线性代数试题库(矩阵)
1.对任意n 阶方阵,A B 总有( ) A. AB BA = B. AB BA = C.
()T
T
T
AB A B =
D. 222()AB A B
=
答案:B
AB BA A B
==
2.在下列矩阵中,可逆的是( )
A.000010001?? ? ? ???
B.110220001??
? ? ??? C.110011121?? ? ? ???
D.100111101?? ? ? ???
答案:D
3.设A 是3阶方阵,且2,A =-,则1A -=( ) A.-2 B.1
2
- C.
12
D.2
答案:B
4.设矩阵11
112
1231A λ?? ?
= ? ?+??
的秩为2,则λ=( ) A.2 B.1
C.0
D.-1 答案:B
提示:显然第三行是第一行和第二行的和
5.设101020101A ?? ?= ? ???,矩阵X 满足方程2
AX E A X +=+,求矩阵X .
答案:201030102X ?? ?
= ? ???
解: 2
2
()AX E A X A E X A E +=+?-=-
101001020010101100A A E ???? ? ?=?-= ? ? ? ?????
显然A E -可逆,所以:1
1
2
()()()()A E A E X X A E A E ----==--
1()()()A E A E A E A E -=--+=+
201030102X ??
?∴= ? ???
6.求下列矩阵的秩
01112022200111111011A --??
?--
?= ?- ?-??
答案:3
7.设矩阵1410,1102P D ---????== ? ?????
,矩阵A 由矩阵方程1P AP D -=确定,试求5
A .
答案:511/3127/3127/331/3-??
?-??
11551P AP D A PDP A PD P ---=?=?=
15141/31/310,114/31/3032P P D -----??????=?== ? ? ?-??????
所以:55114101/31/3511/3127/3.110324/31/3127/331/3A PD P ------????????
===
? ??? ?--????????
8.设矩阵A 可逆,证明*11()A A A --=
证明:因为*
*
AA A A A E ==,矩阵A 可逆,所以0A ≠
?**A A A A E A A
==
又因为1
1
A
A
-=
,所以:*11()A A A --= 9若A 是( ),则A 必为方阵.
A. 分块矩阵
B. 可逆矩阵
C. 转置矩阵
D. 线性方程组的系数矩阵
答案 :B
10.设n 阶方阵A ,且0A ≠,则*1
()A -= ( ).
A. A A
B. *A A
C. 1A A
-
D.
*A A
答案 :A
11若( ),则A B : A. A B =
B. 秩()A =秩()B
C. A 与B 有相同的特征多项式
D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值,且n 个特征值各不相同 答案:B
12.设123A ?? ?
= ? ???,则T AA =______.
答案:123246369?? ? ? ???
13.设m n ?矩阵A ,且秩()A r =,D 为A 的一个1r +阶子式,则D =_____. 答案 :0
14已知1
P AP B -=,且0B ≠,则A
B
______. 答案:1 15.已知20311101X ????
=
? ?--????,求矩阵X 。
解:矩阵2011??
?-??
可逆,所以由1
2031203111011101X X -????????=?= ? ? ? ?----????????
1/20313/21/21/21013/21/2X ??????
== ??? ?--??????
16.若对称矩阵A 为非奇异矩阵,则1
A -也是对称矩阵.
证明:因为矩阵A 为非奇异矩阵,所以11AA A A E --==
11()()T T T AA A A E --∴==,即:11()()T T T T A A A A E --==
因为矩阵A 为对称矩阵,所以T A A =,则有:11()()T T
A A A A E --== 所以:11
()T A A --=,即1A -也是对称矩阵.。
17.设A 是m n ?矩阵,B 是s n ?矩阵,C 是m s ?矩阵,则下列运算有意义的是( ) A. AB B. BC C. T AB
D. T
AC
答案:C
18.设A ,B 均为n 阶可逆矩阵,则下列各式中不正确的是( ) A. ()T
T
T
A B A B +=+
B. 1
11()
A B A B ---+=+
C. 1
11()
AB B A ---=
D. ()T
T
T
AB B A =
答案:B
19.设A 为n 阶矩阵,秩()1A n <-,则秩*
()A =( ) A.0 B.1 C. 1n - D. n
答案:A
因为*
A 是由矩阵A 的代数 余子式组成,但是秩()1A n <-,所以其代数余子式全部为0,所以:*
0A =
20矩阵101002340005A -?? ?
=- ? ???
的秩为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:3
21.设A 为2阶方阵,且12
A =,则*
2A =_____________. 答案:2
22.设A 是3阶矩阵,秩A =2,则分块矩阵0A A E -??
???
的秩为_____________.
答案 :5
23.设矩阵221110123A ?? ?
= ? ?-??
,求矩阵B ,使2A B AB +=
解:由2A B AB +=得:(2)A E B A -=,021*******A E ??
?
-=- ? ?-??,
021*********(2,)110110010212121123001245A E A r -????
? ?
-=--- ? ? ? ?---????
所以:302212245B -?? ?
=-- ? ?-??
24. 设三阶方阵A 的行列式det()3A =,则A 的伴随矩阵*
A 的行列式*
det()A =_____.
答案:9
提示:*
31
det()[det()]A A -=
25. 设a b A c d ??= ?
??
,且det()0A ad bc =-≠,则1
A -=____. 答案:
d b c a ad bc
-?? ?-??- 26. 设1231A -??=
???,2103B ??= ???
,(2,1)C =-,则()T
A B C -=_____.
答案 :18?? ???
27. (5分)设11102
2110A -?? ?= ? ?-??111110211B -?? ?
= ? ???
且满足XA B =,求X
解:111022110A -?? ?=? ? ?-??
A 可逆 ∴由XA
B =,得1X BA -=
111100
0220
101100
011111/3
1/34/31102/31/31/32111/35/64/3A C B -????
? ?
? ? ? ?
-??=
? ? ?---?? ? ? ? ?
? ?
? ?-????
u r
所以:1
1/31/34/32/3
1/31/31/35/64/3X BA ---??
?== ? ?-??
28. 设矩阵12
*
1
[()]C A A A BA A --=+
其中,A =110011111?? ? ? ?
??
, 123456789B ??
?
= ? ???.
*A 为A 的伴随矩阵.计算det()C
解:12
*
1
[()]C A A A BA A C E A B --=+?=+
1101100110111111111A A ??
?
=?== ? ???
2234667810C E B ??
?
=+= ? ???
显然:det()0C =
29.设,A B 是两个n 阶方阵,若0AB =则必有( ) A .0A =且0B =
B .0A =或0B =
C .0A =且0B =
D .0A =或0B =
答案:D
30.若,A B 都是方阵,且2,1A B ==-,则1A B -( )
.
A .-2
B .2
C .12-
D .
12
答案:C 31.矩阵1234A ??=
???
的伴随矩阵*
A =( ) A .4231??
???
B .4321-??
?-??
C .4231-??
?-??
D .4231-??
?-??
答案:C
32.设A 为3?4矩阵,若矩阵A 的秩为2,则矩阵3T
A 的秩等于( ) A .1
B .2
C .3
D .4
答案:B
33.设A 为4阶矩阵,3A =,则A -= . 答案:3
34.设200001010A ?? ?
= ? ???
,则5A = .
答案:-32 35.设123121A ??=
???,
121123B ??= ?
??
,则T
AB = . 答案:81468??
???
36.1
500031021-?? ?
? ???
= .
答案:1005011023??
? ?- ? ?- ???
提示:用 分块对角矩阵做。
37.设100310
04100
7A ??
?
?
?= ? ? ? ??
?
,求满足关系式16A BA A BA -=+的3阶矩阵B 11116()66()A BA A BA A E BA A B A E ----=+?-=?=-
11100330020010
00400304007006100
7A A A E --?? ?
???? ?
? ?
?=?=?-= ? ? ?
? ? ????? ?
??
?
1
1110022001
()0300
03006100
6A E ---?? ??? ? ?
?-== ?
? ? ???
? ??
?
, 所以:11
3006()020001B A E --?? ?=-= ? ???
38.设矩阵121231041a A a b ??
?
=- ? ???
的秩为2,求,a b .
解:12112112123100712207122410720012a a a A a a
a b a b a b ?????? ? ? ?
=-→---→--- ? ? ? ? ? ?----??????
因为:矩阵A 的秩为 2,所以10,201,2a b a b --=-=?=-=
39.已知n 阶方阵A 满足关系式2
320A A E --=,证明A 是可逆矩阵,并求出其逆矩阵. 证明:2
(3)
320(3)22
A E A A E A A E E A E ---=?-=?= 所以A 是可逆矩阵,且其其逆矩阵为:
32
A E
- 40.设A 是3阶方阵,且1A =-,则2A =( )
A .-8
B .-2
C .2
D .8 答案:A
41.设矩阵200011012A ?? ?
=-- ? ???
,则1A -=( )
A .1
002021011?? ? ?
-- ? ?
??? B .10
02021011?? ? ? ? ?
-- ??? C .2101101002?
? ?
?-- ?
? ??
?
D .2101
10002--?? ?
? ???
答案:A
42.设A 是n 阶方阵,0A =,则下列结论中错误的是( ) A .秩()A n <
B .A 有两行元素成比例
C .A 的n 个列向量线性相关
D .A 有一个行向量是其余n 个行向量的线性组合 答案:B
43.设,A B 均为n 阶矩阵,且秩()A =秩()B ,则必有( ) A .A 与B 相似 B .A 与B 等价 C .A 与B 合同 D .A B = 答案:B
44.132100111440??
?? ?- ? ?-?? ?
??
=______________________.
答案:25174?? ???
45.若,A B 均为3阶矩阵,且2,3A B E ==-,则AB =_____________________. 答案:-54
46.设矩阵11121321
222331
32
33a b a b a b A a b a b a b a b a b a b ??
?= ? ???
,其中0(1,2,3)i i a b i ≠=则秩()A =_______________. 答案:1
47.设112223433A ?? ?= ? ???, 100211122B ??
?
= ? ?-??,矩阵X 满足方程T AX B =,求X .
答案:3814124012---?? ? ? ?--??
解:100121211012122012T B B -???? ? ?=?= ? ? ? ?-????
,1T T
AX B X A B -=?=
()(),,T
A B r E X
48.设A 是n 阶方阵,0A ≠,证明1
*
n A A
-=
证:*
*
*
n
n
AA A E AA A E A A A A =?==?= 因为0A ≠,所以:1
*
n A A
-=
49.设A 是3阶方阵,且2A =,则A -=( ) A .-6
B .-2
C .2
D .6
答案:B
50.设020003400A ?? ?= ? ???,则A 的伴随矩阵*
A =( )
A .0061200080??
? ? ???
B .0120008600??
? ? ???
C .01200
08600-??
?
- ? ?-??
D .0
06120
0080-?? ?
- ? ?-??
答案:A
51.322110101024-??-?? ?= ? ?-?
? ???__________。
答案:653010422?? ?- ? ?--??
52.设1403A -??=
???
,则1
A -=__________。
答案:134013
A -?? ???= 53.设033110123A ?? ?
= ? ?-??且2AB A B =+,求B 。
答案:033123110?? ?- ? ???
解:2(2)AB A B A E B A =+?-=
2332110121A E -?? ?
-=- ? ?-??,很容易得到:2A E -是可逆的。所以:1(2)B A E A -=-
233033100033(2,)110110010123121123001110A E A r -????
? ?
-=-- ? ? ? ?--????
54.设方阵A 满足2
20A A E --=,证明A 可逆,并求其逆阵。 证:2
()
20()22
A E A A E A A E E A E ---=?-=?= 所以:A 可逆,且其逆阵为
2
A E
-。 55.设n 阶方阵,,A B C 满足ABC E =,则必有( ) A .ACB E = B .CBA E = C .BAC E = D .BCA E =
答案:D
56.设n 阶方阵A 中有2
n n -个以上元素为零,则A 的值( ) A .大于零 B .等于零 C .小于零 D .不能确定 答案:B
56.设3阶矩阶A=(α1,β,γ),B=(α2,β,γ),且2A =,1B =-,则A B +=( ) A .4 B .2 C .1 D .-4 答案:A
57.设A 是4阶方阵,2A =-,则*A -=______. 答案:-8
58.设矩阵00010
020********A ??
?
?
= ?
?
??
,则1A -=________.
答案:100041000310002100
0?
? ?
? ?
?
? ? ? ??
?
59.设423110123A ??
?
= ? ?-??
,且矩阵X 满足2AX A X =+,求X 。
解:2(2)AX A X A E X A =+?-=
2232110121A E ?? ?-=- ? ?-??,容易证明2232110121A E ?? ?
-=- ? ?-??可逆,所以
1(2)X A E A -=-
223423100386(2,)1101100102961211230012123A E A r --????
? ?
-=--- ? ? ? ?----????
所以:3862962123X --?? ?
=-- ? ?--??
61.设,A B 均为n 阶方阵,则必有( ) A .AB BA = B .A B A B +=+ C .()T
A B A B +=+ D .()T
T
T
AB A B = 答案:A
62.设200011002A ?? ?
=- ? ???
,则1A -=( )
A .10020101012?? ?
? ? ?- ???
B .1
00211022100
2?? ? ? ?- ? ? ? ??? C .100210121002?? ?
? ? ? ? ? ??
?
D .10020101102
2?? ? ? ? ? ??
?
答案:C
63.若方阵A 与方阵B 等价,则( ) A .()()R A R B = B .
E A E B λλ-=-
C .A B =
D .存在可逆矩阵P ,使1
P AP B -= 答案:A
64.1
1(,0,)22
A =,,2T T
B E A A
C E A A =-=+,(E 为3阶单位矩阵),则
BC =___________。 答案:E
65.已知2A =,且1
33114044513A --?? ?=- ? ?
--??,则*A =___________。
答案:
33114042513-??
?- ? ?
--??
66.设802020301A ?? ?
= ? ???
,*A 为A 的伴随矩阵,则*A =___________。
答案:16
67.已知101020001A ?? ?= ? ???,则12
(3)(9)A E A E -+-=___________。
答案 :201010002-?? ?
- ? ?-??
68.设,A B 为n 阶方阵,满足A B AB +=
若130210002B -?? ?
= ? ???,求矩阵A 。
()A B AB A B E B +=?-=
030200001B E B E -?? ?
-=?- ? ???
可逆。所以:1()A B B E -=-
B E E
C B A -???? ? ?????
u r ,得1102
1103002A ?
?
?
? ?=- ? ? ?
???
69.设A 是4阶矩阵,则A -=( )
.
A .4A -
B .A -
C .A
D .4A
答案:C
70.设A 为n 阶可逆矩阵,下列运算中正确的是( ) A .(2)2T
T A A
=
B .1
1(3)
3A A --=
C .111[(())][()]T T T A A ---=
D .1()T
A A -=
答案:A
71.设A 是2阶方阵可逆,且13712A --??
=
?-??
,则A =( )
A .2713-?? ?-??
B .2713?? ???
C .2713-??
?-?? D .3712??
???
答案:B
72.设,A B 均为3阶矩阵,若A 可逆,秩()2B =,那么秩()AB =( ) A .0 B .1 C .2 D .3 答案:C
73.设A 为n 阶矩阵,若A 与n 阶单位矩阵等价,那么方程组AX b =( ) A .无解 B .有唯一解 C .有无穷多解 D .解的情况不能确定
答案:B
74.设矩阵a A b ??= ???,则T
AA =__________.
答案:22a ab ab b ?? ?
??
75.设矩阵1
23
4A ??=
???
,则行列式2
A =__________. 答案:4
76.矩阵111011001--?? ?
-- ? ?-??
的秩等于__________.
答案:3
77.设矩阵500012037A ??
?
= ? ?
??10012021B ??= ???,求矩阵方程XA B =的解X . 解:500012037A ?? ?= ? ???
,很容易得到A 是可逆的。所以:1
XA B X BA -=?=
23141135000
1203710012021100010001A C B --????
? ? ? ?
?? ? ?= ?
? ??? ? ?
? ?????
u r ,所以:2314113X -??
= ?-?? 78.设,A B 为同阶对称矩阵,证明AB BA +也为对称矩阵. 证:,A B 为同阶对称矩阵,所以 :,T
T
A A
B B ==
()T T T T T AB BA B A A B BA AB AB BA ∴+=+=+=+
所以:AB BA +也是对称矩阵。
79.设矩阵100020003A ?? ?= ? ???
,则1
A -等于( )
A. 1
0031
02001?? ? ? ? ? ? ?
???
B. 1001002100
3?? ? ? ? ? ? ??
?
C. 10030101002?? ?
? ?
? ??
?
D. 10021
003001?? ?
? ? ? ? ?
???
答案:B
81.设A 是方阵,如有矩阵关系式AB AC =,则必有( ) A. 0A = B. B C ≠时0A = C. 0A ≠时B C = D. 0A ≠时B C =
答案:D
82.设111111A -??= ?-??, 123124B ??
= ?--??
.则2A B += .
答案:337137??
?--??
84.设120340121A ??
?= ? ?
-??,231240B -??= ?-??.求(1)T
AB ;(2)4A . 答案:(1)12022863403
4181012110310-?????? ??? ?
= ??? ? ??? ?--??????
(2)3
4464A A A ==,而
1203
402121
A ==--.
所以3
4464128A A A ===-
85.设矩阵423110123A ?? ?
= ? ?-??,求矩阵B 使其满足矩阵方程2AB A B =+.
答案:3862962129--?? ?-- ? ?-??
解:2AB A B =+即(2)A E B A -=,而
1
1223143(2)110153.121164A E ----????
? ?
-=-=-- ? ? ? ?--????
所以 1
143423386(2)1531102961641232129B A E A -----?????? ??? ?=-=--=-- ??? ? ??? ?---??????
86.设矩阵121
22426621023333
34A --??
?-- ?
=
?
-
???
求:秩()A ;
解:对矩阵A 施行初等行变换
1210
2121021210
20006203283032
83032820006200031096
32000217000
00A ------??????
? ? ?---
? ? ?
→→→ ? ? ?---
? ?
?--??????
所以:秩为3.
87.设方阵A 满足3
0A =,试证明E A -可逆,且1
2()
()E A E A A --=++证:
233()(),0E A E A A E A A -++=-=Q 2()()E A E A A E ∴-++=
E A ∴-可逆,且12()()E A E A A --=++
88.设行矩阵()123,,A a a a =,()123,,B b b b =,且121121121T A B ?? ?=--- ? ???
,
则T
AB =______. 答案:0
89.设210110002A ??
?= ? ???
,*
A 为A 的伴随矩阵,则*A =_____.
答案:4 提示:31
2
*
A A
A -==
而210
1
102002
A ==,所以:31
2
*4A A A -===
90.若12421110A λ?? ?
= ? ???
,为使矩阵A 的秩有最小秩,则λ应为_____.
答案:94
λ=
解答:1241
1021014110021A λλ???? ? ?
=→ ? ? ? ?-????
要使得矩阵A 的秩有最小秩,则
2
19
1
44
λλ-=
?= 91.已知矩阵X 满足AXB C =,其中100053021A -??
?
= ? ?
??, 2335B --??= ???,
231212C ??
?
= ? ?--??
,求矩阵X .(6分)
解:容易证明矩阵,A B 都可逆,所以:1
1
AXB C X A CB --=?=
1100100053013021025A A ---????
? ?=?=- ? ? ? ?
-????,1
23533532B B -----????=?= ? ?????
11100231
053013123410320251277X A CB ---??????--?? ??? ?
∴==-=- ? ??? ?
?? ??? ?---??????
92.设,A B 均为n 阶方阵,且2
2
,A A B B ==,证明2
()A B A B +=+的充分必要条件是
0AB BA ==
证:2
2
2
()()()A B A B A B A AB BA B +=++=+++ 因为:2
2
,A A B B ==,所以:2
()A B A AB BA B +=+++ 若2()0A B A AB BA B A B AB BA +=+++=+?+=
0AB BA AAB ABA AB BA AB BA ?=-?=-?=?==
若0AB BA ==,则2
()A B A AB BA B A B +=+++=+
93.设矩阵 1 41 2 1 2 3, B , C 2 53 4 4 5 6 3 6A ??
???? ?
=== ? ? ????? ?
??
,则下列矩阵运算有意义的是( )
A . AC
B B. AB
C C . BAC D. CBA 答案:B
94.设n 阶方阵A 满足2
0A E -=,其中E 是n 阶单位矩阵,则必有【 】
A. A E =
B. A E =-
C. 1A A -=
D. det()1A = 答案:C
95.设A 为3阶方阵,且行列式1
det()2
A =
,则det(2)A -= 【 】 A.-4 B.4 C.-1 D.1 答案:A 96.设矩阵 1 -1 3 2 0,,2 0 10 1A B ????==
? ?????
T A 为A 的转置,则T
A B = 。
答案:222061??
? ? ???
-
97.设矩阵 1 23 5A ??= ???
则行列式det()T
AA 的值为 . 答案:1
99.设B 是(2)n n ≥阶方阵,且B 的元素全都是1,E 是n 阶单位位矩阵。证明:
11()1E B E B n --=-
-
证明:211
()()111n E B E B E B B n n n --=-+---
因为B 的元素全都是1,所以:2
B 的元素全部为n ,即:2
B nB =
所以:211()()111n E B E B E B B E n n n --
=-+=---,即:11()1
E B E B n --=-- 100.设A 是n 阶方阵,X 是1n ?矩阵,则下列矩阵运算中正确的是( )
A. T
X AX B. XAX C. AXA D. T
XAX 答案:A
101. ,,,A B C E 为同阶矩阵,E 为单位阵,若ABC E =,则下列各式中总是成立的有
同济大学线性代数教案第一章线性方程组与矩阵
线性代数教学教案 第一章线性方程组与矩阵 授课序号01 1112121 2 n n m m mn a a a a a a ?? ?? ??? ,有时为了强调矩阵的行数和列数,也记为
n a ???. 212 n n n nn a a a ? ??? . 1112 00n n nn a a a a ?? ?? ? ? ?与上三角矩阵200 n nn a ? ??? . 000 0n a ??? ??? ,或记为100 1? ???? . 负矩阵的定义:对于矩阵()ij m n a ?=A ,称矩阵21 22 n m m m mn mn b a b a b ?? +++? ,
a b+
21 2 n m m mn a a a ????,转置矩阵212.m n n nm a ? ??? 矩阵的转置满足的运算规律(这里k 为常数,A 与B 为同型矩阵)阶方阵()ij a =A 如果满足222n n m mn n a x +21 2 n m m mn a a a ????称为该线性方程组的系数矩阵n x ???,m b = ? ??? β,有:
2221122221 21122n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x ??? ? =??? ???? ? ++ +????? . 再根据矩阵相等的定义,该线性方程组可以用矩阵形式来表示:=Ax β.
授课序号02 21 2 t s s st ????A A A ,21 2 t s s st ? = ? ??? B B B B ,的行数相同、列数相同,则有 21 22 t s s s st st ?? ±±±? B A B A B . 111221 2 t s s st ? ? ??? A A A A A ,都有21 2 t s s st k k ? ??? A A A .
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式:行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ (奇偶)排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =) ②行列式中某两行(列)互换,行列式变号。 推论:若行列式中某两行(列)对应元素相等,则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列),等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行(列)成比例,则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行(列)可加性 ⑤将行列式某一行(列)的k 倍加到另一行(列)上,值不变 行列式依行(列)展开:余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则: 非齐次线性方程组 :当系数行列式0≠D 时,有唯一解:)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 :当系数行列式01≠=D 时,则只有零解 逆否:若方程组存在非零解,则D等于零 特殊行列式: ①转置行列式:33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零,。。化为三角形行列式
刘三阳线性代数第二版第一章标准答案
刘三阳线性代数第二版第一章答案
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第一章矩阵及其应用习题解答 本章需要掌握的是: 1)矩阵的定义,以及矩阵的运算(加、减、数乘和乘法); 2)方阵的幂和多项式,以及矩阵转置的性质; 3)逆阵的定义,以及逆阵的4条性质; 4)分块矩阵的运算规则; 5)矩阵的三种初等变换及行阶梯矩阵和行最简矩阵; 6)三种初等矩阵,以及定理1.4(左乘行变,右乘列变)、1.5、1.6和1.7;7)求逆阵的方法:定义法和初等变换法。 1、设方阵A满足,求。 题型分析:此类题型考核的知识点是逆阵的定义,即。因此无论题中给出的有关矩阵A的多项式(如本题是)多么复杂,只 需要把该多项式配方成“(所求逆的表达式)*(配方后的因子)=E”即可,即本题是要配成(A-E)*(?)=E。 解: %配出2003A可提取的(A-E) %配出1998可提取的(A-E) %提取公因式(A-E) %将只有单位阵的那一项移至等式右端 %写成“AB=BA=E”的形式
%由逆阵定义可知 巩固练习:教材第38页第13题 2、设,求。其中k为正整数。 题型分析:此类题型考核的知识点是矩阵的乘法和幂运算。解题思路为依次计算 最多到,通常这时已经可以看出规律,依此规律解题即可。 解:,,因此推论,用数学归纳法证明如下: 1)当k=1时,成立; 2)假设当k=n-1时,上式成立,即,则有 当k=n时,也成立。 所以 巩固练习:教材第41页二、填空题(3) 3、设A=E-uu T ,E为n阶单位阵,u为n维非零列向量,u T 为u的转置,证明:1)A2=A的充要条件是u T u=1; 2)当u T u=1时,A是不可逆的。 题型分析:这道题综合了矩阵这一章的大部分知识点,是个综合题,对于刚学了第一章的同学们来说也是一道难题。解题思路首先要明确u为n为非零向量是指u是一个只有一行 或一列的矩阵,题中有即告诉我们u是一个n*1阶列矩阵即列向量。
线性代数第一章行列式试题及答案
如何复习线形代数 线性代数这门课的特点主要有两个:一是试题的计算量偏大,无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解,还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算,稍有不慎,即会出错;二是前后内容紧密相连,纵横交织,既相对独立又密不可分,形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下,下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练,切实提高计算的准确性 二、扩展公式结论蕴涵,努力探索灵活解题途径 三、注重前后知识联系,努力培养综合思维能力 线性代数不仅概念多,公式结论多,而且前后知识联系紧密,环环相扣,几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查 四、加强综合题型训练,全面系统地掌握好知识 计算能力的提高不是一朝一夕的事,除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外,还要靠平时的积累,要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯,只要持之以恒、坚持练习,计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习, 第一章行列式 一.概念复习 1. 形式和意义 形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a11 a12 (1) a21 a22 (2) ………. a n1 a n2…a nn 如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|. 意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|. 行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 一般地,一个n阶行列式 a11 a12 (1) a21 a22 (2) ……… a n1 a n2…a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为: n nj j j a a a 2 1 2 1 ,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。 所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 2 3 2 3 215 6 3 4,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 则项 n nj j j a a a 2 1 2 1 所乘的是. )1 () (2 1n j j j 即逆序数是偶数时,该项为正;逆序数是奇数时,该项为负;在一个n元排列的n!项中,奇排列和偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值: a11 a12 (1) a21 a22…a2n =. )1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( n n n nj j j j j j j j j a a a ……… a n1 a n2…a nn 这里 n j j j 2 1 表示对所有n元排列求和.称此式为n阶行列式的完全展开式. 用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算. 3、对角行列式计算
线性代数重要知识点及典型例题答案
线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式:行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ (奇偶)排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =) ②行列式中某两行(列)互换,行列式变号。 推论:若行列式中某两行(列)对应元素相等,则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列),等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行(列)成比例,则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行(列)可加性 ⑤将行列式某一行(列)的k 倍加到另一行(列)上,值不变 行列式依行(列)展开:余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素及另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则: 非齐次线性方程组 :当系数行列式0≠D 时,有唯一解:)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 :当系数行列式01≠=D 时,则只有零解 逆否:若方程组存在非零解,则D 等于零 特殊行列式: ①转置行列式:33 23 13 3222123121113332 31 2322 21 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零,。。化为三角形行列式 ⑤上(下)三角形行列式:
(精选)线性代数行列式第一章练习题答案
《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵,且|A|=5,则|A*|=__125____,|2A|=__80___,|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解,则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上,行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时,方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1.设) (则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B (A)0 ; (B)―12 ; (C )12 ; (D )1 2.设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解,则k = ( A ) (A )2 (B )0 (C )-1 (D )-2 3.设A=7 925138 02-,则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4.已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1,2,0,1,它们的余子式依次分别为5,3,-7,4, 则D= ( A ) (A ) -15 (B ) 15 (C ) 0 (D ) 1 三、计算行列式
华东理工大学线性代数第一章矩阵复习
矩阵 第章 第一章矩阵
矩阵乘法转置求逆运算规律 1、矩阵乘法、转置、求逆运算规律); ()(BC A C AB =)); (),()()(为数其中λλλλB A B A AB ==A ; )(, )(CA BA A C B AC AB C B +=++=+. I A A A I n n m n m n m m ×××==般地则称若一般地,,,BA AB BA AB =≠B A 与. 是可交换的矩阵乘法一般不满足消去律,即: . Y X AY AX ==一般推不出
逆矩阵 定义,, 使如果存在矩阵阶方阵为设B n A ( 矩阵、满或非奇异的、非退化的是可逆的则称矩阵A I BA AB ==的逆矩阵唯的. ),的逆矩阵称为且矩阵秩的A B . ,, 1 A A A ?的逆 的逆矩阵是唯一的则有逆矩阵若A 矩阵记作
()() ; 1A A T T =() A A =??1 1()();2T T T B A B A +=+() ;1 1 1 ???+≠+B A B A ()(); 3T T A A λλ=T (). 111 ??=A A λ λ()(). 4T T A B AB =() . 1 11 ???=A B AB (?()). T T A A 11 ? =
一些特殊的矩阵2些特殊的矩阵 对称矩阵 T . ,,为对称矩阵则称如果阶方阵为设A A A n A =反对称矩阵 ,,为反对称则称如果阶方阵为设A A A n A T ?=. 矩阵幂等矩阵 . ,,2 为幂等矩阵则称如果阶方阵为设A A A n A =
正交矩阵 A A ,,正交矩阵为则称如果阶方阵为设A I A A n A T T ==.对角矩阵 其余素全角线阶阵,,其余元素全如果主对角线以外阶方阵为设n A . ,为对角矩阵则称为零 A
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结 第一章行列式 (一)要点 1、二阶、三阶行列式 2、全排列与逆序数,奇偶排列(可以不介绍对换及有关定理),n阶行列式得定义 3、行列式得性质 4、n阶行列式,元素得余子式与代数余子式,行列式按行(列)展开定理 5、克莱姆法则 (二)基本要求 1、理解n阶行列式得定义 2、掌握n阶行列式得性质 3、会用定义判定行列式中项得符号 4、理解与掌握行列式按行(列)展开得计算方法,即 5、会用行列式得性质简化行列式得计算,并掌握几个基本方法: 归化为上三角或下三角行列式, 各行(列)元素之与等于同一个常数得行列式, 利用展开式计算 6、掌握应用克莱姆法则得条件及结论 会用克莱姆法则解低阶得线性方程组 7、了解个方程个未知量得齐次线性方程组有非零解得充要条件 第二章矩阵 (一)要点 1、矩阵得概念 矩阵就是一个矩阵表。当时,称为阶矩阵,此时由得元素按原来排列得形式构成得阶行列式,称为矩阵得行列式,记为、 注:矩阵与行列式就是两个完全不同得两个概念。 2、几种特殊得矩阵:对角阵;数量阵;单位阵;三角形矩阵;对称矩阵 3、矩阵得运算;矩阵得加减法;数与矩阵得乘法;矩阵得转置;矩阵得乘法 (1)矩阵得乘法不满足交换律与消去律,两个非零矩阵相乘可能就是零矩阵。 如果两矩阵与相乘,有,则称矩阵与可换。 注:矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵得幂:对于阶矩阵及自然数,
规定,其中为单位阵、 (3) 设多项式函数,为方阵,矩阵得多项式,其中为单位阵。 (4)阶矩阵与,则、 (5)阶矩阵,则 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵:可逆矩阵(若矩阵可逆,则其逆矩阵就是唯一得);矩阵得伴随矩阵记为, 矩阵可逆得充要条件;逆矩阵得性质。 6、矩阵得初等变换:初等变换与初等矩阵;初等变换与初等矩阵得关系;矩阵在等价意义下得标准形;矩阵可逆得又一充分必要条件:可以表示成一些初等矩阵得乘积;用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵得秩:矩阵得阶子式;矩阵秩得概念;用初等变换求矩阵得秩 8、矩阵得等价 (二)要求 1、理解矩阵得概念;矩阵得元素;矩阵得相等;矩阵得记号等 2、了解几种特殊得矩阵及其性质 3、掌握矩阵得乘法;数与矩阵得乘法;矩阵得加减法;矩阵得转置等运算及性质 4、理解与掌握逆矩阵得概念;矩阵可逆得充分条件;伴随矩阵与逆矩阵得关系;当可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算得方法 (1)在对矩阵得分法符合分块矩阵运算规则得条件下,其分块矩阵得运算在形式上与不分块矩阵得运算就是一致得。 (2)特殊分法得分块矩阵得乘法,例如,,将矩阵分块为 ,其中就是矩阵得第列, 则 又如将阶矩阵分块为,其中就是矩阵得第列、 (3)设对角分块矩阵 ,均为方阵, 可逆得充要条件就是均可逆,,且
线性代数第一章+矩阵习题辅导
第一章矩阵 §1.1基本要求、重点、难点内容 1.1.1基本要求 1.熟练掌握矩阵的各种运算及其运算规律; 2.理解逆阵定义与性质,掌握逆阵计算方法; 3.熟练掌握矩阵的初等变换,了解初等矩阵的性质; 4.掌握初等变换化矩阵为行阶梯矩阵、行最简矩阵方法; 5.了解矩阵的标准形,理解矩阵秩的定义,掌握用初等变换求矩阵秩的方法; 6.了解分块矩阵及其运算,掌握分块矩阵初等变换; 7.了解矩阵秩的等式与不等式. 1.1.2重点内容 1.矩阵运算; 2.初等变换、矩阵的相抵; 3.求逆阵、矩阵的秩. 1.1.3难点内容 1.分块矩阵及其初等变换; 2.矩阵秩的等式与不等式证明. §1.2主要内容 1.2.1矩阵定义 定义1.2.1.称m×n个数a ij(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n)排成的m行n列的矩形 表格 a11a12···a 1n a21a22···a 2n
(1.2.1) ············ a m1a m2···a mn 为m×n矩阵,简记为(a ),其中a ij称为矩阵的第i行第j列交叉点上的元素(简称元). ij m×n 注1.本书中的矩阵除特别说明外,都指实矩阵,即矩阵(a ij)m× m×n实矩阵全体记为R m×n,m×n复矩阵全体记为C n中元素a ij为实数. m×n. 2.n×n矩阵称为n阶方阵.方阵A=(a中元素a11,a22,···,a )nn称为A的主对 ij n×n 角元. 1
2第一章矩阵 3.两个m×n阶的矩阵称为同型矩阵或同维矩阵. 定义1.2.2.如果两个同型矩阵A=(a ij),B=(b ij))满足a ij=b ij(i= m×n m×n 1,2,···,m;j=1,2,···,n)则称A和B相等,记为A=B. 1.2.2特殊矩阵 1.零矩阵所有元素都为零的矩阵,称为零矩阵,记为0. 2.行向量1×n矩阵称为n维行向量. 3.列向量m×1矩阵称为m维列向量.例如 下列n×1矩阵 100 01 ... . . . e1=,e2=. .,···,e n=., 000