2018湖南中考数学压轴题汇编_几何综合(解析版)

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2018 年全国各地中考数学压轴题汇编（湖南专版）

几何综合

参考答案与试题解析

1．（ 2018?长沙）如图，在△ ABC中， AD是边 BC上的中线，∠ BAD=∠CAD，CE∥AD， CE 交 BA的延长线于点 E，BC=8，AD=3．

（1）求 CE的长；

（2）求证：△ ABC为等腰三角形．

（3）求△ ABC的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q之间的距离．

（1）解：∵ AD是边 BC上的中线，

∴BD=CD，

∵CE∥AD，

∴AD为△ BCE的中位线，

∴CE=2AD=6；

（2）证明：∵ CE∥AD，

∴∠ BAD=∠E，∠ CAD=∠ ACE，

而∠ BAD=∠CAD，

∴∠ ACE=∠E，

∴AE=AC，

而AB=AE，∴AB=AC，

∴△ ABC为等腰三角形．

（3）如图，连接 BP、 BQ、CQ，

在 Rt△ABD中， AB==5，

设⊙ P 的半径为 R，⊙ Q的半径为 r ，

在 Rt△PBD中，（ R﹣3）2+42=R2，解得 R=，

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∴PD=PA﹣AD=﹣3=，

∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，

∴?r?5 + ?r?8+ ?r?5= ?3?8，解得 r=，

即 QD= ，

∴PQ=PD+QD=+ =．

答：△ ABC的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q之间的距离为．

2．（ 2018?株洲）如图，在Rt△ ABM和 Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和 AD，其中 AM=AN．

（1）求证： Rt△ ABM≌Rt △ AND；

（2）线段 MN与线段 AD相交于 T，若 AT=，求tan∠ABM的值．

解：（ 1）∵ AD=AB， AM=AN，∠ AMB=∠AND=90°

∴R t △ABM≌Rt△ AND（HL）．

（2）由 Rt△ABM≌ Rt△AND易得：∠ DAN=∠BAM，

DN=BM ∵∠ BAM+∠DAM=90°；∠ DAN+∠ADN=90°

∴∠ DAM=∠AND

∴ND∥AM

∴△ DNT∽△ AMT

∴

∵AT=，

∴

∵R t △ABM

∴tan ∠ ABM=．

3．（ 2018?长沙）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．

（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有菱形，正

方形；

②在凸四边形 ABCD中， AB=AD且 CB≠CD，则该四边形不是“十字形”．（填“是”或“不是”）

（2）如图 1，A，B，C，D 是半径为 1 的⊙ O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC与 BD

22

交于点 E，∠ ADB﹣∠ CDB=∠ABD﹣∠ CBD，当 6≤ AC+BD≤ 7 时，求 OE的取值范围；（3）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数， a＞0，c＜

0）与 x 轴交于 A，C 两点（点 A 在点 C 的左侧）， B 是抛物线与 y 轴的交点，点 D 的坐标

为（ 0，﹣ ac），记“十字形” ABCD的面积为 S，记△ AOB，△ COD，△ AOD，△ BOC

的面积分别为 S1，S2， S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；

①=；②=；③“十字形” ABCD的周长为12．

解：（ 1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直，

∴菱形，正方形是：“十字形”，

∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，

∴平行四边形，矩形不是“十字形”，

故答案为：菱形，正方形；

②如图，

当 CB=CD时，在△ ABC和△ ADC中，，

∴△ ABC≌△ ADC（SSS），

∴∠ BAC=∠DAC，

∵AB=AD，

∴AC⊥BD，

∴当 CB≠ CD时，四边形 ABCD不是“十字形”，

故答案为：不是；

（2）∵∠ ADB+∠ CBD=∠ ABD+∠ CDB，∠ CBD=∠CDB=∠CAB，

∴∠ ADB+∠CAD=∠ABD+∠ CAB，

∴180°﹣∠ AED=180°﹣∠ AEB，

∴∠ AED=∠AEB=90°，

∴AC⊥BD，

过点 O作 OM⊥AC于 M，ON⊥BD于 N，连接 OA，OD，

222222

∴OA=OD=1，OM=OA﹣AM，ON=OD﹣ DN， AM= AC，DN= BD，四边形 OMEN是矩形，222

∴ON=ME，OE=OM+ME，

22222

∴OE=OM+ON=2﹣（AC+BD），

22

∵6≤AC+BD≤7，

2

∴2﹣≤OE≤2﹣，

2

∴≤OE≤，

∴（ OE＞0）；

（3）由题意得， A（，0），B（0，c），C（，0），D（0，﹣ac），

∵a＞0，c＜0，

∴OA=，OB=﹣c，OC=，OD=﹣ac，AC=，BD=﹣ac﹣c，

∴S= AC?BD=﹣（ac+c）×，S1=OA?OB=﹣，S2=OC?OD=﹣，S3= OA×OD=﹣，S4=OB×OC=﹣，

∵=+，=+，

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∴+=+，

∴=2，

∴a=1，

∴S=﹣c，S1=﹣，S4=﹣，

∵，

∴S=S1+S2+2，

∴﹣ c=﹣+2，

∴﹣=﹣c?，

∴=，

∴b=0，

∴A（﹣，0）， B（ 0， c）， C（， 0）， d（0，﹣ c），

∴四边形 ABCD是菱形，

∴4AD=12 ，

∴AD=3，

2

即： AD=90，

22

∵AD=c

﹣c，

∴c2﹣ c=90，

∴c=﹣9 或 c=10（舍），

即： y=x2﹣9．

4．（ 2018?湘潭）如图，在正方形ABCD中， AF=BE，AE与 DF相交于点 O．（1）求证：△ DAF≌△ ABE；

（2）求∠ AOD的度数．

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（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ DAB=∠ABC=90°， AD=AB，

在△ DAF和△ ABE中，，

∴△ DAF≌△ ABE（SAS），

（2）由（ 1）知，△ DAF≌△ ABE，

∴∠ ADF=∠BAE，

∵∠ ADF+∠DAO=∠BAE+∠ DAO=∠DAB=90°，

∴∠ AOD=180°﹣（∠ ADF+DAO）=90°．

5．（ 2018?株洲）如图，已知 AB为⊙ O的直径， AB=8，点 C 和点 D 是⊙ O上关于直线AB 对称的两个点，连接 OC、AC，且∠ BOC＜90°，直线 BC和直线 AD相交于点 E，过点C作直线 CG与线段 AB的延长线相交于点 F，与直线 AD相交于点 G，且∠

GAF=∠GCE．（1）求证：直线 CG为⊙ O的切线；

（2）若点 H为线段 OB上一点，连接 CH，满足 CB=CH，

①△ CBH∽△ OBC；

②求 OH+HC的最大值．

解：（ 1）由题意可知：∠ CAB=∠GAF，

∵AB是⊙ O的直径，

∴∠ ACB=90°

∵OA=OC，

∴∠ CAB=∠OCA，