2015年辽宁省大连市高三第一次模拟考试文科数学试题及答案

2015年一模试卷 数 学(文科)

命题人： 安道波 周亚明 张军 李飞 王爽

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 球的体积公式： 343

V R π= ，

第I 卷

一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小

题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） （1）已知集合{11}A x x =-≤≤，{02}B x x =≤≤，则A

B = （ ）

（A ） [1,0]- （B ） [1,0]- （C ） [0,1] （D ） (,1][2,)-∞?+∞ （2）设复数1z i =+（i 是虚数单位），则2z

=（ ）

（A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+ （3）已知1,2a b ==

，且a b ⊥，则||a b +为（ ）

（A ）

2 （B ）

3 （C ） 2 （D ）

22

（4）已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,222a b c bc =+-，4bc =，则△ABC 的面积为

（ ）

（A ）12

（B ）1 （C

）

（D ）2

(5)2x <是2320x x -+<成立的（ ）

（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件

（6）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为

11

12

，则判断框中填写的内容可以是( ) （A ）6n = （B ）6n < （C ）6n ≤ （D ）8n ≤

（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1

粗线画

出的

是某多面体的三视图，则该多面体的体积为

（ ）

（A ）323

（B ）64 （C （D ） 643

（8）函数()2cos()(0)f x x ω?ω=+≠对任意x 都有 ()()4

4f x f x ππ+=

-，则()4

f π

等于( )

（A ）2或0 （B ）2-或2 （C ）0 （D ）2-或0

（9）在平面直角坐标系中，若(,)P x y 满足440

21005220x y x y x y -+≤??+-≤??-+≥?

，

则2x y +的最大值是（ ）

（A ）2 （B ）8 （C ）14 （D ）16 （10）已知抛物线:

C x y 42=的焦点为F ，直线1)y x =-与C 交于

,(A B A 在x 轴上方）两点．若AF mFB =，则m 的值为（ ）

（A

（B ）

3

2

（C ）2 （D ）3 （11) 若关于x 方程log (0,1)

a x

b b a a +=>≠有且只有两个解，则

（ ）

（A ） 1b = （B ）0b = （C ）1b > （D ）

0b >

（12）定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为M

函数，① 对任意的x ，总有()0f x ≥； ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，

则下列函数不是M 函数的是（ ）

（A ）2()f x x = （B ） ()21x f x =- （C ）2()ln(1)f x x =+ （D ）2()1f x x =+

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．

二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）

（13）函数1sin 2

2y x x =+

([0,]2

x π

∈)的单调递增区间是__________，

（14）将高一9班参加社会实践编号为：1，2，3,…，48的48名

学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是 ，

(15) 已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞单调递增，且(1)0f = ，

则不等式(2)0f x -≥的解集是 ， （16）如图，半球内有一内接正四棱锥

S ABCD -，

，则该半球的

体

积

为 .

三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证

明过程或演算步骤) （17）(本小题满分12分)

等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足2

99,9971-=-=+S a a

（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设n

n S b 21=

，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求证：4

3-

>n

T .

(18)(本小题满分12分)

某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：

明）？

(Ⅱ)在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率.

(19)(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝45°，PD ⊥平面ABCD ，PD =AD =1，点E 为AB 上一

点，且

k AB

AE

=，点F 为PD 中点. PEC ；

(Ⅰ)若2

1=k ，求证：直线

AF //平面

(Ⅱ)是否存在一个常数k ，使得平面PED ⊥平面PAB ，若存在，求

出k 的值；若不存在，说明理由，

(20) （本小题满分12分）

已知椭圆C :22

221(0)x y a b a b

+=>>的上顶点为(0,2)，且离心率为2，

(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）证明：过圆222x y r +=上一点00(,)Q x y 的切线方程为200x x y y r +=； （Ⅲ）从椭圆C 上一点P 向圆221x y +=上向引两条切线，切点为,A B ,当直线AB 分别与x 轴、y 轴交于,M N 两点时，求MN 的最小值.

(21)（本小题满分12分） 已知函数23)(ax x x f -=，常数a ∈R .

（Ⅰ）若1a =，过点(1,0)作曲线()y f x =的切线l ，求l 的方程；

（Ⅱ）若曲线)(x f y =与直线1y x =-只有一个交点，求实数a 的取值

范围.

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

(22)（本小题满分10分）选修4－1

如图所示，AB 为圆O 的直径，BC ，CD 圆O 的切线，B ，D 为切点.， （Ⅰ）求证： OC AD //；

（Ⅱ）若圆O 的半径为2，求OC AD ?

(23)（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为?

??+-=+=θθ

sin 24cos 23y x （θ为

参数）

（Ⅰ）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；

（Ⅱ）已知(2,0),(0,2)A B -，圆C 上任意一点),(y x M ，求ABM ?面积的最大值，

(24)（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数()222f x x x =+--． （Ⅰ）求不等式2)(>x f 的解集；

（Ⅱ）若R x ∈?，27()2

f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围．

201５年大连市高三一模测试 数学（文科）参考答案与评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题

（1）C ；（2）A ；（3）B ；（4）C ；（5）A ；（6）C ；（7）D ；（8）B ； （9）C ；（10）D ；（11) B ；（12）D ． 二.填空题

（13）[0,]6

π；（14）17；(15) (,1]

[3,)-∞+∞；（16

）

3

.

三.解答题

（17）解：（Ⅰ）设数列}{n a 的公差为d ，

则由已知条件可得：??

???-=+-=+2993699

6211d a d a ，………………3分

解得?????

-=-

=1

231d a ，于是可求得212+-

=n a n ．………………6分

（Ⅱ）因为2

)2(+-=n n S n ，故)2

1

1(21)2(1+--=+-

=n n n n b n

， (8)

分

于是11111111[(1)()]2233452

n

T

n n =-+++???+-+++???++………………10分

1311

()2212

n n =---++ 又因为211123+-+-n n 23<，所以4

3->n T ， (12)

分

(Ⅱ)甲班1到5号记作,,,,a b c d e ，乙班1到5号记作1,2,3,4,5，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为

Ω={1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5}a a a a a b b b b b c c c c c d d d d d e e e e e ，Ω

由25个基本事件组成，基本事件是等可能的；………………8分 将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作事件A ， 则{1,1,1,1,2,4,5,1,4,5}A a b c d d d d e e e =，………………10分

A 由10个基本事件组成，

所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为

102

()255

P A =

=.…………12分

(19)解：(Ⅰ)证明：作FM ∥CD 交PC 于M . ∵点F 为PD 中点，∴CD FM 2

1=.

∵2

1=k ，

∴

FM AB AE ==

2

1

，又

FM ∥CD ∥AB

∴AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM ， ∵AF PEC EM PEC ??平面，平面，∴直线AF

//

平面PEC . ……………6分

(Ⅱ)存在常数2

2=

k ，使得平面PED ⊥平面PAB ．…………8分

∵

k AB

AE

=，1AB =，2

2=k ，

∴AE =

， 又∵∠DAB ＝45°，

∴AB ⊥DE .

又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AB . 又∵PD DE D ?=，∴AB ⊥平面PDE ，

∵PAB AB 平面?，∴平面PED ⊥平面PAB . …………………12分 (20) 解：(Ⅰ)

2b =

，=2

c e a =

， 4,2a b ∴==

∴椭圆C 方程为22

1164

x y +

=.………………3分

（Ⅱ）当切线的斜率k 存在时，设切线方程为00()y y k x x -=- 又因为00

x k y =-．………………4分

故切线方程为0000

()x y y x x y -=--，200x x y y r ∴+=．………………6分

当k 不存在时，切点坐标为(),0r ±，对应切线方程为x r =±，符合

200x x y y r +=，

综上，切线方程为200x x y y r +=．………………………………7分 （Ⅱ）设点P 坐标为(,)p p x y ，,PA PB 是圆221x y +=的切线，切点

1122(,),(,)A x y B x y ，过点A 的圆的切线为111x x y y +=， 过点B 的圆的切线

为221x x y y +=．

两切线都过P 点，112211p p p p x x y y x x y y ∴+=+=，．

∴切点弦AB 的方程为1p p x x y y +=，由题知0P P x y ≠ ， (9)

分

1(

,0)p M x ∴，1

(0)p

N y ，， 22

2

22221111=164p p p p p p x y MN x y x y ????

∴=++?+ ? ? ? ???

??………………10分

22221111119=+++16416416416p p p p x y y x ?+?≥+=，当且仅当2163

P x =， 283P y =时取等号，3

4

MN

∴≥

，MN ∴的最小值为34

.………………12分

(21) 解：（Ⅰ）设切点

P

为

00(,)

x y ，则

P

处的切线方程为

232

00000(32)()y x x x x x x =--+-．………………2分

该直线经过点(1,0)，所以有232000000(32)(1)x x x x x =--+-，化简得

3200020x x x -+=，

解得00x =或01x =，所以切线方程为0y =和1y x =-.………………4分

（Ⅱ）法一：由题得方程3210x ax x --+=只有一个根，

设32()1g x x ax x =-++，则2'()321g x x ax =--，因为24120,a ?=+>所以'()g x 有两个零点12,x x ，即23210i i x ax --=（1,2i =），

且120x x <，2312i i

x a x -=， (6)

分

不妨设120x x <<，所以()g x 在12(,),(,)x x -∞+∞单调递增，在12(,)x x 单调递减，

1()g x 为极大值，2()g x 为极小值，

方程3210x ax x --+=只有一个根等价于1()0g x >且2()0g x >，或者1()0g x <且2()0g x <，………………8分

又23

2323311

()111(1,2)222

i i i i

i

i i

i i i i x x g x x ax x x x x x i x -=--+=--+=--+=，

设31()12

2

x h x x =--+，所以231'()02

2

h x x =--<，所以()h x 为减函数，

又(1)0h =，所以1x <时()0h x >，1x >时()0h x <，………………10分 所以(1,2)i x i =大于1或小于1，由120x x <<知，(1,2)i x i =只能小于1， 所以由二次函数2'()321g x x ax =--性质可得'(1)3210g a =-->， 所以1a <.………………12分 法二：曲线)(x f y =

与直线1y x =-只有一个交点，等价于关于x 的方

程231ax x x =-+只有一个实根. 显然0x ≠，所以方程2

11a x x

x =-+

只有一个实根. ………………6分

设函数2

11()g x x x x

=-+，则3233

122

'()1x x g x x x x +-=+-=.

设3()2h x x x =+-，2'()310h x x =+>，()h x 为增函数，又(1)0h =.

所以当0x <时，'()0g x >，()g x 为增函数；当01x <<时，

'()0g x <，()g x 为减函数；当1x >时，'()0g x >，()g x 为增函

数；所以()g x 在1x =时取极小值1.………………10分 又当x 趋向于0时，()g x 趋向于正无穷；又当x 趋向于负

无穷时，()g x 趋向于负无穷；又当x 趋向于正无穷时，()g x 趋向于正无穷.

所以()g x 图象大致如图所示： 所以方程2

11

a x x

x =-+

只有一个实根时，实数a 的取值范围为(,1)-∞．…

12分

(22) 解： (Ⅰ)连接,,

BD OD CB 是圆O 的切线，090ABC ∴∠=，

,BOC A DOC ODA ∴∠=∠∠=∠, (2)

分

∵OA OD =,A ODA ∴∠=∠,BOC DOC ∴∠=∠, ∵,OB OD OC OC ==, ……………4分

OBC ODC ∴???,OC ∴平分BCD ∠. (5)

分

(Ⅱ)OD AO =∴, DOC DAO ∠=∠∴,

AB 是直径， 090OBC ADB ∴∠=∠= (7)

分

BAD ∴?∽COD ?，

282AD OC AB OD R ?=?==． (9)

分

2R ∴= ． …………… 10分 (23)解：（Ⅰ）圆C 的参数方程为??

?+-=+=θ

θsin 24cos 23y x （θ为参数）

所以普通方程为4)4()3(22=++-y x . ……………2分

∴圆C 的极坐标方程：021sin 8cos 62=++-θρθρρ. (5)

分

（Ⅱ）点),(y x M 到直线AB 02=+-y x 的距离为……………6分

2

|

9sin 2cos 2|+-=

θθd ……………7分

ABM ?的面积|9)4

sin(22||9sin 2cos 2|||21+-=+-=??=θπ

θθd AB S |

……………9分

所以ABM ?面积的最大值为229+ (10)

分 (24) 解：（Ⅰ）

4,1

()3,124,2x x f x x x x x --<-??

=-≤

， (2)

分

当1,42,6,6x x x x <---><-∴<- 当2212,32,,23

3

x x x x -≤<>>∴<<

当2,42,2,2x x x x ≥+>>-∴≥

综上所述 2|63

x x x ??><-???

?

或 ．……………5分

（Ⅱ）易得min ()(1)3f x f =-=-，若R x ∈?，t t x f 2

11

)(2-

≥恒成立， 则只需2min 7()32

f x t t =-≥-，……………7分

23

2760,22

t t t -+≤≤≤.

综上所述322

t ≤≤． (10)

分