第23届华罗庚金杯数学邀请赛决赛初二组练习题(附答案)

第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 (初中二年级组)

总分第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初中二年级组·练习用）

一、填空题（每小题10 分, 共80 分）

1. 计

=

.

2. 一块正三角形草坪边长为12 米，三个顶点处都安有喷水装置，每个喷水装

置都可以从三角形的一边到另一边旋转60o来回喷水．假定三个喷水装置的射程相等，要使草坪上所有区域都可以被喷水覆盖，那么被重复喷水的最小面积是平方米．

3. 从-2，- 3，- 4，- 5 这四个数中，任取两个数p,q( p ≠q) ，构成函数y =px + 2 和

y =-x +q ，如果这两个函数图象的交点在直线x = 2 的左侧，那么这样的有序数对( p, q) 共有个．

4. 设p 为质数，如果二次方程x2 - 2 px +p2 - 5 p -1= 0 的两个根都是整数，那么

p 可能取的值有个.

5. 如果1295(61)

n-（其中n 是整数，且1986≤n≤2018 ），那么满足条件的n 的个数是.

6. 如图所示，在正六边形ABCDEF 内放有一个正方形

MNPQ ，正方形的顶点分别在正六边形的4 条边上，

且MN //BC ．若正方形MNPQ 的面积为12 -

厘米，则正六边形ABCDEF 的面积是平方厘米．

7. 将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11 这11 个数排成一行，使得任意5

个相邻的数的和都是5 的倍数．那么这样的排列方法有种．

8. 四张卡片，每张写着一个自然数，任取2 张，或者3 张，或者4 张，把卡

片上的数求和，可以得到11 个不同的和，那么4 张卡片上所有数的和最小为．

第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中二年级组) 二、解答下列各题（每小题10 分, 共40 分, 要求写出简要过程）

9. 有A ，B 两队野外徒步旅行，A 队在B 队的西偏北45 度处，两队相距

千米．如果A 队向东继续行走，B 队同时沿西偏南45 度路线行走，且A

队与 B ，求A ，B 两队最近时的距离．

10. 如果实数x, y,z 同时满足关系式x( y2 +z) =z(z +xy) ，y(z2 +x) =x(x +yz) ，

z(x2 +y) =y( y +zx) ，那么，实数x, y,z 是否一定都相等？请给出证明．

11. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠BCD =120?，

AB =BC ．对角线AC ，BD 相交于点

E ．若AE = 3CE ，求证：AB = 2CD ．

12. 从76 个连续自然数1，2，…，76 中任取39 个数，其中必有2 个数的差是

p ，求p 的值．

三、解答下列各题（每小题15 分, 共30 分, 要求写出详细过程）

13. 如图，在五边形ABCDE 中，AB =AE =1，∠CAD = 45?，

∠E =∠EAB =∠B = 90?，求点A 到直线CD 的距离．

14. 如图，一个由81 个小方格组成的9? 9 网格．先将其中的

任意n个方格染黑，然后按照以下规则继续染色：如果某

个方格至少与2 个黑格都恰好有1 个公共顶点，那么就

将这个方格染黑．现在要按照这个方法将整个棋盘都染

成黑色，那么n的最小值是多少？说明你的结论．