第5讲角含半角模型(原卷版)
中考数学几何模型 5 ：角含半角模型st
模型1：截长补短模型模型
5：
角含半角模型模型9：隐圆模型
模型2：共顶点模型模型6
：
弦图模型模型10：胡不归最值模
型
模型3：对角互补模型模型7
：
轴对称最值模型模型11
：
阿氏圆最值模
型
名师点睛拨开云雾开门见山
模
型：中点模型模型8
：
费马点最值模型模型12：主从联动模型
角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角
模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折
目标三角形法。
类型一：等腰直角三角形角含半角模型
则：BD 2+CE 2=DE 2.
3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作
处理
1）如图，在△ ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90 ，点D，E在BC 上，且∠ DAE=45 ，则：BD 2+CE 2=DE 2.
作法1：将△ ABD 旋转90作法2：分别翻折△ ABD, △ACE 2）如图，在△ ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90 ，点 D 在BC 上，点E在BC 延长线上，且∠DAE=45 图示
（1）
名师点睛 拨开云雾 开门见山
类型二：正方形中角含半角模型
1）如图，在正方形 ABCD 中，点 E ，F 分别在边 BC ，CD 上，∠ EAF=45 °，连接 EF ，过点 A 作 AG ⊥ 于 EF 于点 G ，则： EF=BE+DF ， AG=AD.
C=180 °，点 E ，F 分别在边 BC ， 1
CD 上，∠ EAF= ∠BAD ，连接 EF ， 2
图示
（ 1）
作法：将△ ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°
2）如图，在正方形 ABCD 中，点 E ，F 分别在边 CB ，DC 的延长线上， ∠EAF=45
，连接 EF ，则：EF=DF-BE.
图示（ 2）
作法：将△ ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°
3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形 ABCD 中， AB=AD ，∠ BAD+ ∠ 图示
（ 3）
作法：将△ ABE 绕点 A 逆时针旋转∠ BAD 的大小
则： EF=BE+DF.
典题探究启迪思维探究重点例题 1. 如图，正方形ABCD 的边长为4，点E，F分别在AB，AD 上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF
变式练习>>> 1．如图四边形ABCD 中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E为CD 上一点，且∠
BAE＝45°．若CD ＝4，则△ ABE 的面积为(
B．
C．D．
例题 2. 在正方形 ABCD 中，连接 BD ．
（1）如图 1， AE ⊥ BD 于 E ．直接写出∠ BAE 的度数．
（2）如图 1，在（ 1）的条件下，将△ AEB 以 A 旋转中心，沿逆时针方向旋转 30°后得到△ AB ′E ′，
AB ′与 BD 交于 M ， AE ′的延长线与 BD 交于 N ．
① 依题意补全图 1；
② 用等式表示线段 BM 、 DN 和 MN 之间的数量关系，并证明．
（ 3）如图 2，E 、F 是边 BC 、CD 上的点，△ CEF 周长是正方形 ABCD 周长的一半， AE 、AF 分别与 BD 交于 M 、 N ，写出判断线段 BM 、DN 、MN 之间数量关系的思路．
变式练习 >>>
2. （1）【探索发现】
如图 1，正方形 ABCD 中，点 M 、N 分别是边 BC 、CD 上的点，∠ MAN ＝45°，若将△ DAN 绕点 A 顺时 针旋转 90°到△ BAG 位置，可得△ MAN ≌△MAG ，若△MCN 的周长为 6，则正方形 ABCD 的边长为
3 ． （2）【类比延伸】
如图（ 2），四边形 ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B+∠D ＝180°，点 M 、N 分别在边 BC 、CD 上的点，∠ MAN ＝60°，请判断线段 BM ，DN ，MN 之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】
如图 3，四边形 ABCD 中， AB ＝ AD ＝10，∠ ADC ＝ 120°，点 M ， N 分别在边 BC ，CD 上，连接 AM ，
MN ，△ ABM 是等边三角形， AM ⊥AD ，DN ＝5（ ﹣1），请直接写出 MN 的长．
不必写出完整推理过程）
例题 3. 如图，在四边形 ABCD 中， AB=BC ，∠A=∠C=90°，∠B=135°，K ，N 分别是 AB ，BC 上的点， 若△BKN 的周长为 AB 的 2倍，求∠ KDN 的度数 .
变式练习 >>>
3. 如图，正方形被两条与边平行的线段 EF ，GH 分割成四个小矩形， P 是EF 与 GH 的交点，若矩形
的面积恰是矩形 AGPE 面积的 2 倍，试确定∠ HAF 的大小并证明你的结论 .
PFCH