2015年北京高考数学(理)试题及答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数()i 2i -= A ．12i +
B ．12i -
C ．12i -+
D ．12i --
2．若x ，y 满足010x y x y x -??
+???≤，
≤，≥，则2z x y =+的最大值为
A ．0
B ．1
C ．
32
D ．2
3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A ．()22-，
B ．()40-，
C ．()44--，
D ．()
08-，
4．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α?．“m β∥”是“αβ∥”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是
A
．2 B
．4 C
．2+ D ．5
6．设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是
A ．若120a a +>，则230a a +>
B ．若130a a +<，则120a a +<
C ．若120a a <<
，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a -->
7．如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式
开始
x =1，y =1，k =0
s =x -y ，t =x +y x =s ，y =t
k =k +1
k ≥3输出(x ，y )
结束
是否
正(主)视图
11俯视图侧(左)视图
21
()()2log 1f x x +≥的解集是
A ．{}|10x x -<≤
B ．{}|11x x -≤≤
C ．{}|11x x -<≤
D ．{}
|12x x -<≤
8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述 了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确 的是
A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．在()5
2x +的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字作答）
10．已知双曲线()2
2210x y a a
-=>的一条渐近线为30x y +=，则a =
．
11．在极坐标系中，点π23?
? ??
??到直线()
cos 3sin 6ρθθ+=的距离为
．
12．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则
sin 2sin A
C
= ．
13．在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若MN xAB y AC =+，则x =
；
y =
．
14．设函数()()()2142 1.
x a x f x x a x a x ?-
=?--?????≥
①若1a =，则()f x 的最小值为 ；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是
．
A B O
x
y -1
2
2C
三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
15．（本小题13分）已知函数2()cos 222
x x x
f x =-．
(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；
(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．
16．（本小题13分）A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
A 组：10，11，12，13，14，15，16
B 组：12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．
(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；
(Ⅱ) 如果25a =，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(Ⅲ) 当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
17．（本小题14分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=?，O 为EF 的中点．
(Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；
(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值；
(Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．
18．（本小题13分）已知函数()1ln 1x
f x x
+=-．
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当()01x ∈，
时，()323x f x x ??
>+ ??
?； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ??
>+ ??
?对()01x ∈，
恒成立，求k 的最大值．
O F
E C B A
19．（本小题14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>
，点()01P ，
和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；
（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．
20．（本小题13分）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n n
n a a a a a +?=?->?，≤，
，()12n =，，
…． 记集合{}
*|n M a n =∈N ．
（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；
（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．
2015年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）A （2）D （3）B （4）B （5）C （6）C （7）C （8）D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）40 （10
（11）1 （12）1 （13）12 16
- （14）1- [)1,12,2??
+∞????
三、解答题（共6小题，共80分） 15. 解：(Ⅰ) (
)2cos 222
x x x f x =
cos 222
x x =
+-
sin 42x π?
?=+-
??
? 所以()f x 的最小正周期22.T π
πω
=
=
(Ⅱ)
0,x π-≤≤， 3444
x πππ
∴-
≤+≤ 当42
x π
π
+=
，即34
x π
=-
时，()f x 取得极小值。
sin 1,42x π?
?
?∴+
∈-? ??
???， (
)12f x ??
∴∈--???
? 所以()f x 在[],0π-的最小值(
)min 3142f x f π??
=-
=-- ?
??
16. 解：(Ⅰ) 设甲的康复时间不少于14天记为事件A
()1
3173
.7
C P A C ==
所以甲的康复时间不少于14天的概率为3.7
(Ⅱ) 因为25a =，假设乙康复的时间为12天，则符合题意的甲有13天、14天、15天、16天，共4人。
若乙的康复时间为13天，则符合题意的甲有14天、15天、16天，共3人。 若乙的康复时间为14天，则符合题意的甲有15天、16天，共2人。
当乙的康复时间为其它值时，由于甲的康复时间为16天，均不符合题意。 所以符合题意的甲、乙选择法师共计4+3+2+1=10种
而所有甲、乙组合情况共11
7749C C =种
因为所有情况都是等可能的，所以甲的康复时间比乙的康复时间长的概率
1049
P =
(Ⅲ) 11a =或18a =
17. (Ⅰ) 证明：AEF ?是等边三角形，O 为EF 的中点。
AO EF ∴⊥ 又平面AEF ⊥平面EFCB , 平面AEF 平面EFCB EF = AO ?平面AEF AO ∴⊥平面EFCB 又BE ?平面EFCB
AO ∴⊥BE (Ⅱ) 取CB 得中点D ，连接OD
如图分别以,,OE OD OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系
()()()()(
)
0,0,3,,0,0,2,233,0
,0,3,2,233,0
A a E a
B a AE a a EB a a -=-=--
易见平面AEF 的法向量为()10,1,0n = 设平面AEB 的法向量为()2,,n x y z =
()()30
2320
ax az a x a y ?-=??-+-=??
所以(
)
23,1,1n =
- 121212
5
cos ,5
n n n n n n ?∴=
=-
因为二面角F AE B --为钝角，所以它的余弦值为55
-
. (Ⅲ) 由(Ⅰ)知 AO ⊥平面EFCB AO BE ∴⊥ 若BE ⊥平面AOC ， 仅需BE OC ⊥
由(Ⅱ)得()2,233,0BE a a =-- ， ()
2,233,0OC a =-- 0BE OC ?= ，()
2
22423324121230a a
a a a -+-=-+-+=
2
31080a a -+= ， 解得2a =（舍）或43
a =. 18．解：
（Ⅰ）()1ln
,1x f x x +=- ()()22
122
',111x f x x x x -=?=+--
所以切线方程为2y x =.
（Ⅱ）原命题?()0,1,x ?∈ ()320.3x f x x ??
-+> ???
设()()()3ln 1ln 123x F x x x x ??
=+---+ ??
?
()42
2
112'22,111x F x x x x x
=+--=+-- 当()0,1x ∈时，()'F x 0>，
函数()F x 在()0,1x ∈上单调递增。
()()00F x F >= ， 因此()0,1,x ?∈ ()32.x f x x x ??
>+ ???
（Ⅲ）31ln ,13x x k x x ??+>+ ?-?? ()0,1x ∈ ? ()()31ln 0,0,113x x t x k x x x ??
+=-+>∈ ?-?
?
()()()42
22
22'1,0,1,11kx k t x k x x x x +-=
-+=∈-- 所以当[]()0,2,'0.k t x ∈≥ 函数()t x 在()0,1上单调递增， ()()00.t x t >=
当2k >时，令()'0,t x = 解得()4
02
0,1k x k
-=
∈ x
()00,x
0x
()0,1x
()'t x -
0 +
()t x
减
极小值
增
()()000,t x t <= 显然不成立。 综上可知：k 的最大值为2.
19．解：（Ⅰ）由题知：2
222
221c a b a b c ?=???=??=+???
解得2221a b ?=??=??
∴所求的椭圆的方程为2
212
x y +=. ()()0,1,,,P A m n
∴直线PA 的方程为1
1,n y x m
--=
令0y = ，则,1M m x n =
- ,01m M n ??
∴
?-??
（Ⅱ）
()()0,1,,P B m n -
∴直线PB 的方程为11n
y x m
+-=-， 直线PB 与x 轴交于N 令0y = ， 则1N m x n =+， ,01m N n ??
∴
?+??
设()00,Q y
()00
1tan 1m
m
n OQM y n y -∠==- ， ()0
1tan 1y n y ONQ m m n
+∠=
=+
OQM ONQ ∠=∠ ， tan tan OQM ONQ ∴∠=∠
()()00
11y n m n y m +∴=- ， 22
02
,1m y n ∴=- 又
(),A m n 在椭圆上， 22
12
m n ∴-= 2
02,y ∴=
0y ∴= ∴在y
轴存在点(0,,Q 使OQM ONQ ∠=∠。
20. 解：（Ⅰ）12346,12,24,2243612,a a a a ====?-= {}6,12,24.M ∴= （Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数。 由121823618n n n n
n a a a a a +?=?->?，≤，
，()12n =，，… 当n k ≥时，n a 都是3的倍数。
如果1k =，则集合M 的所有元素都是3的倍数。
如果1k >，因为12k k a a -=或1236k k a a -=-， 所以12k a -是3的倍数， 于是1k a -是3的倍数。 类似可得，231,,
k k a a a --都是3的倍数。
综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则M 的所有元素都是3的倍数。
（Ⅲ）若136a =，由121823618n n n n
n a a a a a +?=?->?，≤，
，()12n =，，
…， 可归纳证明36n a =()12n =，，
…，
{}36.M =
因为1a 是正整数，由1122,18
236,18
a a a a a ≤?=?
->?， 所以2a 是2的倍数。
从而当3n ≥时，n a 时4的倍数。
如果1a 是3的倍数，由（Ⅱ）知对所有正整数n ，n a 是3的倍数。 因此当3n ≥时，n a {}12,24,36∈.这时M 的元素个数不超过5. 如果1a 不是3的倍数，由（Ⅱ）知对所有正整数n ，n a 不是3的倍数。
因此当3n ≥时，{}4,8,16,20,28,32.n a ∈这时M 的元素个数不超过8.
当11a =时，{}1,2,4,8,16,20,28,32M =由8个元素。 综上可知：集合M 的元素个数的最大值为8. 法二：