中考数学规律题压轴题三角函数题

1、如图：某电信公司计划修剪一条连接BC两地的电缆，测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30°、45°，在B处测得C地的仰角为60°，已知点C比A高200m，求电缆BC的长（结果保留根号）

2、如图，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为30°，沿着坡角为25°的山坡前行1000米到达D点，在D点测得山顶B的仰角为45°，则山的高BC大约是多少米？？（精确到0.1米）

3、如图，甲船在港口P的北偏西60°方向，距港口80海里的A处，沿AP方向以12海里/时的速度驶向港口P。乙船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，现两船同时出发，2小时后乙船载甲船的正东方向。求乙船的航行速度。（精确到0.1海里/时，参考数据√2≈1.41，√3≈1.73）

4、如图，在某气象站M附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于气象站M的东偏南α方向100千米的海面P处，并以20千米/小时的速度向西偏北45°方向移动台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为20千米，并以10千米/小时的速度不断增大，已知cosα= √2/10 （读作十分之根号二），问：几小时后该气象站开始受台风的侵袭？

1、过B、C分别做BE、CF⊥AM于E、F 过B做BG⊥CF于G

设电缆BC的长X

在直角三角形BCG中

因为∠CBG=60°，BC=X

所以BG=X/2,CG=(√3)X/2

BE=GF=CF-CG=200-(√3)X/2

EF=BG=X/2

在直角三角形ABE中

因为∠BAE=30°，BE=200-(√3)X/2

所以AE=200√3-3X/2

所以AF=AE+EF=200√3-X

在直角三角形ACF中

因为∠CAF=45°，AF=200√3-X

CF=200

所以AF=CF

X=200√3-200

电缆BC的长(200√3-200)m

2、设BC即山的高度为x

BC=DE

AC=sqrt(3)*BC

BE=BC-AD*sin25°

DE=AC-AD*cos25°

BE=DE

即可得出

BC-AD*sin25°=sqrt(3)*BC-AD*cos25°

BC(1-sqrt(3))=AD(sin25°-cos25°）

BC=660.7

3、两小时后甲行驶的路程：S１＝V１T１＝１２*２＝２４海里。

船所在位置为北偏西６０度路P８０-２４＝５６海里处。

所以，此处相对P点的正北方向的距离为５６/２＝２８海里。

因为此时两船在正东西方向上成一直线。

所以，乙船此时也在距P点正北方向上２８海里处。

乙船行驶距离为２８√２海里。

所以，乙船的速度为１４√２海里。

4、假设台风中心在P'时M受影响，过M点做PN延长线的垂线交于O点，延长MN交PQ于S点

∵MP=100，cos∠MPS已知∴MS=70倍根号2，PS=10倍根号2

∵∠SPN=45°∴SN=10倍根号2，MN=60倍根号2∴MO=ON=60

∵∠MOP为直角∴OP=80

设x小时后开始受到台风侵袭P‘P=20x ,P'M=20+10x

在直角△MON中用勾股定理

OM平方+OP’平方=P'M平方

602+（80-20x）2=（20+10x）2

x=4或8

所以4小时后受台风侵袭

1、如图所示，观察小圆圈的摆放规律，第一个图中有5个小圆圈，第二个图中有8个小圆

圈，第100个图中

有

__________个小圆圈．

（1） （2） （3）

2、 找规律．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，

第3幅图中有5个菱形，则第4幅图中有 个菱形,第n 幅图中有 个菱形．

3、用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需棋子

枚（用含

4、观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a 、b 、c 的值分别为______________．

5、如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面．如果铺成一个22?的正方形图案（如

图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个33?的正方形图案（如图③），其 中完整的圆共有13个，如果铺成一个44?的正方形图案（如图④），其中完整的圆共 有25个．若这样铺成一个1010?的正方形图案， 则其中完整的圆共有 个．

1 2 3 n … … 第1个图

第2个图 第3个图

6、 如下图,用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n 个图案需要用白色棋子 枚（用含有n 的代数式表示，并写成最简形式）. ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○ ○ ● ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ● ● ○

○ ○ ○ ○ ○

7、用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第334个图形

需 根火柴棒

8、将正整数按如图5所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17

9、如图 ２ ，用n 表示等边三角形边上的小圆圈，f(n)表示这个三角形中小圆圈的总数，那么f(n)和n 的关系是

10、观察图4的三角形数阵，则第50行的最后一个数是 （ ） 1 -2 3 -4 5 -6 7 -8 9 -10 。。。。。。

11、 下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第n 个图案中白色正方形的个数为___________．

12、 观察下列各式：

3211= 332

123+= 33221236++= 33332

123410+++= …… 猜想：3

3

3

312310+++

+= ．

第一个 第二个 第三个

…… 第n 个

1解析：n=1时，m=5．n再每增加一个数时，m就增加3个数．解答：根据所给的具体数据，发现：8=5+3，11=5+3×2，14=5+3×3，…．以此类推，第n个圈中，m=5+3（n-1）=3n+2．

2解析：分析可得：第1幅图中有1×2-1=1个，第2幅图中有2×2-1=3个，第3幅图中有3×2-1=5个，…，故第n幅图中共有2n-1个

3解析：在4的基础上，依次多3个，得到第n个图中共有的棋子数．

观察图形，发现：在4的基础上，依次多3个．即第n个图中有4+3（n-1）=3n+1．当n=6时，即原式=19．故第6个图形需棋子19枚

4解析：此题只要找出截取表一的那部分，并找出其规律即可解．

解答：解：表二截取的是其中的一列：上下两个数字的差相等，所以a=15+3=18．

表三截取的是两行两列的相邻的四个数字：右边一列数字的差应比左边一列数字的差大1，所

b=24+25-20+1=30．

表四中截取的是两行三列中的6个数字：18是3的6倍，则c应是4的7倍，即28．故选D．

认真观察表格，熟知各个数字之间的关系：第一列是1，2，3，…；第二列是对应第一列的2倍；等三列是对应第一列的3倍

5解析：据给出的四个图形的规律可以知道，组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，因此圆的数目是大正方形边长的平方，每四个小正方形组成一个完整的圆，从而可得这样的圆是大正方形边长减1的平方，从而可得若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有102+（10-1）2=181个．解答：解：分析可得完整的圆是大正方形的边长减1的平方，从而可知铺成一个10×10的正方形图案中，完整的圆共有102+（10-1）2=181个．

点评：本题难度中等，考查探究图形的规律．本题也只可以直接根据给出的四个图形中计数出的圆的个数，找出数字之间的规律得出答案．

6解析：解：第1个正方形图案有棋子共32=9枚，其中黑色棋子有12=1枚，白色棋子有（32-12）枚；

第2个正方形图案有棋子共42=16枚，其中黑色棋子有22=4枚，白色棋子有（42-22）枚；…由此可推出想第n个图案的白色棋子数为（n+2）2-n2=4（n+1）．故第n个图案的白色棋子数为（n+2）2-n2=4（n+1）．点评：根据图形提供的信息探索规律，是近几年较流行的一种探索规律型问题．解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论

7解析：根据题意分析可得：搭第1个图形需12根火柴；搭第2个图形需12+6×1=18根；搭第3个图形需12+6×2=24根；

搭第n个图形需12+6（n-1）=6n+6根．解答：解：搭第334个图形需6×334+6=2010根火柴棒

8解析：寻找规律，然后解答．每排的数字个数就是排数；且奇数排从左到右，从小到大，而偶数排从左到右，从大到小．

解答：解：观察图表可知：每排的数字个数就是排数；且奇数排从左到右，从小到大，而偶数排从左到右，从大到小．实数15=1+2+3+4+5，则17在第6排，第5个位置，即其坐标为（6，5）．故答案填：（6，5）．

对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

9解析：根据题意分析可得：第n行有n个小圆圈．故f（n）和n的关系是?（n）= （n2+n）．

10解析：根据题意可得：第n行有n个数；且第n行第一个数的绝对值为+1，最后一个数的

绝对值为+n；奇数为正，偶数为负；故第50行的最后一个数是1275．

解答：解：第n行第一个数的绝对值为+1，最后一个数的绝对值为+n，

奇数为正，偶数为负，第50行的最后一个数是1275第一个图中白色正方形的个数为3×3-1；第二个图中白色正方形的个数为3×5-2

第三个图中白色正方形的个数为3×7-3；…当其为第n个时，白色正方形的个数为3（2n+1）-n=5n+3

12解析：根据所给的等式，可以发现右边的底数是前边的底数的和，指数是平方，则最后的底数是1+2+3+..+10=5×11=55，则原式=552．解答：解：根据分析最后的底数是1+2+3+..+10=5×11=55，则原式=552．

故答案552

1、直线3

64

y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，

同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．

（1）直接写出A B 、两点的坐标；

（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；

（3）当48

5

S =

时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．

2、如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x －8分别与x 轴，y 轴相交于A ，

B 两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P .

（1）连结PA ，若PA =PB ，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由；

（2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？

1、解（1）A （8，0）B （0，6） （2）

86OA OB ==，10AB ∴=点Q 由O 到A 的时间是

8

81

=（秒） ∴点P 的速度是

610

28

+=（单位/秒）当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==， 2S t = 当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，

6102162O Q t A P t t ==+-=-，, 如图，作PD OA ⊥于点D ，由

P D A P

B O A B

=

，得4865t PD -=

， 21324

255S OQ PD t t ∴=?=-+ （3）82455P ?? ???

， 12382412241224555555I M M 2??????

--

? ? ??????

?，，，，， 2、解：（1）⊙P 与x 轴相切.

∵直线y =－2x －8与x 轴交于A （4，0），与y 轴交于B （0，－8），

∴OA =4，OB =8.由题意，OP =－k ，∴PB =PA =8+k . 在Rt △AOP 中，k 2+42=(8+k )2，

∴k =－3，∴OP 等于⊙P 的半径，∴⊙P 与x 轴相切.

（2）设⊙P 与直线l 交于C ，D 两点，连结PC ，PD 当圆心P 在线段OB 上时,

作PE ⊥CD 于E .∵△PCD 为正三角形，∴DE =12CD =3

2

，PD =3，

∴PE . ∵∠AOB =∠PEB =90°， ∠ABO =∠PBE ，

∴△AOB ∽△PEB ，∴2,

AO PE AB PB PB =，∴PB =

∴8PO BO PB =-=8)P -，∴8k =-.

当圆心P 在线段OB 延长线上时,同理可得P (0,－8)，

∴k =－8，

∴当k －8或k =－8时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形.