三角函数知识点及例题讲解

三角函数知识点

1.特殊角的三角函数值：

（1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1,

（3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα

αααα

==

）

3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ

αβαβαβααα=±=±???→=

()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2

1cos2sin 2

2tan tan 21tan 令 ＝

＝

αβ

αβαβαβααα

αααβα

αβααβα

αα

αα=±=???→=-↓=-=-±±=

?-↓=

-m m

（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，

2()()αβαβα=+--，22

αβαβ++=?

，()(

)

222αββ

ααβ+=---等）， (2)三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2

α

α-=与升幂

公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。如

(；

(3)常值变换主要指“1”的变换（221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=?

tan sin 42

ππ===L 等），.

。

（4）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ω?=+和

()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2||T π

ω=。如 （5）单调性：()sin 2,222y x k k k Z ππππ?

?=-+∈???

?在上单调递增，在

()32,222k k k Z ππππ??++∈???

?单调递减；cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！

(6)、形如sin()y A x ω?=+的函数：

1几个物理量：A ―振幅；1

f T

=―频率（周期的倒数）；

x ω?+―

相位；?―初相；

2函数sin()y A x ω?=+表达式的确定：A

由周

期确定；?由图象上的特殊点确()sin()(0,0f x A x A ω?ω=+>>，||)2

π?<()f x ＝_____（答：15()2sin()23

f x x π

=+）；

3函数sin()y A x ω?=+图象的画法：①“五点法”――设X x ω?=+，令X ＝0，3,,,222

ππ

ππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

4函数sin()y A x k ω?=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（?>0）或向右（?<0）平移||?个单位得()sin y x ?=+的图象；②函数()sin y x ?=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的

1

ω

，得到函数

()sin y x ω?=+的图象；③函数()sin y x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A

倍，得到函数sin()y A x ω?=+的图象；④函数sin()y A x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ω?=++的图象。要特别注意，若由

()sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图象，则向左或向右平移应平移|

|?

ω

个单位，如 （1）函数2sin(2)14

y x π

=--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？

（答：2sin(2)14y x π=--向上平移1个单位得2sin(2)4y x π

=-的图象，再向左平移

8

π

个单位得2sin 2y x =的图象，横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象，最后将纵坐标缩小到原来的1

2

即得sin y x =的图象）；

★★2.正、余弦定理：在ABC ?中有: ①正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

===（R 为ABC ?外接圆半径） 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =??=??=? ? sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ?

=??

?

=?

?

?

=??

注意变形应用 ②面积公式：111

sin sin sin 222

ABC S abs C ac B bc A ?=

== ③余弦定理： 222222

2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C

?=+-?=+-??=+-? ? 222

222222

cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=??

+-?=???+-=

??

★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

sin y x =

cos y x = tan y x =

函 数 性 质

三角函数例题讲解

例1 已知角的终边上一点P （－

3 ，m ），且sin θ=

2 4

m ，求cos θ与tan θ的值．

分析 已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P 的坐标可知，需求出m 的值，从而应寻求m 的方程．

解 由题意知r=

3＋m 2 ，则sin θ=

m

r = m

3＋m 2

．

又∵sin θ=

2

4m ， ∴ m

3＋m 2

= 2

4 m ． ∴m=0，m=±

5 ．

当m=0时，cos θ= －1 ， tan θ=0 ；

当m= 5 时，cos θ= － 6 4

， tan θ= －

15

3

； 当m= －

5 时，cos θ= －

6 4，tan θ=15

3

．

例2 设θ是第二象限角，且满足｜sin θ2|= －sin θ2 ，θ

2

是哪个象限的角?

解 ∵θ是第二象限角， ∴2k π+ π2＜θ＜2k π+3π

2 ，k ∈Z ．

∴k π+ π4＜θ2＜k π+ 3π

4

，k ∈Z ．

∴θ

2

是第一象限或第三象限角． ①

又∵｜sin θ2|= －sin θ2 ， ∴sin θ2＜0. ∴ θ

2是第三、第四象限的角． ②

由①、②知， θ

2是第三象限角．

第2课 同角三角函数的关系及诱导公式 【讲练平台】

例1 化简 sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π)

cos(π-α)tan(3π-α)

．

分析 式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化． 解 原式= （-sin α）tan α［-cot(α+π) ］ (-cos α)tan(π-α) = (-sin α)tan α(-cot α)

(-cos α)(-tan α)

= sin α·

cos α

sin α

cos α

=1 ．

例2 若sin θcos θ= 18 ，θ∈(π4 ，π

2

)，求cos θ－sin θ的值．

分析 已知式为sin θ、cos θ的二次式，欲求式为sin θ、cos θ的一次式，为了运用条件，须将cos θ－sin θ进行平方．

解

(cos θ－sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ－2sin θcos θ=1－

14 = 3

4

． ∵θ∈(π4 ，π

2)，∴ cos θ＜sin θ．

∴cos θ－sin θ= － 3 2

．

变式1 条件同例， 求cos θ+sin θ的值．

变式2 已知cos θ－sin θ= － 3

2

， 求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值．

例3 已知tan θ=3．求cos 2θ+sin θcos θ的值．

分析 因为cos 2θ+sin θcos θ是关于sin θ、cos θ的二次齐次式，所以可转化成tan θ的式子． 解 原式=cos 2θ+sin θcos θ= cos 2θ+sin θcos θ cos 2θ+sin 2θ = 1+tan θ 1+tan 2θ = 2

5 ．

第3课 两角和与两角差的三角函数（一）

例1 已知sin α－sin β=－ 13 ，cos α－cos β=1

2

，求cos(α－β)的值 ．

分析 由于cos(α－β)=cos αcos β+sin αsin β的右边是关于sin α、cos α、sin β、cos β的二次式，而已知条件是关于sin α、sin β、cos α、cos β的一次式，所以将已知式两边平方．

解 ∵sin α－sin β=－13， ① cos α－cos β= 1

2 ， ②

①2

＋②2

，得2－2cos(α－β)= 13

36

．

∴cos(α－β)=

72

59

． 例2 求 2cos10°-sin20°

cos20°

的值 ．

分析 式中含有两个角，故需先化简．注意到10°=30°－20°，由于30°的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角．

解 ∵10°=30°－20°， ∴原式=2cos(30°-20°)-sin20° cos20°

= 2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)-sin20° cos20°= 3 cos30° cos20°

=

3 ．

点评 化异角为同角，是三角变换中常用的方法． 例3 已知：sin(α+β)=－2sin β．求证：tan α=3tan(α+β)．

分析 已知式中含有角2α+β和β，而欲求式中含有角α和α+β，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角．

解 ∵2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)－α， ∴sin ［(α+β)+α］=－2sin ［(α+β)－α］．

∴sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=－2sin(α+β)cos α+2cos(α+β)sin α． 若cos(α+β)≠0 ，cos α≠0，则3tan(α+β)=tan α．

点评 审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将α+β看成一个整体

第4课 两角和与两角差的三角函数（二） 【讲练平台】

例1 求下列各式的值 （1）tan10°＋tan50°+ 3 tan10°tan50°；

(2)

（

3 tan12°-3）csc12° 4cos 212°-2

．

(1)解 原式=tan(10°+50°)（1－tan10°tan50°）+

3 tan10°tan50°=

3 ．

（2）分析 式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦．

解 原式=

（

3 ·sin12°cos12°－3）1

sin12°

2 cos24° =?

?-?24cos 212sin 312cos 3

=??-?=?

???-?48sin 2

1)

12cos 23

12sin 21(3224cos 12cos 12sin 212cos 312sin 3

=

.3448sin )

6012sin(34-=?

?-?

点评 （1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B)（1－tanAtanB ），asinx+bsinx=2

2

b a +sin(x+φ)的运用；（2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法．

第5课 三角函数的图象与性质（一） 例1 （1）函数y=

x

x sin 21)tan 1lg(--的定义域为

(2)若α、β为锐角，sin α＜cos β，则α、β满足 （C ）

A ．α＞β

B ．α＜β

C ．α+β＜π2

D ． α+β＞π

2

分析 （1）函数的定义域为?

??>>0.2sinx -10,

tanx -1 (*) 的解集，由于y=tanx 的最小正周期为π，

y=sinx 的最小正周期为2π， 所以原函数的周期为2π，应结合三角函数y=tanx 和y=sinx 的图象先求出(－π2， 3π2)上满足（*）的x 的范围，再据周期性易得所求定义域为{x ｜2k π－π2＜x ＜2k π+π

6 ，

或2k π+ 5π6＜ x ＜2k π+5π

4

，k ∈Z} ．

分析（2）sin α、cos β不同名，故将不同名函数转化成同名函数， cos β转化成sin(π

2 －β)，运

用y=sinx 在［0，π

2］的单调性，便知答案为C ．

例4 已知函数f(x)=5sinxcosx －53cos 2x+

2

3

5 (x ∈R) ． (1)求f(x)的单调增区间；

（2）求f(x)图象的对称轴、对称中心． 分析 函数表达式较复杂，需先化简． 解 f(x)= 52sin2x －53×1+cos2x 2＋2

35 =5sin(2x －π

3)．

（1）由2k π－π2≤2x －π3≤2k π+π2，得［k π－π12 ，k π+5π

12］（k ∈Z ）为f(x)的单调增区间．

（2）令2x － π3=k π+π2，得x= k 2π+5π12 （k ∈Z ），则x= k 2π+5π

12 （k ∈Z ）为函数y=f(x)图象

的对称轴所在直线的方程，令2x －π3 =k π，得x=k 2π+π

6 （k ∈Z ），∴ y=f(x)图象的对称中心为点

（k 2π+π

6

，0）（k ∈Z ）．

第6课 三角函数的图象与性质（二）

例2 右图为某三角函数图像的一段

（1）试用y=Asin （ωx+φ)型函数表示其解析式； （2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式． 解：（1）T= 13π3－ π

3 =4π．

∴ω=2πT = 1

2

．又A=3，由图象可知

所给曲线是由y=3sin x

2沿x 轴向右平移 π

3而得到的．

∴解析式为 y=3sin 12 (x －π

3

)．

(2)设（x ，y)为y=3sin(12 x －π

6 ）关于直线x=2π对称的图像上的任意一点，则该点关于直线x=2

π的对称点应为（4π－x ，y)，故与y=3sin(12 x －π6）关于直线x=2π对称的函数解析式是y=3sin ［

1

2（4π－x)－ π6］=－3sin(12 x ＋π

6

）．

x

y

13π

3

π

π3

3 －3

O

点评 y=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象由y=sin ωx 的图象向左平移（φ＞0）或向右平移（φ＜0）|φ|

ω个单位．特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量．求一个函数的图象关于一条直

线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用．

例3 已知函数y=12cos 2x+ 3

2sinxcosx+1 (x ∈R)． (1)当y 取得最大值时，求自变量x 的集合；

（2）该函数图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解 (1)y= 12·1+cos2x 2 + 3 2·12 sin2x +1= 12sin(2x+π6)+ 5

4 ．

当2x+π6 =2k π+π2 ，即x=k π+π6，k ∈Z 时，y max = 7

4

．

(2）由y=sinx 图象左移π6个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的1

2

（纵坐标不变），其次

将图象上各点纵坐标缩短到原来的12（横坐标不变），最后把图象向上平移 5

4

个单位即可．

第7课 三角函数的最值

例1 求函数f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最大值，并求出此时x 的值．

分析 由于f （x ）的表达式较复杂，需进行化简． 解

y=sin 2x+cos 2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2=

2 sin(2x+π

4

)+2

当2x+π4=2k π+π2， 即x=k π+π

8

(k ∈Z)时，y max =

2 +2 ．

点评 要熟练掌握y=asinx+bcosx 类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx= a 2+b 2

sin （x+φ）．

例2 若θ∈［－π12, π12］，求函数y=cos(π

4

+θ）+sin2θ的最小值．