2019-2020学年广东省广州市越秀区八年级(上)期末数学试卷
2019-2020学年广东省广州市越秀区八年级(上)期末数学试卷
一、选择题:本题共有10小题,每小题3分,共30分.每小题给出的四个选项,只有一项是符合题目要求的.
1.(3分)已知一个三角形两边的长分别是2和5,那么第三边的边长可能是下列各数中的(
) A .1
B .2
C .3
D .5
2.(3分)如图,已知ABC BAD ∠=∠,添加下列条件还不能判定ABC BAD ???的是(
)
A .AC BD =
B .B
C A
D =
C .C
D ∠=∠
D .CAB DBA ∠=∠
3.(3分)下列运算正确的是( ) A .224a a a += B .33a a a ÷=
C .235a a a =g
D .246()a a =
4.(3分)要使分式53
x
x +有意义,则x 的取值范围是( ) A .3x ≠-
B .3x ≠
C .0x ≠
D .3x ≠±
5.(3分)下列变形从左到右一定正确的是( )
A .22a a b b -=-
B .a ac b bc
=
C .2
2a a b b
=
D .
ax a bx b
= 6.(3分)如图所示,要使一个六边形木架在同一平面内不变形,至少还要再钉上( )根木条.
A .1
B .2
C .3
D .4
7.(3分)如图,用尺规作出AOB ∠的角平分线OE ,在作角平分线过程中,用到的三角形全等的判定方法是( )
A .ASA
B .SSS
C .SAS
D .AAS
8.(3分)若等腰三角形中的一个外角等于130?,则它的顶角的度数是( ) A .50?
B .80?
C .65?
D .50?或80?
9.(3分)如图,//AD BC ,BG ,AG 分别平分ABC ∠与BAD ∠,GH AB ⊥,5GH =,则AD 与BC 之间的距离是( )
A .5
B .8
C .10
D .15
10.(3分)若a ,b ,c 是ABC ?的三边长,且2220a b c ab ac bc ++---=,则ABC ?的形状是( ) A .等腰三角形 B .等腰直角三角形 C .等边三角形
D .不能确定
二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分.
11.(3分)如果一个多边形的内角和是1800度,它是 边形.
12.(3分)若关于x 的多项式210(x x k k ++为常数)是完全平方式,则k = . 13.(3分)分式
3232a b c 与246a b
a b c
-的最简公分母是 . 14.(3分)若35m =,38n =,则23m n += .
15.(3分)点(3,4)-与点2(a ,2)b 关于y 轴对称,则()()a b a b +-= . 16.(3分)如图,ABC ?是等边三角形,1
3
AD AB =
,点E 、F 分别为边AC 、BC 上的动点,当DEF ?的周长最小时,FDE ∠的度数是 .
三、解答题:本题共9小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(6分)解方程:3111
x
x x =-+-. 18.(8分)计算: (1)32(2)3(2)x x x x ---
(2)2[(2)(2)(2)]4x y x y x y y +--+÷ 19.(8分)分解因式: (1)269a ab ab -+ (2)22()()x x y y y x -+-
20.(6分)如图所示,在ABC ?中,D 是BC 边上一点12∠=∠,34∠=∠,69BAC ∠=?,求DAC ∠的度数.
21.(10分)(1)先化简再求值:2
2
(1)11
x x x -
÷+-,其中3x =-; (2)如果2
210a a +-=,求代数式2
4()2
a a a a --g 的值.
22.(8分)如图,P 是OC 上一点,PD OA ⊥于D ,PE OB ⊥于E .F 、G 分别是OA 、OB 上的点,且PF PG =,DF EG =. (1)求证:OC 是AOB ∠的平分线.
(2)若//PF OB ,且8PF =,30AOB ∠=?,求PE 的长.
23.(8分)如图,在ABC
?中,AB AC
=,90
BAC
∠=?,点P是直线AC上的动点(不和A、C重合),CD BP
⊥于点D,交直线AB于点Q.
(1)当点P在边AC上时,求证:AP AQ
=
(2)若点P在AC的延长线上时,(1)的结论是否成立?若成立,请画出图形(不写画法,画出示意图);若不成立,请直接写出正确结论.
24.(8分)春节前夕,某超市用6000元购进了一批箱装饮料,上市后很快售完,接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料.已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元,
且数量是第一批箱数的4
3
倍.
(1)求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元;
(2)若两批箱装饮料按相同的标价出售,为加快销售,商家决定最后的10箱饮料按八折出售,如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%(不考虑其他因素),那么每箱饮料的标价至少多少元?
25.(10分)如图所示,点O是线段AC的中点,OB AC
⊥,9
OA=.
(1)如图1,若30
ABO
∠=?,求证ABC
?是等边三角形;
(2)如图1,在(1)的条件下,若点D在射线AC上,点D在点C右侧,且BDQ
?是等边三角形,QC的延长线交直线OB于点P,求PC的长度;
(3)如图2,在(1)的条件下,若点M在线段BC上,OMN
?是等边三角形,且点M沿着线段BC从点B运动到点C,点N随之运动,求点N的运动路径的长度.
2019-2020学年广东省广州市越秀区八年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本题共有10小题,每小题3分,共30分.每小题给出的四个选项,只有一项是符合题目要求的.
1.(3分)已知一个三角形两边的长分别是2和5,那么第三边的边长可能是下列各数中的(
) A .1
B .2
C .3
D .5
【解答】解:设第三边的长度为x ,由题意得:
5252x -<<+, 即:37x <<, 只有D 选项在范围内. 故选:D .
2.(3分)如图,已知ABC BAD ∠=∠,添加下列条件还不能判定ABC BAD ???的是(
)
A .AC BD =
B .B
C A
D =
C .C
D ∠=∠
D .CAB DBA ∠=∠
【解答】解:A 、当添加AC BD =时,且ABC BAD ∠=∠,AB BA =,由“SSA ”不能证得
ABC BAD ???,故本选项符合题意;
B 、当添加B
C A
D =时,且ABC BAD ∠=∠,AB BA =,由“SAS ”能证得ABC BAD ???,
故本选项不符合题意;
C 、
当添加C D ∠=∠时,且ABC BAD ∠=∠,AB BA =,由“AAS ”能证得ABC BAD ???,故本选项不符合题意;
D 、
当添加CAB DBA ∠=∠时,且ABC BAD ∠=∠,AB BA =,由“ASA ”能证得ABC BAD ???,故本选项不符合题意; 故选:A .
3.(3分)下列运算正确的是( ) A .224a a a +=
B .33a a a ÷=
C .235a a a =g
D .246()a a =
【解答】解:A 、2222a a a +=,故A 错误;
B 、32a a a ÷=,故B 错误;
C 、235a a a =g ,故C 正确;
D 、238()a a =,故D 错误.
故选:C . 4.(3分)要使分式53
x
x +有意义,则x 的取值范围是( ) A .3x ≠-
B .3x ≠
C .0x ≠
D .3x ≠±
【解答】解:由题意得:30x +≠, 解得:3x ≠-, 故选:A .
5.(3分)下列变形从左到右一定正确的是( )
A .22a a b b -=-
B .a ac b bc
=
C .2
2a a b b
=
D .
ax a bx b
= 【解答】解:A 、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式,分式的值不变,故A 错误;
B 、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式,分式的值不变,错误;
C 、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式,分式的值不变,故C 错误;
D 、分子分母都除以x ,分式的值不变,故D 正确;
故选:D .
6.(3分)如图所示,要使一个六边形木架在同一平面内不变形,至少还要再钉上( )根木条.
A .1
B .2
C .3
D .4
【解答】解:根据三角形的稳定性,要使六边形木架不变形,至少再钉上3根木条; 故选:C .
7.(3分)如图,用尺规作出AOB ∠的角平分线OE ,在作角平分线过程中,用到的三角形
全等的判定方法是( )
A .ASA
B .SSS
C .SAS
D .AAS
【解答】解:在OCE ?和ODE ?中, CO DO EO EO CE DE =??
=??=?
, ()OCE ODE SSS ∴???. 故选:B .
8.(3分)若等腰三角形中的一个外角等于130?,则它的顶角的度数是( ) A .50?
B .80?
C .65?
D .50?或80?
【解答】解:①当130?外角是底角的外角时,底角为:18013050?-?=?, ∴顶角度数是180505080?-?-?=?,
②当130?外角是顶角的外角时,顶角为:18013050?-?=?, ∴顶角为50?或80?.
故选:D .
9.(3分)如图,//AD BC ,BG ,AG 分别平分ABC ∠与BAD ∠,GH AB ⊥,5GH =,则AD 与BC 之间的距离是( )
A .5
B .8
C .10
D .15
【解答】解:作GE AD ⊥于E ,EG 的延长线交BC 于F ,如图,
//AD BC Q ,GE AD ⊥, EF BC ∴⊥,
BG Q ,AG 分别平分ABC ∠与BAD ∠, 5GE GH ∴==,5GF GH ==,
5510EF ∴=+=,
即AD 与BC 之间的距离为10. 故选:C .
10.(3分)若a ,b ,c 是ABC ?的三边长,且2220a b c ab ac bc ++---=,则ABC ?的形状是( ) A .等腰三角形 B .等腰直角三角形 C .等边三角形
D .不能确定
【解答】解:已知等式整理得:2222222220a b c ab ac bc ++---=, 即222222(2)(2)(2)0a ab b a ac c b bc c -++-++-+=, 变形得:222()()()0a b a c b c -+-+-=,
a b c ∴==,
则ABC ?为等边三角形, 故选:C .
二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分.
11.(3分)如果一个多边形的内角和是1800度,它是 12 边形. 【解答】解:这个正多边形的边数是n , 则(2)1801800n -?=?g , 解得:12n =, 则这个正多边形是12. 故答案为:12.
12.(3分)若关于x 的多项式210(x x k k ++为常数)是完全平方式,则k = 25 . 【解答】解:Q 关于x 的多项式210x x k ++是完全平方式,
22210255x x k x x ∴++=++g g , 2525k ∴==, 故答案为:25.
13.(3分)分式
3232a b c 与24
6a b
a b c -的最简公分母是 346a b c . 【解答】解:分式
3232a b c 与246a b a b c
-的最简公分母是34
6a b c , 故答案为:346a b c .
14.(3分)若35m =,38n =,则23m n += 200 . 【解答】解:35m =Q ,38n =, 2223(3)358200m n m n +∴=?=?=.
故答案为:200.
15.(3分)点(3,4)-与点2(a ,2)b 关于y 轴对称,则()()a b a b +-= 1- . 【解答】解:Q 点(3,4)-与点2(a ,2)b 关于y 轴对称,
23a ∴=,24b =, 解得3a =±,2b =±.
()()(32)(32)341a b a b ∴+-=+-=-=-;
或()()(32)(32)341a b a b +-=-+=-=-; 或()()(32)(32)341a b a b +-=-+--=-=-; 或()()(32)(32)341a b a b +-=---+=-=-. 故答案为:1-.
16.(3分)如图,ABC ?是等边三角形,1
3
AD AB =
,点E 、F 分别为边AC 、BC 上的动点,当DEF ?的周长最小时,FDE ∠的度数是 60? .
【解答】解:作D 关于AC 的对称点G ,D 关于BC 的对称点H ,连接GH 交AC 于E 交BC 于F ,
则此时,DEF ?的周长最小,
60A B ∠=∠=?Q ,DG AC ⊥,DH BC ⊥, 30ADG BDH ∴∠=∠=?, 120GDH ∴∠=?, 60H G ∴∠+∠=?, EG ED =Q ,DF HF =, G GDE ∴∠=∠,H HDF ∠=∠, 60HDF GDE ∴∠+∠=?, 60FDE ∴∠=?, 故答案为:60?.
三、解答题:本题共9小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(6分)解方程:
3111
x
x x =-+-. 【解答】解:去分母得:3(1)(1)(1)(1)x x x x x -=+-+-, 解得:2x =,
检验:当2x =时,(1)(1)0x x +-≠, ∴原分式方程的解是2x =.
18.(8分)计算: (1)32(2)3(2)x x x x ---
(2)2[(2)(2)(2)]4x y x y x y y +--+÷ 【解答】解:(1)32(2)3(2)x x x x ---
323836x x x =--+ 3223x x =--;
(2)2[(2)(2)(2)]4x y x y x y y +--+÷ 2222(444)4x y xy x y y =++-+÷ 2(84)4y xy y =+÷
2x y =+.
19.(8分)分解因式: (1)269a ab ab -+ (2)22()()x x y y y x -+-
【解答】解:(1)原式22(169)(13)a b b a b =-+=-; (2)原式222()()()()x x y y x y x y x y =---=-+.
20.(6分)如图所示,在ABC ?中,D 是BC 边上一点12∠=∠,34∠=∠,69BAC ∠=?,求DAC ∠的度数.
【解答】解:12∠=∠Q ,34∠=∠, 而312∠=∠+∠,
341221∴∠=∠=∠+∠=∠,
在ADC ?中,34180DAC ∠+∠+∠=?,
41180DAC ∴∠+∠=?, 169BAC DAC ∠=∠+∠=?Q , 11804169∴∠+?-∠=?, 解得137∠=?,
693732DAC ∴∠=?-?=?.
21.(10分)(1)先化简再求值:2
2
(1)11
x x x -
÷+-,其中3x =-; (2)如果2
210a a +-=,求代数式2
4()2
a a a a --g 的值.
【解答】解:(1)原式1(1)(1)1(1)(1)1
12122
x x x x x x x x x +-+-+--===
++g g , 当3x =-时,原式2=-; (2)2210a a +-=Q ,
221a a ∴+=,
则原式222
24(2)(2)2122
a a a a a a a a a a a -+-===+=--g g .
22.(8分)如图,P 是OC 上一点,PD OA ⊥于D ,PE OB ⊥于E .F 、G 分别是OA 、OB 上的点,且PF PG =,DF EG =. (1)求证:OC 是AOB ∠的平分线.
(2)若//PF OB ,且8PF =,30AOB ∠=?,求PE 的长.
【解答】解:(1)证明:在Rt PFD ?和Rt PGE ?中, PF PG DF EG =??
=?
, Rt PFD Rt PGE(HL)∴???,
PD PE ∴=,
P Q 是OC 上一点,PD OA ⊥,PE OB ⊥,
OC ∴是AOB ∠的平分线. (2)//PF OB Q ,30AOB ∠=?,
30PFD AOB ∴∠=∠=?,
在Rt PDF ?中,11
8422
PE PD PF ==
=?=. 23.(8分)如图,在ABC ?中,AB AC =,90BAC ∠=?,点P 是直线AC 上的动点(不和A 、C 重合)
,CD BP ⊥于点D ,交直线AB 于点Q .
(1)当点P 在边AC 上时,求证:AP AQ =
(2)若点P 在AC 的延长线上时,(1)的结论是否成立?若成立,请画出图形(不写画法,画出示意图);若不成立,请直接写出正确结论. 【解答】解:(1)CD BP ⊥Q
90BAC BDQ ∴∠=∠=?
90Q QBD ∴∠+∠=?,90Q ACQ ∠+∠=?,
QBD ACQ ∴∠=∠,且AB AC =,90BAC QAC ∠=∠=?, ()ABP ACQ ASA ∴??? AP AQ ∴=; (2)成立 理由如下:如图,
CD BP ⊥Q
90BAC BDQ ∴∠=∠=?
90Q QBD ∴∠+∠=?,90Q ACQ ∠+∠=?,
QBD ACQ ∴∠=∠,且AB AC =,90BAC QAC ∠=∠=?, ()ABP ACQ ASA ∴??? AP AQ ∴=;
24.(8分)春节前夕,某超市用6000元购进了一批箱装饮料,上市后很快售完,接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料.已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元,且数量是第一批箱数的
4
3
倍. (1)求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元;
(2)若两批箱装饮料按相同的标价出售,为加快销售,商家决定最后的10箱饮料按八折出售,如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%(不考虑其他因素),那么每箱饮料的标价至少多少元?
【解答】解:(1)该第一批箱装饮料每箱的进价是x 元,则第二批购进(20)x +元, 根据题意,得
600048800
320
x x ?=
+ 解得:200x =
(2)设每箱饮料的标价为y 元,
根据题意,得(304010)0.810(136%)(60008800)y y +-+?++… 解得:296y … 答:至少标价296元.
25.(10分)如图所示,点O 是线段AC 的中点,OB AC ⊥,9OA =. (1)如图1,若30ABO ∠=?,求证ABC ?是等边三角形;
(2)如图1,在(1)的条件下,若点D 在射线AC 上,点D 在点C 右侧,且BDQ ?是等边三角形,QC 的延长线交直线OB 于点P ,求PC 的长度;
(3)如图2,在(1)的条件下,若点M 在线段BC 上,OMN ?是等边三角形,且点M 沿着线段BC 从点B 运动到点C ,点N 随之运动,求点N 的运动路径的长度.
【解答】解:(1)30ABO ∠=?Q ,OB AC ⊥,
60BAO ∴∠=?,
O Q 是线段AC 中点,OB AC ⊥,
BA BC ∴=,又60BAO ∠=?, ABC ∴?是等边三角形;
(2)ABC ?Q 和BDQ ?为等边三角形,
BA BC ∴=,BD BQ =,60BAC ∠=?,60DBQ ∠=?,
ABD CBQ ∴∠=∠, 在BAD ?和BCQ ?中, BA BC ABD CBQ BD BQ =??
∠=∠??=?
, ()BAD BCQ SAS ∴??? 60BCQ BAD ∴∠=∠=?, 60BCA ∠=?Q , 60OCP ∴∠=?, 90POC ∠=?Q , 30OPC ∴∠=?, 218PC OC ∴==;
(3)取BC 的中点H ,连接OH ,连接CN , 则1
2
OH BC BH CH =
==, HOC ∴?为等边三角形,
60HOC OHC ∴∠=∠=?,OH OC =,
当M 在BH 上时,60MON ∠=?,60HOC ∠=?,
MOH NOC ∴∠=∠, 在OMH ?和ONC ?中, OM ON MOH NOC OH OC =??
∠=∠??=?
, ()OMH ONC SAS ∴???, 120OCN OHM ∴∠=∠=?, 当点M 与点B 重合时, 在OBC ?和△N BC '中, 30BO BN OBC N BC BC BC ='??
∠=∠'=???=?
, OBC ∴??△()N BC SAS '
60BCN BCO ∴∠'=∠=?,
120OCN ∴∠'=?,即C 、N 、N '在同一条直线上, 9CN OC ∴'==,
∴点N 从起点到C 作直线运动路径为9,
当M 在HC 上时,OCN ?为等边三角形,
9CN OC ∴==,
∴点N 从C 到终点作直线运动路径长为9
综上所述,N 的路径长度为:9918+=.