高中数学必修二全套教案课程

课题：柱、锥体的结构特征

教学目标：

通过实物模型，观察大量的空间图形，认识柱体、锥体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

教学重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出柱体、锥体的结构特征. 教学难点：柱、锥的结构特征的概括. 教学过程： 一、新课导入：

在现实生活中，我们的周围存在着各种各样的物体，它们具有不同的几何形状。由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体。

下面请同学们观察课本P2图的物体，它们具有什么样的几何结构特征？你能对它们进行分类吗？分类的依据是什么？

学生观察思考，最后归类总结。 上图中的物体大体可分为两大类：

（一）由若干个平面多变形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

（二）由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴。

这节课我们主要学习多面体——柱、锥的结构特征。 二、讲授新课：

1. 棱柱的结构特征：

请同学们根据刚才的分类，再对比一下图中(2)(5)(7)(9)中的几何体，并寻找它们的共同特征。（师生共同讨论，总结出棱柱的定义及其相关概念）

（1）定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平

行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

（2）棱柱的有关概念：（出示右图模型，边对照模型边介绍）

棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底），其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

（3）棱柱的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 （4）棱柱的表示

用底面各顶点的字母表示，如右图的六棱柱可表示为“棱柱''''''F E D C B A ABCDEF ” 思考1：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？

答：不是棱柱。据反例。如右图几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱。2．棱锥的结构特征：

请同学们根据刚才的分类，再对比一下图中(14)(15)中的物体，并寻找它们的共同特征。（1）定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一公共点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

（2）棱锥的有关概念：棱锥中，这个多边形面叫做棱锥的底面或底，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。（3）棱锥的分类：

按底面的多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。

S ”（4）棱锥的表示:用底面各顶点的字母表示，如右图的四棱锥可表示为“棱锥ABCD

讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？有什么共同的性质？

棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形

棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.

3．圆柱、圆锥的结构特征：

（1）观察图中的（1）（3）（6）（8）的物体，并思考：圆柱、圆锥如何形成？

（2）定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥.

（3）圆柱、圆锥的有关概念：（参照课本图和的模型，边对照模型边介绍）

在圆柱中，旋转的轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

圆锥中的轴、底面、侧面、母线，请学生自己仿照圆柱的定义归纳总结。

（4）圆柱、圆锥的表示方法：

圆柱、圆锥都用表示它的轴的字母表示，例如图中的圆柱表示为圆柱O’O，图中的圆锥表示为圆锥SO.

(5)讨论：棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征？

圆柱和棱柱统称为柱体；棱锥和圆锥统称为锥体.

三、巩固练习：

1. 练习：教材P7 1、2题.

2. 已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为5cm,,面积为12cm,求圆锥的底面半径.

3.已知圆柱的底面半径为3cm,,轴截面面积为24cm,求圆柱的母线长.

四、归纳小结：

棱柱、棱锥及圆柱、圆锥的结构特征。

五、作业布置：

教材P8 习题，第1题

课后记：

课题：台、球体及简单几何体的结构特征

教学目标：

通过实物模型，观察大量的空间图形，认识台体、球体及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

教学重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出台体、球体及简单几何体的结构特征。

教学难点：台、球体及简单几何体的结构特征的概括.

教学过程：

一、复习准备：

1. 结合棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的几何图形，说出：定义、分类、表示。

2. 结合棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的几何图形，说出各几何体的一些几何性质？

二、讲授新课：

1. 棱台与圆台的结构特征：

（1）思考：用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体，所得几何体有何特征？

（2）定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.

列举生活中的实例，并找出图中哪些物体是棱台和圆台？

（3）结合课本图认识：棱台的上、下底面、侧面、侧棱、顶点。

结合课本图认识：圆台的上、下底面、侧面、母线、轴。

（4）棱台的分类及表示：

由三棱锥、四棱锥、五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台等；

棱台用表示底面各顶点的字母表示，例如图中的棱台表示为棱台ABCD-A’B’C’D’. (5) 圆台的表示:

圆台用表示它的轴的字母表示，例如图的圆台表示为圆台O’O.

（6）讨论：棱台、圆台分别具有一些什么几何性质？

棱台：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.

圆台：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等.

棱台与圆台统称为台体。

2．球体的结构特征：

（1）定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体，叫球体，简称球.

列举生活中的实例，并找出图中哪些物体是球体？

（2）结合课本图认识：球心、半径、直径.

在球中，半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。（3）球的表示：

球常用表示球心的字母表示，例如图中的球表示为球O。

（4）讨论：球与圆柱、圆锥、圆台有何关系？（旋转体）

棱台与棱柱、棱锥有什么共性？（多面体）

3. 简单组合体的结构特征：

（1）讨论：现实世界中物体表示的几何体，除了柱体、锥体、台体、球体等简单几何体外，还有哪些物体存在？

例如矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？

（2）定义：由简单几何体（如柱、锥、台、球等）组合而成的几何体叫简单组合体.

列举生活中的实例。

（3）简单组合体的构成形式：

一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图中（1）（2）物体表示的几何体；

一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图中（3）（4）物体表示的几何体。

三、巩固练习：

1. 练习：课本P8 A组2～5题.

2. 已知长方体的长、宽、高之比为4∶3∶12，对角线长为26cm, 则长、宽、高分别为多少？

3. 棱台的上、下底面积分别是25和81，高为4，求截得这棱台的原棱锥的高

4. 若棱长均相等的三棱锥叫正四面体，求棱长为a的正四面体的高.

四、归纳小结：

本节课学习了台、球体及简单几何体的定义、表示；并探究了它们的性质及分类，重点要把握它们的结构特征。

五、作业布置：

习题B组第1- 2题

课后记：

课题：中心投影与平行投影

及简单几何体的三视图

教学目标：

1、了解中心投影和平行投影的原理；

2、能利用正投影绘制空间图形的三视图，并根据所给的三视图识别该几何体。

教学重点：投影的概念及三视图的画法。

教学难点：识别三视图所表示的空间几何体.

教学过程：

一、新课导入：

1. 讨论：能否熟练画出上节所学习的几何体？工程师如何制作工程设计图纸？

2. 引入：从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。”对于我们所学几何体，常用三视图和直观图来画在纸上.

三视图：观察者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形；

直观图：观察者站在某一点观察几何体，画出的空间几何体的图形.

用途：工程建设、机械制造、日常生活.

二、讲授新课：

1. 中心投影与平行投影：

我们知道，物体在灯光或日光的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子，这是一种自然现象。投影就是由这类自然现象抽象出来的。所谓投影，是光线（投射线）通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上得到图形的方法。生活中许多利用投影的例子，如手影表演，皮影戏等。

我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影。

中心投影的优缺点：它能非常逼真的反映原来的物体，主要应用于绘画领域，也常用来概括的描绘一个结构或一个产品的外貌。由于投影中心，投影面和物体的相对位置改变时，直观图的大小和形状亦将改变，因此在另外的一些领域，比如工程制图或技术图样，一般不采用中心投影。

我们把在一束平行光线照射下形成的投影，称为平行投影。平行投影按照投射方向是否正对着投影面，可以分为斜投影和正投影两种。（如图）

我们所讲的视图就是将物体按正投影向投影面投射所得到的图形。三视图就是从三个不同的视角看空间物体的结构，只有这样才能客观的反映物体。所以我们在现实生活中，也要从多个角度看待问题，否则就如瞎子摸象。

2. 柱、锥、台、球的三视图：

（1）三视图的定义：

正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；

侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；

俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。

几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。

（2）讨论：三视图与平面图形的关系？

画出长方体的三视图（教师在讲台上给出模型，并在黑板上画出三视图）

注意：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边。

讨论：三视图中反应的长、宽、高的特点？“长对正”，“高平齐”，“宽相等”

（3）结合球、圆柱、圆锥的模型，从正面（自前而后）、侧面（自左而右）、上面（自上而下）三个角度，分别观察，画出观察得出的各种结果.

即正视图、侧视图、俯视图：

（4）试画出：棱柱、棱锥、棱台、圆台的三视图. （学生自己动手画图）

（5）讨论：

三视图，分别反应物体的哪些关系（上下、左右、前后）？哪些数量（长、宽、高）？

正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

（6）讨论：根据以上的三视图，如何逆向得到几何体的形状.

（试变化以上的三视图，说出相应几何体的摆放）

三、巩固练习：

（1）画出正四棱锥的三视图.

（2）画出右图所示几何体的三视图.

右图是一个物体的正视图、左视图和俯视图，试描述该物体的形状.

四、归纳小结：

今天我们学习了中心投影和平行投影，三视图的画法以及由三视图说实物。三视图画法里面要注意“长对正”，“高平齐”，“宽相等”。

五、作业布置：

1、画出右图三棱柱的三视图。

2．已知某物体的三视图如图所示，那么这个物体的形状是_______________.

正视图侧视图俯视图

课后记：

课题：简单组合体的三视图

教学目标：

能利用正投影绘制简单组合体的三视图，并根据所给的三视图说出该几何体由哪些简单几何体构成。

教学重点：简单组合体三视图的画法。

教学难点：识别三视图所表示的空间几何体.

教学过程：

一、复习回顾：

1．中心投影与平行投影的概念：

中心投影：光由一点向外散射形成的投影。

平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影。

2．三视图的概念：

正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；

侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；

俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。

几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。

在三视图中要注意：

（1）要遵守“长对正”，“高平齐”，“宽相等”的规律；

（2）要注意三视图的主视图反映上下、左右关系，俯视图反映前后、左右关系，左视图反映前后、上下关系，方位不能错。

二、讲授新课：

1．简单组合体的三视图：

例1：画出下列几何体的三视图。

分析：画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚。

例2：如图：设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：cm）。

（与学生一起观察物体，给于必要的阐述）

左视图

俯视图

主视图

现在，我们已经学会了画物体的三视图，反过来，由三视图，你能说出是什么物体吗？例3：根据下列三视图，说出立体图形的形状。

(2)

(1)(3)

解：（1）圆台；（2）正四棱锥；（3）螺帽。

例4：下图是一个物体的三视图，试说出物体的形状。

俯视图

左视图

主视图

三、巩固练习：

课本第15页练习 第1—4题。

四、归纳小结：

今天我们学习了三视图的画法以及由三视图说实物。重点要通过三视图识别所表示的几何体。 五、作业布置：

课本第20-21页 习题1．2的第1、2题。 课后记：

课题：空间几何体的直观图

教学目标：

（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。

（2）对比方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。 教学重点：用斜二测画法画空间几何体直观图。

教学难点：用斜二测画法画空间几何体直观图的画法原理。 教学过程：

一、新课导入：

1. 提问：何为三视图？（正视图：自前而后；侧视图：自左而右；俯视图：自上而下）

2. 讨论：如何在平面上画出空间图形？

3. 引入：定义直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形. 把空间图形画在平面内，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形

二、讲授新课：

1. 水平放置的平面图形的斜二测画法：

（1）讨论：水平放置的平面图形的直观感觉？以六边形为例讨论. 例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。（师生共练，注意取点、变与不变 → 小结：画法步骤）画法：

① 如图(1)，在正六边形ABCDEF 中，取AD 所在直线为x 轴，对称轴MN 所在直线为y

轴，两轴相交于点O 。在图(2)中，画相应的x ’轴与y ’轴，两轴相交于点O ’，使'''

X OY =450

。

② 在图(2)中，以O ’为中点，在x ’轴上取A ’D ’=AD ，在y ’轴上取M ’N ’=

2

1

MN 。以点N ’为中点，画B ’C ’平行于x ’轴，并且等于BC ；再以M ’为中点，画E ’F ’平行于x ’轴，并且等于EF 。

③连接A ’B ’，C ’D ’,D ’E ’,F ’A ’,并檫去辅助线x ’轴和y ’轴，便获得正六边形

ABCDEF 水平放置的直观图A ’B ’C ’D ’E ’F ’（图(3)）。 （2）给出斜二测画法的基本步骤：

①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX ，OY ，建立直角坐标系；

②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O ’

X ’

,O ’

Y ’

,使'''X OY =450

（或

1350

），它们确定的平面表示水平平面；

③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半； ④擦去辅助线，图画好后，要擦去X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）。 (3) 练习： 用斜二测画法画水平放置的正五边形.

(4) 讨论：水平放置的圆如何画？（正等测画法；椭圆模板） 2. 空间图形的斜二测画法：

(1) 讨论：如何用斜二测画法画空间图形？

例2 用斜二测画法画长4cm 、宽3cm 、高2cm 的长方体ABCD-A ’B ’C ’D ’的直观图. （师生共练，建系→取点→连线，注意变与不变； 小结：画法步骤） 画法：

① 画轴。如图，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy=450,∠xOz=900

.

② 画底面。以点O 为中点，在x 轴上取线段MN,使MN=4cm;在y 轴上取线段PQ,使PQ=

2

3cm.分别过点M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD.

③ 画侧棱。过A ，B ，C ，D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别取2cm 长的线段

AA ’,BB ’,CC ’,DD ’.

④ 成图。顺次连接A ’,B ’,C ’,D ’，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），

就得到长方体的直观图。

（2）思考：如何根据三视图，用斜二测画法画它的直观图？

例3 如图1．2-13，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图。

分析：有几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体。它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合。我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥。

画法：

① 画轴。如图(1)，画x 轴、z 轴，使∠xOz=900。 ② 画圆柱的下底面。在x 轴上取A,B 两点，使AB 的长度等于俯视图中圆的直径，且OA=OB 。

选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B 两点，使它为圆柱的下底面。

③ 在Oz 上截取点O ’，使OO ’等于正视图中OO ’的长度，过点O ’作平行于轴Ox 的轴

O ’x ’，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面。

④ 画圆锥的顶点。在Oz 上截取点P ，使PO ’等于正视图中相应的高度。

⑤ 成图。连接PA ’,PB ’,AA ’,BB ’，整理得到三视图表示的几何体的直观图（图(2)） 强调：用斜二测画法画图，注意正确把握图形尺寸大小的关系。 （3）讨论：三视图与直观图有何联系与区别？

空间几何体的三视图与直观图有密切联系. 三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图可以得到一个精确的空间几何体，得到广泛应用（零件图纸、建筑图纸）. 直观图是对空间几何体的整体刻画，根据直观图的结构想象实物的形象. 三、巩固练习：

1．探究P19 奖杯的三视图到直观图. 2． 练习：P19 1～5题

3. 画出一个正四棱台的直观图.尺寸：上、下底面边长2cm 、4cm; 高3cm

四、归纳小结：

让学生回顾斜二测画法的关键与步骤。

五、作业布置：

课本P21 第4、5题。

课后记：

课题：柱体、锥体、台体的表面积与体积（一）

教学目标

1、知识与技能

（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。

（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。（3）培养学生空间想象能力和思维能力。

2、过程与方法

（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。

（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积的关系。

教学要求：了解柱、锥、台的表面积计算公式；能运用柱锥台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.

教学重点：运用公式解决问题.

教学难点：理解计算公式的由来.

教学过程：

一、复习准备：

1. 讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→正方体、长方体的表面积计算公式？

2. 讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？→圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？

二、讲授新课：

1. 教学表面积计算公式的推导：

① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和） ② 练习：1.已知棱长为a ，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC 的表面积.(教材P 24页例1) 2.一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.

③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）

圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S 圆柱侧=2rl π，S 圆柱表=2()r r l π+，其中为r 圆柱底面半径，l 为母线长。

圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇

形中心角为0360r

l

θ=?，S 圆锥侧=rl π， S 圆锥表=()r r l π+，其

中为r 圆锥底面半径，l 为母线长。

圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为0360R r

l

θ-=?，S 圆台侧=()r R l π+，S 圆台表=22()r rl Rl R π+++.

④ 练习：一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，求圆台的表面积.

（变式：求切割之前的圆锥的表面积） 2. 教学表面积公式的实际应用：

① 例2P 25：一圆台形花盆，盘口直径20cm ，盘底直径15cm ，底部渗水圆孔直径，盘壁长15cm.. 为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂200个这样的花盘要多少油漆？ 讨论：油漆位置？→ 如何求花盆外壁表面积？ 列式 → 计算 → 变式训练：内外涂

② 练习：粉碎机的上料斗是正四棱台性，它的上、下底面边长分别为80mm 、440mm ，高是200mm, 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积.

三、巩固练习：

1. 已知底面为正方形，侧棱长均是边长为5的正三角形的四棱锥S-ABCD ，求其表面积.

2. 圆台的上下两个底面半径为10、20, 平行于底面的截面把圆台侧面分成的两部分面积之比为1：1，求截面的半径. （变式：r 、R ；比为p:q ）

3、已知圆锥的表面积为 a ㎡，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径

为 。 （答案：m a ππ

332

）

4. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，求这个圆锥的表面积.

5. 圆锥的底面半径为2cm ，高为4cm ，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值.

6. 面积为2的菱形，绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少？ 四 小结：表面积公式及推导；实际应用问题 五、作业：P 28 1、2 P30习题 2题 课后记

课题：柱体、锥体、台体的表面积与体积（二）

教学目标 1、知识与技能

（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。 （3）培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法

让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的体积的关系。

教学要求：了解柱、锥、台的体积计算公式；能运用柱锥台的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题.

教学重点：运用公式解决问题.

教学难点：理解计算公式之间的关系. 教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式？

2. 练习：正六棱锥的侧棱长为6, 底面边长为4, 求其表面积.

3. 提问：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？ 二、讲授新课：

1. 教学柱锥台的体积计算公式：

① 讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅(g èng ，祖冲之的儿子)原理，教材P30） ② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？

→给出柱体体积计算公式：V Sh =柱 （S 为底面面积，h 为柱体的高）→2V Sh r h π==圆柱

③ 讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？ 等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系？ ④ 根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？

→给出锥体的体积计算公式：13

V Sh =锥 S 为底面面积，h 为高）

⑤ 讨论：台体的上底面积S ’，下底面积S ，高h ，由此如何计算切割前的锥体的高？ → 如何计算台体的体积？

⑥ 给出台体的体积公式：''1()3

V S S S S h =++台 （S ，'

S 分别上、下底面积，h 为高）

→ ''2211

()()33

V S S S S h r rR R h π=++=++圆台 （r 、R 分别为圆台上底、下底半径）

⑦ 比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？

从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S ’=S 和S ’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式

讨论：侧面积公式是否也正确？ 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一？

公式记忆：13V Sh =锥

''1

()3V S S S S h =台

''2211

()()33

V S S S S h r rR R h π=+=++圆台

2. 教学体积公式计算的运用：

例1、一堆铁制六角螺帽，共重, 底面六边形边长12mm ，内空直径10mm ，高10mm ，估算这堆螺帽多少个？（铁的密度cm 3）

讨论：六角螺帽的几何结构特征？ → 如何求其体积？ → 利用哪些数量关系求个数？ → 列式计算 → 小结：体积计算公式

② 练习：将若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形容器中，量得水面高度为6cm ；若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形容器中，求水面的高度. .

三、巩固练习：

1. 把三棱锥的高分成三等分，过这些分点且平行于三棱锥底面的平面，把三棱锥分成三部分，求这三部分自上而下的体积之比。

2、棱台的两个底面面积分别是245c ㎡和80ｃ㎡，截得这个棱台的棱锥的高为35cm ，求这个棱台的体积。 （答案：2325cm 3

）

3. 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面的面积为4，求圆锥的体积.

4. 高为12cm 的圆台，它的中截面面积为225πcm 2

,体积为2800cm 3

，求它的侧面积。

5. 仓库一角有谷一堆，呈1/4圆锥形，量得底面弧长，母线长，这堆谷多重？720kg/m 3

四、小结：柱锥台的体积公式及相关关系；公式实际运用

五、作业：P 28 2、3题； P30习题 3题.

课后记

课题： 球的体积和表面积

一. 教学目标 1.知识与技能

⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。 ⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。 ⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。 2.过程与方法

通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝

3

4πR 3

和面积公式Ｓ＝４πR 2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。

二. 教学重点、难点

重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。 三. 学法和教学用具

１．

学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值

的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。

２． 教学用具：多媒体课件

四. 教学设计

（一） 创设情景

⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。

⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。 （二） 探究新知 1．球的体积：

如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。 步骤：第一步：分割

如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n 等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n 个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为n

R

，底面是“小圆片”的底面。 如图： 得

)1(])1(1[2

32

n i n

i n R n R r V i i ??=--=??≈、２ ππ

第二步：求和

]6

)2)(1(1[1

13

321n n n R v v v v ---≈++++πK ＝Ｖ半球

第三步：化为准确的和

当n →∞时， n 1

→0 （同学们讨论得出） 所以 33

3

2

)6211(R R

ππ=?-

＝Ｖ半球 得到定理：半径是Ｒ的球的体积

33

4

R π=

球Ｖ 练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是cm 3

) 2．球的表面积：

球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R 的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。

思考：推导过程是以什么量作为等量变换的？ 半径为R 的球的表面积为 Ｓ＝４πR 2

练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则

这个球的表面积是。（答案50元）

（三）体积公式的实际应用：

例①：一种空心钢球的质量是142g，外径是，求它的内径. （钢密度cm3）

讨论：如何求空心钢球的体积？

→列式计算→小结：体积应用问题.

②有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为R的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度.

③探究阿基米德的科学发现：图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周

，球的表面积也是圆柱全生成的几何体称为圆柱容球。在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的2

3

.

面积的2

3

五、课堂小结：

本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法。

六、作业：1、P28 练习1、2、3

2、⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为，表面积比为。

3； 3 ：1）

（答案：1:3

⑵在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积。（答案：2500πcm2）

七、课后记

课题：平面

一、教学目标：

1、知识与技能

（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力。

2、过程与方法

（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识。

二、教学重点、难点

重点：1、平面的概念及表示；

2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。

难点：平面基本性质的掌握与运用。

三、学法与教学用具

1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板

四、教学过程

（一）实物引入、揭示课题

师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们

能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。与此同时，教师对学生的活动给予评价。 那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。 （二）研探新知 1、平面含义

师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示

师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）

之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450

，且横边画成邻边的2倍长（如图）

平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）

课本P41 图 说明

平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。 点A 在平面α内，记作：A ∈α 点B 在平面α外，记作：B α 3、平面的基本性质

教师引导学生思考教材P41的思考题，让学生充分发表自己的见解。

师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出以下公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 （教师引导学生阅读教材P42前几行相关内容，并加以解析） 符号表示为

A ∈L

B ∈L => L α A ∈α B ∈α

公理1作用：判断直线是否在平面内

师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等…… 引导学生归纳出公理2

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

D C

B

A α

α

β

α

β

·B

·A

α

L

A ·

α C ·

B

·

A

· α P

· α

L

β ·B

公理2作用：确定一个平面的依据。

教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义。

引导学生阅读P42的思考题，从而归纳出公理3

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据

4、教材P43 例1 用符号表示下列图形中点、线、面之间的位置关系

三、课堂练习：课本P43 练习1、2、3、4

四、课时小结：（师生互动，共同归纳）

（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什么？

五、作业布置

（1）复习本节课内容；

（2）预习：同一平面内的两条直线有几种位置关系.

课后记：

课题：空间中直线与直线之间的位置关系

一、教学目标：

1、知识与技能

（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。

2、过程与方法

（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。

二、教学重点、难点

重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理。

难点：异面直线所成角的计算。

三、学法与教学用具

1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板

四、教学思想

（一）创设情景、导入课题

1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）

（二）讲授新课

1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：

2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？

组织学生思考：

长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'与DD'平行吗？

生：平行

再联系其他相应实例归纳出公理4

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

例1、空间四边形ABCD，E 、F、H、G分别是边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形

3 让学生观察、思考右图：

∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？

生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800

教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。

4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。

（1）师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。

=>a∥c c∥b

共面直线