0 002211222212112121 11m nm n n m m m m x a x a x a x a x a x a x a x a x a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 第二章 向量空间 打印本页 内容提要：n 维向量的概念：向量的线性运算：向量空间及其子空间的概念。向量组的线性相关与线性无关，向量组的秩的概念，向量空间的基，维数和向量的坐标。 一、向量空间及其子空间 1.n 维向量及其线性运算 例：坐标原点0（0，0）为起点，以M （x,y ）为终点的向量OM ，称为点M 的位置向量或点M 的向径，可用有序数组（X ，Y ）来表示，而M 1（x 1，y 1）为起点，M 2（x 2， y 2）为终点的向量m 1m 2可用二元有序数组（x 2－x 1，y 2－y 1）表示，类似地，空间中的向量可以用3元有序数组（a 1，a 2，a 3）来表示。 定义： 称由n 个数a 1，a 2……a n 组成的有序数组（a 1，a 2……a n ） 为一个n 维向量，数a i 称为该向量的第i 个分量。（i=1,2……，n ） 行向量：（a 1，a 2……a n ） 列向量： α,β，x ，y……等来表示向量，用ai, xi, yi ……等来表示向量的分量 向量的相等：如果两个n 维向量 α=（ a 1，a 2……a n ），β=（ b 1，b 2……b n ） 的对应分量相等，即ai=bi （I=1,2……n ） 则称向量α与β相等，记为α=β 零向量：分量全是零的n 维向量称为n 维零向量，记为0 负向量：对于向量α=（a 1，a 2……a n ）称 -α=（-a 1,-a 2.……-an ）为α的负向量。 向量的线 性运算：加法运算 =（a1,a2,---,a n） =（b1，b2，---b n） 与的和为：+=（a 1 +b1，a2+b2，……，a n+b n） 数乘运算：k（或k）=（ka 1，ka 2 ，……，ka n ） 减法运算：-=+（-）=（a 1 -b1，a2-b2，……a n-b n）向量的线性运算法则： （1）+=+ （2）（+）+=+（+） （3）+0= （4）+（-）=0 （5）1= （6）k（l）=（kl） （7）k（+）=k+k （8）（k+l）=k+l 向量的转置和乘法矩阵一致 例：设向量=（4，7，-3，2） =（11，-12，8，58） 求满足5-2=2（-5）的向量 解：∵5-2=2（-5） ∴15=2+2 ∴=（+）=（15，-5，5，60） =（2，，8） 由向量的定义，一个mxn的矩阵 可以看成是用m个n维行向量：ai=（ai1，ai2，……，ain）（i=1，2，……m）组成的，或看成是由n个m维列向量 习题 三 1. 略.见教材习题参考答案. 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 略.见教材习题参考答案. 5.112223334441,,,=+=+=+=+βααβααβααβαα，证明向量组1234,,,ββββ线性相关. 【证明】因为 1234123412341312342() 2()0 +++=+++?+++=+?-+-=ββββααααββββββββββ 所以向量组1234,,,ββββ线性相关. 6. 设向量组12,,,r L ααα线性无关，证明向量组12,,,r L βββ也线性无关，这里 12.i i +++L β=ααα 【证明】 设向量组12,,,r L βββ线性相关，则存在不全为零的数12,,,,r k k k L 使得 1122.r r k k k +++=L 0βββ 把12i i +++L β=ααα代入上式，得 121232()()r r r r k k k k k k k +++++++++=0L L L ααα. 又已知12,,,r L ααα线性无关，故 1220,0, 0.r r r k k k k k k +++=??++=?? ??=? L L L L L 该方程组只有惟一零解120r k k k ====L ，这与题设矛盾，故向量组12,,,r L βββ线性无关. 7. 略.见教材习题参考答案. 8. 12(,,,),1,2,,i i i in i n ααα==L L α.证明：如果0ij a ≠，那么12,,,n L ααα线性无关. 【证明】已知0ij a =≠A ,故R (A )=n ,而A 是由n 个n 维向量12(,,,),i i i in ααα=L α线性代数 第三章向量
秩（向量组II） （C）秩（向量组I）<秩（向量组II） （D）不能确定秩（向量组I）与秩（向量组II）的大小关系 2 向量组的线性相关性的判定或根据向量相关性求参数 知识点：1对向量组，设 若如果存在不全为零的数，使上式成立，则向量组线性相关。 若当且仅当上式才成立，则线性无关。 2 设向量组I：可由向量组II：线性表现，若 r>s , 则向量组I线性相关。（注意它的逆否定理） 3 利用矩阵的秩或行列式 设有 s个n维列向量组，设A=()， 则当秩A=s时，线性无关；当秩A平面向量知识点总结(精华)
高考平面向量知识点总结
线性代数教案-向量与向量空间
线性代数向量空间自测题(附答案)
线性代数 向量空间
线性代数 第三章 测验
S 时，向量组（Ⅱ）必线性相关； （C ）当rS 时，向量组（Ⅰ）必线性相关； 7. 已知一个向量组为???? ? ???????--=????????????-=????????????=????????????=????????????=1311,4152,2312,1021,120154321ααααα，求该向量组的秩及该向量组的一个最大线性无关组, 并把其余列向量用该最大无关组线性表示.. 8. 当λ取何值时，非齐次线性方程组12312321231x x x x x x x x x λλλλλ?++=?++=??++=? (1) 有唯一解;(2)无解;(3)有无 穷多解，并求通解.居余马线性代数第三章课后习题
线性代数n维向量和向量组的线性相关性
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