高一万有引力与宇宙(培优篇)(Word版 含解析)
一、第七章 万有引力与宇宙航行易错题培优（难）
1．在太阳系外发现的某恒星a 的质量为太阳系质量的0.3倍，该恒星的一颗行星b 的质量是地球的4倍，直径是地球的1.5倍，公转周期为10天．设该行星与地球均为质量分布均匀的球体，且分别绕其中心天体做匀速圆周运动，则（ ） A ．行星b 的第一宇宙速度与地球相同
B ．行星b 绕恒星a 运行的角速度大于地球绕太阳运行的角速度
C ．如果将物体从地球搬到行星b 上，其重力是在地球上重力的169
D ．行星b 与恒星a 【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】
A ．当卫星绕行星表面附近做匀速圆周运动时的速度即为行星的第一宇宙速度，由
22Mm v G m R R
= 得
v =
M 是行星的质量，R 是行星的半径，则得该行星与地球的第一宇宙速度之比为
v v 行地：=
故A 错误；
B ．行星b 绕恒星a 运行的周期小于地球绕太阳运行的周期；根据2T
π
ω= 可知，行星b 绕恒星a 运行的角速度大于地球绕太阳运行的角速度，选项B 正确； C ．由2
GM
g R =
，则 2
216
9
M R g g M R =?=行地行地地行：
则如果将物体从地球搬到行星b 上，其重力是在地球上重力的16
9
，则C 正确； D ．由万有引力提供向心力：
2
224Mm G m R R T
π= 得：
2
3
24GMT R π
= 则
22
b 332
2
0.310==360ab a R M T R M T 日日地地? 则D 错误； 故选BC 。
2．假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是( ) A ．地球的向心力变为缩小前的一半 B ．地球的向心力变为缩小前的
C ．地球绕太阳公转周期与缩小前的相同
D ．地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半 【答案】BC 【解析】
A 、
B 、由于天体的密度不变而半径减半，导致天体的质量减小，所以有：
3
/
4328
r M M ρπ??==
??? 地球绕太阳做圆周运动由万有引力充当向心力．所以有：
//
2
21G
162M M M M G R R =
?? ???
日日地
地
， B
正确，A 错误；
C 、
D 、由//
2/2
24G
22M M R M T R π??= ????? ???
日地
地
，整理得：23?4T r GM
π=C 正确；D
错误；
故选BC ．
3．按照我国整个月球探测活动的计划，在第一步“绕月”工程圆满完成各项目标和科学探测任务后，第二步是“落月”工程。已在2013年以前完成。假设月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g 0，飞船沿距月球表面高度为3R 的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A 点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B 时再次点火进入月球近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。下列判断正确的是（ ）
A ．飞船在轨道Ⅰ上的运行速率0g R v =
B ．飞船在A 点处点火变轨时，速度增大
C ．飞船从A 到B 运行的过程中加速度增大
D ．飞船在轨道Ⅲ绕月球运动一周所需的时间0
2πR T g =【答案】ACD 【解析】 【分析】 【详解】
A ．飞船在轨道Ⅰ上，月球的万有引力提供向心力
22(4)4Mm v G m R R
= 在月球表面的物体，万有引力等于重力，得
002
Mm G
m g R
= 解得
0g R v =
故A 正确；
B ．在圆轨道实施变轨成椭圆轨道远地点是做逐渐靠近圆心的运动，要实现这个运动必须万有引力大于飞船所需向心力，所以应给飞船减速，从而减小所需的向心力，则变轨时速度减小，故B 错误；
C ．飞船在轨道Ⅱ上做椭圆运动，根据牛顿第二定律可知
2Mm
G
ma r
= 因A 到B 的过程距离r 变小，则加速度逐渐增大，故C 正确； D ．对近月轨道的卫星有
2
024mg m R T
π=
解得
g
故D正确。
故选ACD。
4．嫦娥三号探测器欲成功软着陆月球表面，首先由地月轨道进入环月椭圆轨道Ⅰ，远月点A距离月球表面为h，近月点B距离月球表面高度可以忽略，运行稳定后再次变轨进入近月轨道Ⅱ。已知嫦城三号探测器在环月椭圆轨道周期为T、月球半径为R和引力常量为G，根据上述条件可以求得（）
A．探测器在近月轨道Ⅱ运行周期
B．探测器在环月椭圆轨道Ⅰ经过B点的加速度
C．月球的质量
D．探测器在月球表面的重力
【答案】ABC
【解析】
【分析】
【详解】
A．根据开普勒第三定律可得
3
3
22
2
2
R h
R
T T
II
+
??
?
??=
解得
3
3
2
2
R
T T
R h
II
=
+
??
?
??
A正确；
B．探测器在环月椭圆轨道Ⅰ经过B点时，由万有引力提供向心力
2
22
4
=
B
Mm
G ma m R
R T
π
II
=
即
2
B T II
B 正确；
C ．由万有引力提供向心力
2B Mm
G
ma R
= 可得
2
B a R M G
= C 正确；
D ．由于不知道探测器的质量，无法求出探测器在月球表面的重力，D 错误。 故选ABC 。
5．如图所示，卫星在半径为1r 的圆轨道上运行速度为1υ，当其运动经过A 点时点火加速，使卫星进入椭圆轨道运行，椭圆轨道的远地点B 与地心的距离为2r ，卫星经过B 点的速度为B υ，若规定无穷远处引力势能为0，则引力势能的表达式p GMm
E r
=-
，其中G 为引力常量，M 为中心天体质量，m 为卫星的质量，r 为两者质心间距，若卫星运动过程中仅受万有引力作用，则下列说法正确的是
A ．1b υυ<
B ．卫星在椭圆轨道上A 点的加速度小于B 点的加速度
C ．卫星在A 点加速后的速度为2
12112A B GM r r υυ??=
-+ ???
D ．卫星从A 点运动至B 点的最短时间为()
3
121
1
1
2r r t r υ+=【答案】AC 【解析】 【分析】 【详解】
假设卫星在半径为r 2的圆轨道上运行时速度为v 2
．由卫星的速度公式GM
v r
=
知，卫星在半径为r 2的圆轨道上运行时速度比卫星在半径为r 1的圆轨道上运行时速度小，即v 2 2 GMm ma r =，可知轨道半径越大，加速度越小，则A B a a >，故B 错误；卫星加速后从A 运动到B 的过程，由机械能守恒定律得， 221211()()22A B GMm GMm mv mv r r +-=+- 得212 112()A B v GM v r r =-+，故C 正确；设卫星在半径为r 1的圆轨道上运行时周期为T 1，在椭圆轨道运行周期为T 2．根据开普勒第三 定律3 123 122 1 2( )2 r r r T T += 又因为1112r T v π= 卫星从A 点运动至B 点的最短时间为22T t =，联立解得3 1211 ()2r r t v r π += 故D 错误． 6．同步卫星的发射方法是变轨发射，即先把卫星发射到离地面高度为几百千米的近地圆形轨道Ⅲ上，如图所示，当卫星运动到圆形轨道Ⅲ上的B 点时，末级火箭点火工作，使卫星进入椭圆轨道Ⅱ，轨道Ⅱ的远地点恰好在地球赤道上空约36000km 处，当卫星到达远地点 A 时，再次开动发动机加速，使之进入同步轨道Ⅰ。关于同步卫星及发射过程，下列说法 正确的是（ ） A ．在 B 点火箭点火和A 点开动发动机的目的都是使卫星加速，因此卫星在轨道Ⅰ上运行的线速度大于在轨道Ⅲ上运行的线速度 B ．卫星在轨道Ⅱ上由A 点向B 点运行的过程中，速率不断增大 C ．所有地球同步卫星的运行轨道都相同 D ．同步卫星在圆形轨道运行时，卫星内的某一物体处于超重状态 【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】 A ．根据变轨的原理知，在 B 点火箭点火和A 点开动发动机的目的都是使卫星加速； 当卫星做圆周运动时有 22Mm v G m r r = 解得 GM v r = 可知卫星在轨道I 上运行的线速度小于在轨道Ⅲ上运行的线速度，故A 错误； B ．卫星在轨道Ⅱ上由A 点向B 点运行的过程中，万有引力做正功，动能增大，则速率不断增大，故B 正确； C ．所有的地球同步卫星的静止轨道都在赤道平面上，高度一定，所以运行轨道都相同，故C 正确； D ．同步卫星在圆形轨道运行时，卫星内的某一物体受到的万有引力完全提供向心力，物体处于失重状态，故D 错误。 故选BC 。 7．如图所示，宇航员完成了对月球表面的科学考察任务后，乘坐返回舱返回围绕月球做圆周运动的轨道舱。为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度。已知返回舱与人的总质量为m ，月球质量为M ，月球的半径为R ，月球表面的重力加速度为g ，轨道舱到月球中心的距离为r ，不计月球自转的影响。卫星绕月过程中具有的机械能由引力势能和动能组成。已知当它们相距无穷远时引力势能为零，它们距离为r 时，引力势能为 p GMm E r =- ，则（ ） A ．返回舱返回时，在月球表面的最大发射速度为v gR = B ．返回舱在返回过程中克服引力做的功是(1)R W mgR r =- C ．返回舱与轨道舱对接时应具有的动能为2 2k mgR E r = D ．宇航员乘坐的返回舱至少需要获得(1)R E mgR r =-能量才能返回轨道舱 【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】 A ．返回舱在月球表面飞行时，重力充当向心力 2 v mg m R ＝ 解得 v =已知轨道舱离月球表面具有一定的高度，故返回舱要想返回轨道舱，在月球表面的发射速 ，故A 错误； B ．返回舱在月球表面时，具有的引力势能为GMm R - ，在轨道舱位置具有的引力势能为GMm r - ，根据功能关系可知，引力做功引起引力势能的变化，结合黄金代换式可知 0 02 GMm m g R = GM =gR 2 返回舱在返回过程中克服引力做的功是 (1)R W mgR r =- 故B 正确； C ．返回舱与轨道舱对接时，具有相同的速度，根据万有引力提供向心力可知 2 2 GMm v m r r ＝ 解得动能 2 22212k GMm mgR E mv r r == ＝ 故C 正确； D ．返回舱返回轨道舱，根据功能关系可知，发动机做功，增加了引力势能和动能 22 (1)22R mgR mgR mgR mgR r r r -+=- 即宇航员乘坐的返回舱至少需要获得2 2mgR mgR r -的能量才能返回轨道舱，故D 错误。 故选BC 。 8．行星A 和行星B 是两个均匀球体，行星A 的卫星沿圆轨道运行的周期为T A ，行星B 的卫星沿圆轨道运行的周期为T B ，两卫星绕各自行星的近表面轨道运行，已知 :1:4A B T T =，行星A 、B 的半径之比为A B :1:2R R =，则（） A ．这两颗行星的质量之比A B :2:1m m = B ．这两颗行星表面的重力加速度之比:2:1A B g g = C ．这两颗行星的密度之比A B :16:1ρρ= D ．这两颗行星的同步卫星周期之比A B :T T =【答案】AC 【解析】 【分析】 【详解】 A ．人造地球卫星的万有引力充当向心力 2224Mm R G m R T π＝ 得 23 2 4R M GT π＝ 所以这两颗行星的质量之比为 32()116(2 811 )A A B B B A m R T m R T ??＝＝＝ 故A 正确； B ．忽略行星自转的影响，根据万有引力等于重力 2Mm G mg R ＝ 得 2 GM g R ＝ 所以两颗行星表面的重力加速度之比为 2248 11()1 A A B B B A g m R g m R ??＝＝＝ 故B 错误； C ．行星的体积为3 4 3 V R π＝ 故密度为 23 2234343 R M GT V GT R ππ ρπ＝＝＝ 所以这两颗行星的密度之比为 2)16 1 (A B B A T T ρρ＝＝ 故C 正确； D ．根据题目提供的数据无法计算同步卫星的周期之比，故D 错误。 故选AC 。 9．电影《流浪地球》讲述的是面对太阳快速老化膨胀的灾难，人类制定了“流浪地球”计划，这首先需要使自转角速度大小为ω的地球停止自转，再将地球推移出太阳系到达距离太阳最近的恒星（比邻星）。为了使地球停止自转，设想的方案就是在地球赤道上均匀地安装N台“喷气”发动机，如图所示（N较大，图中只画出了4个）。假设每台发动机均能沿赤道的切线方向提供大小恒为F的推力，该推力可阻碍地球的自转。已知描述地球转动的动力学方程与描述质点运动的牛顿第二定律方程F=ma具有相似性，为M=Iβ，其中M 为外力的总力矩，即外力与对应力臂乘积的总和，其值为NFR；I为地球相对地轴的转动惯量；β为单位时间内地球的角速度的改变量。将地球看成质量分布均匀的球体，下列说法中正确的是（） A．在M=Iβ与F=ma的类比中，与质量m对应的物理量是转动惯量I，其物理意义是反映改变地球绕地轴转动情况的难易程度 B．地球自转刹车过程中，赤道表面附近的重力加速度逐渐变小 C．地球停止自转后，赤道附近比两极点附近的重力加速度大 D．地球自转刹车过程中，两极点的重力加速度逐渐变大 E.这些行星发动机同时开始工作，使地球停止自转所需要的时间为 I NF F.若发动机“喷气”方向与地球上该点的自转线速度方向相反，则地球赤道地面的人可能会“飘”起来 G.在M=Iβ与F=ma的类比中，力矩M对应的物理量是m，其物理意义是反映改变地球绕地轴转动情况的难易程度 H.β的单位应为rad/s I.β-t图象中曲线与t轴围成的面积的绝对值等于角速度的变化量的大小 J.地球自转刹车过程中，赤道表面附近的重力加速度逐渐变大 K.若停止自转后，地球仍为均匀球体，则赤道处附近与极地附近的重力加速度大小没有差异 【答案】AFIJK 【解析】 【分析】 【详解】 A ．I 为刚体的“转动惯量”，与平动中的质量m 相对应，表征刚体转动状态改变的难易程度，故在本题中的物理意义是反映改变地球绕地轴转动情况的难易程度，故A 正确； BJ ．地球自转刹车过程中，万有引力提供赤道表面附近的重力加速度和物体做圆周运动的向心力，则 22Mm G mg m r r ω-= 故赤道表面附近的重力加速度逐渐增大，故B 错误，J 正确； C ．地球视为均匀球体地球停止自转后，万有引力提供重力加速度，故赤道附近和两极点附近的重力加速度一样大，故C 错误； D ．地球自转刹车过程中，；两极点处万有引力提供重力加速度，故两极点的重力加速度保持不变，故D 错误； EHI ．由题意可知 M I β=，M NFR = 解得 NFR I β= 且 t t ωωβ?-= =? 故β的单位为2rad/s ，由β的定义式可知，β-t 图象中曲线与t 轴围成的面积的绝对值等于角速度的变化量的大小，且联立解得 I t NFR ω= 故EH 错误，I 正确； F ．若发动机“喷气”方向与地球上该点的自转线速度方向相反，则地球的自转角速度变大，则人跟地球一起做圆周运动所需的向心力变大，当万有引力不足以提供向心力时，人会飘起来，故F 正确； G ．在M=Iβ与F =ma 的类比中，力矩M 对应的物理量是F ，表征外力对刚体的转动效果，故G 错误； 故选AFIJK 。 10．如图所示，曲线Ⅰ是一颗绕地球做圆周运动卫星轨道的示意图，其半径为R ；曲线Ⅱ是一颗绕地球椭圆运动卫星轨道的示意图，O 点为地球球心，AB 为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内，已知在两轨道上运动的卫星的周期相等，万有引力常量为G ，地球质量为M ，下列说法正确的是 A ．椭圆轨道的半长轴长度为R B ．卫星在Ⅰ轨道的速率为v 0，卫星在Ⅱ轨道B 点的速率为v B ， 则v 0＞v B C ．卫星在Ⅰ轨道的加速度大小为a 0，卫星在Ⅱ轨道A 点加速度大小为a A ，则a 0＜a A D ．若OA =0.5R ，则卫星在B 点的速率v B 23GM R 【答案】ABC 【解析】 【分析】 【详解】 由开普勒第三定律可得：2 3 T k a ＝，圆轨道可看成长半轴、短半轴都为R 的椭圆，故a=R ， 即椭圆轨道的长轴长度为2R ，故A 正确；根据万有引力做向心力可得：2 2 GMm mv r r ＝，故v ＝ GM r OB 为半径做圆周运动的速度为v'，那么，v'＜v 0；又有卫星Ⅱ在B 点做向心运动，故万有引力大于向心力，所以，v B ＜v'＜v 0，故B 正确；卫星运动过程只受万有引力作用，故有：2 GMm ma r ＝，所以加速度2 GM a r =；又有OA ＜R ，所以，a 0＜a A ，故C 正确；若OA=0.5R ，则OB=1.5R ，那么，v ′＝2 3GM R ，所以，v B ＜2 3GM R D 错误； 点睛：万有引力的应用问题一般由重力加速度求得中心天体质量，或由中心天体质量、轨道半径、线速度、角速度、周期中两个已知量，根据万有引力做向心力求得其他物理量． 11．“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接及“蛟龙”号下潜突破7000米入选2012年中国十大科技进展新闻。若地球半径为R ，把地球看作质量分布均匀的球体（质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零）。“蛟龙”号下潜深度为d ，“天宫一号”轨道距离地面高度为h ，“天宫一号”所在处与“蛟龙”号所在处的重力加速度之比为（ ） A ．R d R h B ．3 2 ()()R R d R h -+ C ．23 ()()R d R h R D ． 2 ()() R d R h R 【解析】 【分析】 【详解】 “天宫一号”绕地球运行，所以 322 4 3()()R m Mm G G mg R h R h ρπ?==++ “蛟龙”号在地表以下，所以 32 2 4()3 () ()R d m M m G G m g R d R d ρπ-?' '' ==''-- “天宫一号”所在处与“蛟龙”号所在处的重力加速度之比为 23 2 3(()()1)g R R R g R h R h d d R =?'-+=+- 故ACD 错误，B 正确。 故选B 。 12．一球状行星的自转与地球自转的运动情况相似，此行星的一昼夜为a 秒，在星球上的不同位置用弹簧秤测量同一物体的重力，在此星球赤道上称得的重力是在北极处的b 倍(b 小于1)，万有引力常量为G ，则此行星的平均密度为（ ） A ． () 231Ga b π - B ． 2 3Ga b π C ． () 2301Ga b π - D ． 230Ga b π 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 在北极时，可知 02 GMm mg R = 赤道上的物体随地球做匀速圆周运动所需向心力 2 2( )F m R a π=向 因此在赤道上的重力 0mg F mg -=向 由题可知 g b g = 3 = 4 3 M R ρ π 整理得 () 2 3 1 Ga b ρ π = - A正确，BCD错误。 故选A。 13．卫星围绕某行星做匀速圆周运动的轨道半径的三次方（r3）与周期的平方（T2）之间的关系如图所示。若该行星的半径R0和卫星在该行星表面运行的周期T0已知，引力常量为G，则下列物理量中不能求出的是（） A．该卫星的线速度B．该卫星的动能 C．该行星的平均密度D．该行星表面的重力加速度 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 A．卫星在该行星表面运行，则卫星的线速度 2R v T π ＝ 选项A可求，不符合题意 B．卫星的动能 2 1 2 k E mv = 因不知卫星的质量，故无法求得，选项B符合题意； C．在星球表面，根据万有引力提供向心力得 2 22 00 4 Mm G mR R T π ＝ 解得 23 2 4R M GT π = 则行星的密度 2 300 343 M M V GT R πρπ= = = 选项C 可求，不符合题意。 D ．在星球表面，根据万有引力与重力近似相等得 2 0Mm G mg R ＝ 解得 20 22 004R M g G R T π== 选项D 可求，不符合题意。 故选B 。 14．北京时间2019年4月10日，人类历史上首张黑洞“照片”（如图）被正式披露，引起世界轰动；2020年4月7日“事件视界望远镜（EHT ）”项目组公布了第二张黑洞“照片”，呈现了更多有关黑洞的信息。黑洞是质量极大的天体，引力极强。一个事件刚好能被观察到的那个时空界面称为视界。例如，发生在黑洞里的事件不会被黑洞外的人所观察到，因此我们可以把黑洞的视界作为黑洞的“边界”。在黑洞视界范围内，连光也不能逃逸。由于黑洞质量极大，其周围时空严重变形。这样，即使是被黑洞挡着的恒星发出的光，有一部分光会落入黑洞中，但还有另一部分离黑洞较远的光线会绕过黑洞，通过弯曲的路径到达地球。根据上述材料，结合所学知识判断下列说法正确的是（ ） A ．黑洞“照片”明亮部分是地球上的观测者捕捉到的黑洞自身所发出的光 B ．地球观测者看到的黑洞“正后方”的几个恒星之间的距离比实际的远 C ．视界是真实的物质面，只是外部观测者对它一无所知 D ．黑洞的第二宇宙速度小于光速c 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 A.由于黑洞是质量极大的天体，引力极强，因此其第一宇宙速度大于光速，所以黑洞自身发的光不能向外传输，黑洞“照片”明亮部分是被黑洞挡着的恒星发出的部分光，故选项A 错误； B.由于部分离黑洞较远的光线会绕过黑洞，通过弯曲的路径到达地球，所以地球观测者看到的黑洞“正后方”的几个恒星之间的距离比实际的远，故选项B 正确； C.一个事件刚好能被观察到的那个时空界面称为视界，因此对于视界的内容可以通过外部 观测，故选项C 错误； D.因为黑洞的第一宇宙速度大于光速，所以第二宇宙速度一定大于光速，故选项D 错误。 15．地球同步卫星的发射方法是变轨发射，如图所示，先把卫星发射到近地圆形轨道Ⅰ上，当卫星到达P 点时，发动机点火。使卫星进入椭圆轨道Ⅱ，其远地点恰好在地球赤道上空约36000km 处，当卫星到达远地点Q 时，发动机再次点火。使之进入同步轨道Ⅲ，已知地球赤道上的重力加速度为g ，物体在赤道表面上随地球自转的向心加速度大小为a ，下列说法正确的是如果地球自转的（ ） A ．角速度突然变为原来的 g a a +倍，那么赤道上的物体将会飘起来 B ．卫星与地心连线在轨道Ⅱ上单位时间内扫过的面积小于在轨道Ⅲ上单位时间内扫过的面积 C ．卫星在轨道Ⅲ上运行时的机械能小于在轨道Ⅰ上运行时的机械能 D ．卫星在远地点Q 时的速度可能大于第一宇宙速度 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 A ．赤道上的物体的向心加速度 2 0a R ω= 若赤道上的物体飘起来，万有引力全部用来提供向心力，此时 22 ()GMm m g a m R R ω=+= 可得 0g a a ωω+ g a a +A 错误； B ．由于在椭圆轨道Ⅱ上Q 点的速度小于轨道Ⅲ上Q 点的速度，因此在轨道II 上Q 点附近单位时间内扫过的面积小于轨道III 上单位时间内扫过的面积，而在轨道II 上相同时间内扫过的面积相等，故B 正确； C ．从轨道I 进入轨道II 的过程中，卫星点火加速，机械能增加，从轨道II 上进入轨道III 的过程中，再次点火加速，机械能增加，因此卫星在轨道Ⅲ上运行时的机械能大于在轨道Ⅰ上运行时的机械能，故C 错误； D．在轨道II上Q点的速度小于轨道III上Q点的速度，而轨道III上卫星的运行速度小于第一宇宙速度，因此卫星在轨道II的远地点Q时的速度小于第一宇宙速度，故D错误。 故选B。