数列中不等式恒成立问题【原卷版】
第二章 数列与不等式
专题09 数列中不等式恒成立问题
【压轴综述】
纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n 项和与第n 项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n 项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．数列中不等式恒成立问题，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一. 主要有两类：一是证明不等式恒成立，二是由不等式恒成立确定参数的值（范围）. 以数列为背景的不等式恒成立问题,或不等式的证明问题,多与数列求和相联系,最后利用函数的单调性求解,或利用放缩法证明.
本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.
(1)数列与不等式的综合问题，如果是证明题，要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式，往往采用因式分解法或穿根法等．
(2)如用放缩法证明与数列求和有关的不等式，一般有两种方法：一种是求和后再放缩；一种是放缩后再求和．放缩时，一要注意放缩的尺度，二要注意从哪一项开始放缩．
【压轴典例】
例1.（2019·浙江高考真题）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每
12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.
（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；
（2
）记,n C n *=
∈N
证明：12+.n C C C n *++<∈N
例2. （2018·浙江高考模拟）数列满足
，
，……，
（1）求，，，的值； （2）求与
之间的关系式
；
（3）求证：
例3. （2019·河南高考模拟（理））已知数列
}{n
b 的前n 项和为n
S
，
2
n n S b +=，等差数列
}{n
a 满足
123
b a =，
157
b a +=
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）证明：122313n n a b a b a b +++
+<.
例4.（2016高考浙江理）设数列{}n a 满足1
12
n n a a +-≤，n *∈N ． （I ）证明：()1
1
2
2n n a a
-≥-，n *∈N ；
（II ）若32n
n a ??≤ ???
，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *
∈N ．
例5.（2019·河北石家庄二中高考模拟（理））已知等比数列{}n a 满足1,23428n n a a a a a +<++=，且32
a +是
24
,a a 的等差中项.
()1求数列{}n a 的通项公式；
()2若1,2
log n n n b a a = 12
···+b n n S b b =++，对任意正整数n ，()10n n S n m a +++<恒成立，试求m 的取值范围.
例6.（2019·江苏高考模拟）已知在数列{a n }中，设a 1为首项，其前n 项和为S n ，若对任意的正整数m ，n 都有不等式S 2m +S 2n ＜2S m+n （m≠n）恒成立，且2S 6＜S 3． （1）设数列{a n }为等差数列，且公差为d ，求
1
a d
的取值范围； （2）设数列{a n }为等比数列，且公比为q （q ＞0且q≠1），求a 1?q 的取值范围． 例7. （2017·高考模拟（理））已知数列{}n a 前n 项和n S ，点()(
)*
,n n S n N ∈在函数2
1
1
2
2
y x x =+
的图象上．
(1)求{}n a 的通项公式；
(2)设数列21n n a a +?
?????
的前n 项和为n T ，不等式1
log (1)3n
a T a >-对任意的正整数恒成立，求实数a 的取值范围．
例8.（2019·天津高考模拟（理））已知单调等比数列{}n a 中，首项为
1
2
，其前n 项和是n S ，且
335441
,,2
a S S a S ++成等差数列,数列{}n
b 满足条件
(n
b 123n
12.a a a a =
(Ⅰ) 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (Ⅱ) 设 1
n n n
c a b =-
,记数列{}n c 的前n 项和 n T . ①求 n T ;②求正整数k ，使得对任意*n N ∈，均有 k n T T ≥.
【压轴训练】
1．(2018·郑州模拟)已知数列{}n a 满足123n a a a a ?=2
n 2(n ∈N *
),且对任意n ∈N *
都有
12111......n
t a a a ++<,则实数t 的取值范围为 ( ) 1.(.)3A +∞ 1.[.)3B +∞ 2.(.)3C +∞ 2
.[.)3
D +∞ 2.（广东省华南师范大学附属中学、广东实验中学、广雅中学、深圳中学2019届高三上期末）等差数列的前n 项和为，
，
，
对一切
恒成立，则的取值范围为__ __.
3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝a 5＋a 6＝25. (1)求{a n }的通项公式；
(2)若不等式2S n ＋8n ＋27＞(－1)n
k (a n ＋4)对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围． 4.(2019·湖北黄冈调研)数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝
n ＋1
2n
a n (n ∈N *)． (1)证明：数列????
??a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n
4n －a n
，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2.
5.(2019·昆明市诊断测试)已知数列{a n }是等比数列，公比q ＜1，前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 3＝7. (1)求{a n }的通项公式；
(2)设m ∈Z ，若S n ＜m 恒成立，求m 的最小值．
6. （2019·临川一中实验学校高考模拟（理））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足
()2212n n n S a a n *+=+∈N ．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）已知对于N n *∈，不等式
123
1111
n
M S S S S ++++
<恒成立，求实数M 的最小值； 7. 在等差数列{a n }中，a 2＝6，a 3＋a 6＝27. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n
3·2
n －1
，若对于一切正整数n ，总有T n ≤m 成立，求实数m 的取值范
围.
8. 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2
＋kn ＋4.
(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *
，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围．
9.（2013·江西卷）正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2
＋n)＝0.
(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令22
1(2)n n n n a b ++＝
，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *
，都有564
n T <. 10.（2016年高考四川理）已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q>0，*n N ∈ .
（Ⅰ）若2322,,2a a a + 成等差数列，求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线22
21n y x a -= 的离心率为n e ，且253e = ，证明：121
433n n
n n e e e --++???+>.
11. 设函数()ln 1f x x px =-+ （1）求函数()f x 的极值点；
（2）当0p >时，若对任意的0x >，恒有()0f x ≤，求p 的取值范围；
（3）证明：222222222ln 2ln 3ln 4ln 21
(,2)2342(1)
n n n n N n n n --+++???+<
∈≥+ 12.(2019·大庆模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )在曲线y ＝12x 2＋5
2
x 上，数列{b n }满足b n ＋b n
＋2
＝2b n ＋1，b 4＝11，{b n }的前5项和为45.
(1)求{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝
1
a n －
b n －
，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＞k
54
恒成立的最大正整数k 的值．
13．（2019·重庆一中高三月考（文））设函数()223(0)x
f x e ax a a =-+>，对于x R ?∈，都有()5f x a
≥成立.
（Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）证明：
*1232
ln(),23n n n en e n N n n n n
+++++++>+∈L （其中e 是自然对数的底数）. 14. 已知函数f(x)＝log k x(k 为常数，k>0且k≠1)，且数列{f(a n )}是首项为4，公差为2的等差数列． (1)求证：数列{a n }是等比数列；
(2)若b n ＝a n ·f(a n )，当k
时，求数列{b n }的前n 项和S n ；
(3)若c n ＝a n lga n ，问是否存在实数k ，使得{c n }中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．
15.（2019·江苏高三月考（理））已知正项数列
中，
用数学归纳法证明：
.
16.（2017·浙江高考模拟）已知无穷数列{}n a 的首项11
2a =，
*1111,2n n n a n N a a +??=+∈ ???
. （Ⅰ）证明： 01n a <<；
（Ⅱ） 记()
2
11
n n n n n a a b a a ++-=
， n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：对任意正整数n ， 3
10
n T <
.