集合经典习题集含答案

[基础训练A 组]

一、选择题

1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ）

A ．所有的正数

B ．等于2的数

C ．接近于0的数

D ．不等于0的偶数

2．下列四个集合中，是空集的是（ ）

A ．}33|{=+x x

B ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=

C ．}0|{2≤x x

D ．},01|{2R x x x x ∈=+-

3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ）

A ．()()A C

B

C U I U

B ．()()A B A

C U I U

C ．()()A B B C U I U

D ．()A B C U I

4．下面有四个命题：

（1）集合N 中最小的数是1；

（2）若a -不属于N ，则a 属于N ；

（3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；

（4）x x 212=+的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

5．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，

则△ABC 一定不是（ ）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰三角形

6．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ）

A ．3个

B ．5个

C ．7个

D ．8个

二、填空题

A B

C

1．用符号“∈”或“?”填空

（1）0______N , 5______N , 16______N

（2）1______,_______,______2

R Q Q e C Q π-（e 是个无理数）

（3{}|,,x x a a Q b Q =+∈∈

2. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B =I ，则C 的

非空子集的个数为 。

3．若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则A B =U _____________．

4．设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ?，

则实数k 的取值范围是 。

5．已知{}

{}221,21A y y x x B y y x ==-+-==+，则A B =I _________。

三、解答题

1．已知集合??????∈-∈=N x N x A 68|，试用列举法表示集合A 。

2．已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?,求m 的取值范围。

3．已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =-I ， 求实数a 的值。

4．设全集U R =，{}2|10M m mx x =--=方程有实数根，{}()2|0,.U N n x x n C M N =-+=I 方程有实数根求

[基础训练A 组]

一、选择题

1. C 元素的确定性；

2. D 选项A 所代表的集合是{}0并非空集，选项B 所代表的集合是{}(0,0) 并非空集，选项C 所代表的集合是{}0并非空集，

选项D 中的方程210x x -+=无实数根；

3. A 阴影部分完全覆盖了C 部分，这样就要求交集运算的两边都含有C 部分；

4. A （1）最小的数应该是0，（2）反例：0.5N -?，但0.5N ?

（3）当0,1,1a b a b ==+=,（4）元素的互异性

5. D 元素的互异性a b c ≠≠；

6. C {}0,1,3A =，真子集有3217-=。

二、填空题

1. (1),,;(2),,,(3)∈?∈∈?∈∈ 04=；

2==当0,1a b ==在集合中

2. 15 {}0,1,2,3,4,5,6A =，{}0,1,4,6C =，非空子集有42115-=；

3. {}|210x x << {

2,3,7,1064748，显然A B =U {}|210x x << 4. 1|12k k ??-≤≤???? 3,21,21,2k k --+6444744481442443，则213212k k -≥-??+≤?得112k -≤≤ 5. {}|0y y ≤ 2221(1)0y x x x =-+-=--≤，A R =。

三、解答题

1.解：由题意可知6x -是8的正约数，当61,5x x -==；当62,4x x -==； 当64,2x x -==；当68,2x x -==-；而0x ≥，∴2,4,5x =，即 {}5,4,2=A ；

2.解：当121m m +>-，即2m <时，,B φ=满足B A ?，即2m <；

当121m m +=-，即2m =时，{}3,B =满足B A ?，即2m =；

当121m m +<-，即2m >时，由B A ?，得12215

m m +≥-??-≤?即23m <≤；

∴3≤m

3.解：∵{}3A B =-I ，∴3B -∈，而213a +≠-，

∴当{}{}33,0,0,1,3,3,1,1a a A B -=-==-=--，

这样{}3,1A B =-I 与{}3A B =-I 矛盾；

当213,1,a a -=-=-符合{}3A B =-I

∴1a =-

4.解：当0m =时，1x =-，即0M ∈；

当0m ≠时，140,m ?=+≥即1

4m ≥-，且0m ≠ ∴14m ≥-，∴1|4U C M m m ??

=<-????

而对于N ，140,n ?=-≥即14n ≤，∴1|4N n n ??

=≤????

1. ∴1()|4U C M N x x ??

=<-????I

[综合训练B 组]

一、选择题

1．下列命题正确的有（ ）

（1）很小的实数可以构成集合；

（2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){}1|,2-=x y y x 是同一个集合；

（3）361

1,,,,0.5242-这些数组成的集合有5个元素；

（4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

2．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =?，则m 的值为（ ）

A ．1

B ．1-

C ．1或1-

D ．1或1-或0

3．若集合{}{}

22(,)0,(,)0,,M x y x y N x y x y x R y R =+==+=∈∈，则有（ ）

A ．M N M =U

B ． M N N =U

C ． M N M =I

D ．M N =?I 4．方程组?

??=-=+9122y x y x 的解集是（ ） A ．()5,4 B ．()4,5- C ．(){}4,5- D ．(){}4,5-。

5．下列式子中，正确的是（ ）

A ．R R ∈+

B ．{}Z x x x Z ∈≤?-,0|

C ．空集是任何集合的真子集

D ．{}φφ∈

6．下列表述中错误的是（ ）

A ．若A

B A B A =?I 则, B ．若B A B B A ?=，则Y

C ．)(B A I A )(B A Y

D ．()()()B C A C B A C U U U Y I =

二、填空题

1．用适当的符号填空

（1）{}()(){}1|,____2,1,2|______3+=≤x y y x x x

（2）{}

32|_______52+≤+x x ，

（3）{}31|,_______|0x x x R x x x x ??=∈-=???? 2．设{}{}34|,|,<>=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或

则___________,__________==b a 。

3．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不 爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人。

4．若{}{}21,4,,1,A x B x ==且A B B =I ，则x = 。

5．已知集合}023|{2=+-=x ax x A 至多有一个元素，则a 的取值范围 ； 若至少有一个元素，则a 的取值范围 。

三、解答题

1．设{}{}(){}2,|,,,y x ax b A x y x a M a b M =++====求

2．设222{40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈,

如果A B B =I ，求实数a 的取值范围。

3．集合{}22|190A x x ax a =-+-=，{}2|560B x x x =-+=，{}2|280C x x x =+-=满足,A B φ≠I ，,A C φ=I 求实数a 的值。

4．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；

若φ=B A C U I )(，求m 的值。

[综合训练B 组]

一、选择题

4．A （1）错的原因是元素不确定，（2）前者是数集，而后者是点集，种类不

同，

（3）361,0.5242

=-=，有重复的元素，应该是3个元素，（4）本集合还包括

坐标轴

2. D 当0m =时，,B φ=满足A B A =U ，即0m =；当0m ≠时，1,B m ??=????

而A B A =U ，∴11111m m

=-=-或，或；∴1,10m =-或； 3. A {}N =（0，0），N M ?；

4. D 1594

x y x x y y +==????-==-??得，该方程组有一组解(5,4)-，解集为{}(5,4)-；

5. D 选项A 应改为R R +?，选项B 应改为""?，选项C 可加上“非空”，

或去掉“真”，选项D 中的{}φ里面的确有个元素“φ”，而并非空集；

6. C 当A B =时，A B A A B ==I U

二、填空题

1. (1),,(2),(3)∈∈∈?

（12，1,2x y ==满足1y x =+，

（2 1.4 2.2 3.6=+=，2 3.7+=，

或27=+2(27+=+（3）左边{}1,1=-，右边{}1,0,1=-

2. 4,3==b a {}{}()|34|U U A C C A x x x a x b ==≤≤=≤≤

3. 26 全班分4类人：设既爱好体育又爱好音乐的人数为x 人；仅爱好体育

的人数为43x -人；仅爱好音乐的人数为34x -人；既不爱好体育又不爱好音乐的

人数为4人 。∴4334455x x x -+-++=，∴26x =。

4. 2,2,0-或 由A B B B A =?I 得，则224x x x ==或，且1x ≠。

5. 9|,08a a a ??≥=????或，9|8a a ??≤???

? 当A 中仅有一个元素时，0a =，或980a ?=-=；

当A 中有0个元素时，980a ?=-<；

当A 中有两个元素时，980a ?=->；

三、解答题

1． 解：由{}A a =得2x ax b x ++=的两个根12x x a ==，

即2(1)0x a x b +-+=的两个根12x x a ==， ∴12112,3

x x a a a +=-==得，1219x x b ==， ∴?

???????? ??=91,31M 2.解：由A B B B A =?I 得，而{}4,0A =-，224(1)4(1)88a a a ?=+--=+

当880a ?=+<，即1a <-时，B φ=，符合B A ?；

当880a ?=+=，即1a =-时，{}0B =，符合B A ?；

当880a ?=+>，即1a >-时，B 中有两个元素，而B A ?{}4,0=-； ∴{}4,0B =-得1a =

∴11a a =≤-或。

3.解： {}2,3B =，{}4,2C =-，而A B φ≠I ，则2,3至少有一个元素在A 中，

又A C φ=I ，∴2A ?，3A ∈，即293190a a -+-=，得52a =-或 而5a A B ==时，与A C φ=I 矛盾，

∴2a =-

4. 解：{}2,1A =--，由(),U C A B B A φ=?I 得，

当1m =时，{}1B =-，符合B A ?；

当1m ≠时，{}1,B m =--，而B A ?，∴2m -=-，即2m =

2. ∴1m =或2。

[提高训练C 组]

一、选择题

1．若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为（ ）

A ．0X ?

B ．{}0X ∈

C ．X φ∈

D ．{}0X ?

2．50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人，

2项测验成绩均不及格的有4人，2项测验成绩都及格的人数是（ ）

A ．35

B ．25

C ．28

D ．15

3．已知集合{}2|10,A x x A R φ=+==I 若，则实数m 的取值范围是（ ）

A ．4

B ．4>m

C ．40<≤m

D ．40≤≤m

4．下列说法中，正确的是（ ）

A ． 任何一个集合必有两个子集；

B ． 若,A B φ=I 则,A B 中至少有一个为φ

C ． 任何集合必有一个真子集；

D ． 若S 为全集，且,A B S =I 则,A B S ==

5．若U 为全集，下面三个命题中真命题的个数是（ ）

（1）若()()U B C A C B A U U ==Y I 则,φ

（2）若()()φ==B C A C U B A U U I Y 则,

（3）若φφ===B A B A ，则Y

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

6．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},2

14|{Z k k x x N ∈+==，则（ ） A ．N M = B ．M N

C ．N M

D ．M N φ=I

7．设集合22{|0},{|0}A x x x B x x x =-==+=，则集合A B =I （ ）

A ．0

B ．{}0

C ．φ

D ．{}1,0,1-

二、填空题

1．已知{}R x x x y y M ∈+-==,34|2，{}R x x x y y N ∈++-==,82|2 则__________=N M I 。

2．用列举法表示集合：M m m Z m Z =+∈∈{|,}101

= 。 3．若{}|1,I x x x Z =≥-∈，则N C I = 。

4．设集合{}{}{}1,2,1,2,3,2,3,4A B C ===则

A B =I U （）C 。 5．设全集{}(,),U x y x y R =∈,集合2(,)12y M x y x ?+?==??-?

?，{}(,)4N x y y x =≠-, 那么()()U U C M C N I 等于________________。

三、解答题

1．若{}{}{}.,,|,,M C A M A x x B b a A B 求=?==

2．已知{}|2A x x a =-≤≤,{}|23,B y y x x A ==+∈,

{}2|,C z z x x A ==∈,且C B ?,求a 的取值范围。

3．全集{}321,3,32S x x x =++，{}1,21A x =-，如果{},0=A C S 则这样的

实数x 是否存在？若存在，求出x ；若不存在，请说明理由。

4．设集合{}1,2,3,...,10,A =求集合A 的所有非空子集元素和的和。

[提高训练C 组]

一、选择题

1. D {}01,0,0X X >-∈?

3. B 全班分4类人：设两项测验成绩都及格的人数为x 人；仅跳远及格的人

数

为40x -人；仅铅球及格的人数为31x -人；既不爱好体育又不爱好音乐的 人数为4人 。∴4031450x x x -+-++=，∴25x =。

3. C 由A R A φφ==I 得，240,4,0,m m ?=-<<≥而∴04m ≤<；

4. D 选项A ：φ仅有一个子集，选项B ：仅说明集合,A B 无公共元素，

选项C ：φ无真子集，选项D 的证明：∵(),,A B A S A A S ???I 即而， ∴A S =；同理B S =， ∴A B S ==；

5. D （1）()()()U U U U C A C B C A B C U φ===U I ；

（2）()()()U U U U C A C B C A B C U φ===I U ；

（3）证明：∵(),,A A B A φφ???U 即A 而，∴A φ=；

同理B φ=， ∴A B φ==； 6. B 21:,44k M +奇数；2:,44

k N +整数，整数的范围大于奇数的范围 7．B {}{}0,1,1,0A B ==-

二、填空题

1. {}|19x x -≤≤

{}{}22|43,|211M y y x x x R y y x ==-+∈==--≥-（）

{}{}22|28,|199N y y x x x R y y x ==-++∈==--+≤（）

2. {}9,4,1,0,2,3,6,11---- 110,5,2,1m +=±±±±或（10的约数）

3. {}1- {}1I N =-U ，{}1I C N =-

4. {}1234，，， {}12A B =I ，

5. (){}2,2- :4(2)M y x x =-≠，M 代表直线4y x =-上，但是

挖掉点(2,2)-，U C M 代表直线4y x =-外，但是包含点(2,2)-； N 代表直线4y x =-外，U C N 代表直线4y x =-上，

∴{}()()(2,2)U U C M C N =-I 。

三、解答题

1. 解：{}{}{},,,,,x A x a b a b φ?=则或，{}{}{}{},,,,B a b a b φ= ∴{}{}{},,B C M a b φ=

2. 解：{}|123B x x a =-≤≤+，当20a -≤≤时，{}2|4C x a x =≤≤，

而C B ? 则1234,,20,2

a a a +≥≥-≤≤即而 这是矛盾的； 当02a <≤时，{}|04C x x =≤≤，而C B ?， 则1234,,22a a a +≥≥≤≤1即即2

； 当2a >时，{}2|0C x x a =≤≤，而C B ?，

则223,3a a a +≥<≤即 2； ∴

132

a ≤≤

3. 解：由{}0S C A =得0S ∈，即{}1,3,0S =，{}1,3A =， ∴32213320

x x x x ?-=??++=??，∴1-=x 4. 解：含有1的子集有92个；含有2的子集有92个；含有3的子集有9

2个；…，

2． 含有10的子集有92个，∴9(123...10)228160++++?=。