勤学早2016年九年级数学(上)第24章《圆》专题一点通(一)圆中的证明与计算(word版有答案)

勤学早九年级数学（上）第24章《圆》专题一点通（一）

圆中的证明与计算

1．如图，AB是⊙O的直径，直线点F、C是⊙O上两点，且弧BC＝弧FC，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D

(1) 求证：CD是⊙O的切线

(2) 若CD＝2，弧AF＝弧FC，求⊙O的半径

2．如图，P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，OC∥AP交PB于C

(1) 求证：AP＝OC＋BC

(2) 若⊙O的半径为4，P A＝8，求BC的长

3．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP、CP

(1) 求△OPC的最大面积

(2) 求∠OCP的最大度数

(3) 如图2，延长PO交⊙O于点D，连接DB．当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线

4．已知AB 是半圆O 的直径，点C 是半圆O 上的动点，点D 是AB 延长线上的动点，在运动过程中，保持CD ＝OA

(1) 当直线CD 与半圆O 相切时（如图1），求∠ODC 的度数

(2) 当直线CD 与半圆O 相交时（如图2），设另一交点为E ，连接AE ，AE ∥OC

① AE 与OD 的大小有什么关系？为什么？

② 求∠ODC 的度数

5．已知四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 与边CD 相切于点E

(1) 如图1，求证：∠ADC ＝2∠CBE

(2) 如图2，若OD ＝6，OC ＝8，求⊙O 的半径

6．已知直线AB 与⊙O 相切于点A ，弦CD ∥AB

(1) 如图1，求证：AC ＝AD

(2) 如图2，E 、F 为⊙O 上两点，且∠CDE ＝∠ADF ．若⊙O 的半径为2

5，CD ＝4，求EF 的长

勤学早九年级数学（上）第24章《圆》专题一点通（二）

圆中的数形结合

1．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－x －5交x 轴于点A ，交y 轴于点B ．如图1，过A 、O 、B 作⊙O 1

(1) 求圆心O 1的坐标

(2) 如图2，点P 是劣弧OB 上一点，连接P A 、PO 、PB ．当点P 在劣弧OB 上（端点除外）运动时，求PO

PB PA -的值 (3) 如图3，线段OB 绕点O 逆时针方向旋转30°到OC ，过A 、O 、C 三点作⊙O 2，点P 是劣弧AO 上一点，连接P A 、PO 、PC ．当点P 在劣弧AO 上（端点除外）运动时，则

PO

PA PC -的值是否发生变化？如果不变化，求其值；如果变化，说明理由

2．如图，已知A ，B 两点的坐标分别为A (32，0)，B (0，2)，点P 是△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP ＝45°

(1) 如图1，求点P 的坐标

(2) 如图2，点Q 是弧AP 上一动点，（不与A 、P 重合），连PQ 、AQ 、BQ ，求PQ

AQ BQ -的值 (3) 如图3，连BP 、AP ，在PB 上任取一点E ，连AE ．将线段AE 绕A 点顺时针旋转90°到AF ，连BF ，交AP 于点G ．当E 在线段BP 上运动时，（不与B 、P 重合），求PG

BE 的值

3．已知在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为2，⊙O 交坐标轴于A 、B 、C 、D 四点

(1) 如图1，点F 是弧BC 的中点，连接FO ，并延长交⊙O 于E ，连接F A 、FD ，求证：FE 平分∠AFD

(1) 知图2，点P 是弧AD 上任意一点（不含A 、D ），连接PC ，过A 作AQ ⊥CP 于Q ，连接OQ 、AP ，求∠OQC 的度数

(3) 如图3，点M 是弧AC 上一动点，连接MA 、MC 、MB 、MD ，求MB MA MC MD ?-2

2的值

勤学早九年级数学（上）第24章《圆》专题一点通（一）

圆中的证明与计算参考答案

1．证明：(1) 连接OC

∵OA ＝OC

∴∠OAC ＝∠OCA

∵弧BC ＝弧FC

∴∠CAF ＝∠CAB

∴∠F AC ＝∠OCA

∴OC ∥AD

∵CD ⊥AF

∴OC ⊥CD

∴CD 是⊙O 的切线

(2) ∵弧AF 弧FC

∴∠F AC ＝∠BAC ＝30°

∴∠OAC ＝∠OCA ＝30°，∠AOC ＝120°

在Rt △ACD 中，AC ＝4，OA ＝

3

34 即⊙O 的半径为334 2．证明：(1) 连接OA 、OB

∵P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B

∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB

过点C 作CD ⊥AP 于D

∴四边形OADC 为矩形

∴OA ＝CD ＝OB

∵OC ∥AP

∴∠OCB ＝∠CPD

在△OCB 和△CPD 中

??

???∠=∠=∠=∠CPD OCB CD

OB CDP OBC ∴△OCB ≌△CPD （ASA ）

∴BC ＝PD

∴AP ＝AD ＋DP ＝OC ＋BC

(2) 由(1)可知，OC ＝PC

设AD ＝OC ＝PC ＝x ，则PD ＝8－x

在Rt △CDP 中，42＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝5

∴BC ＝8－5＝3

3．解：(1) 当OP ⊥OC 时，S △OPC 有最大值为4

(2) 当CP 为⊙O 的切线时，∠OCP 有最大值

∵OP ＝2

1OC ∴∠OCP ＝30°

(3) 连接AP

∵∠AOP ＝∠BOD

∴AP ＝BD

∵CP ＝BD

∴AP ＝CP

∴∠A ＝∠C ＝∠D

在△BDP 和△PCO 中

??

???=∠=∠=OC PD C D PC BD

∴△BDP ≌△PCO （SAS ）

∴∠OPC ＝∠PBD

∵AB 是⊙O 的直径

∴∠PBD ＝90°

∴∠OPC ＝90°

∴CP 是⊙O 的切线

4．解：(1) ∠ODC ＝45°

(2) ① AE ＝OD ，理由如下：

∵AE ∥OC

∴∠OAE ＝∠COD

∵CD ＝OA ＝OE ＝OC

∴△OAE ≌△DCO

∴AE ＝OD

② 设∠ODC ＝α，则∠OAE ＝∠OEA ＝∠COD ＝α ∴∠OCE ＝2α

∵OC ＝OE

∴∠OEC ＝∠OCE ＝2α

在△ADE 中，α＋α＋2α＋α＝180°，α＝30°

5．证明：(1) ∵CB 、CE 是⊙O 的切线

∴CB ＝CE

∴∠CBE ＝∠CEB

设∠CBE ＝∠CEB ＝α，则∠C ＝180°－2α

∵AD ∥BC

∴∠C ＋∠D ＝180°

∴∠D ＝2α

∴∠ADC ＝2∠CBE

(2) r ＝4.8

6．解：(1) 连接AO 并延长交CD 于E

∵AB 与⊙O 相切

∴OA ⊥AB

∵CD ∥AB

∴OE ⊥CD

∴CE ＝DE

∴AE 是线段CD 的垂直平分线

∴AC ＝AD

(2) ∵∠CDE ＝∠ADF

∴∠EDF ＝∠ADC

∴AC ＝EF

连接AO 并延长交CD 于H

∴CH ＝DH ＝2

∵OD ＝

25 ∴OH ＝

23 ∴AH ＝23＋2

5＝4 在Rt △ACH 中，5222=+=AH CH HC

∴EF ＝AC ＝52

1．解：(1) A (－5，0)、B (0，－5)

∴OA ＝OB ＝5

∵∠AOB ＝90°

∴△AOB 为等腰直角三角形

∵O 1为AB 的中点

∴O 1(2

525--，) (2) 过点O 作OC ⊥OP 交AP 于C

∵∠APO ＝∠ABO ＝45°

∴△OCP 为等腰直角三角形

由共顶点等腰三角形的旋转，得△AOC ≌△BOP （SAS ） ∴PB ＝AC ∴2==-PO

PC PO PB PA (3) 在线段CP 上截取CM ＝AP ，连接OM

由旋转可知OC ＝OB

∵OB ＝OA

∴OC ＝OA

在△OAP 和△OCM 中

??

???=∠=∠=CM AP OCM OAP OC OA

∴△OAP ≌△OCM （SAS ）

∴OM ＝OP ，∠COM ＝∠AOP

∵∠AOC ＝∠COM ＋∠AOM ＝∠AOP ＋∠AOM ＝120° ∴3==-PO

PM PO PA PC

2．解：(1) 在Rt △AOB 中，422=+=OB OA AB

连接P A 、PB

∵∠AOP ＝∠BOP ＝45°

∴P A ＝PB

∴△P AB 为等腰直角三角形

∴P A ＝PB ＝22

根据对角互补四边形模型，OA ＋OB ＝2OP

∴OP ＝23

22+

过点P 作PC ⊥x 轴于C

∴OC ＝PC ＝31+

∴P (31+，31+) (2) 2=-PQ

AQ BQ （方法同第1题） (3) 过点F 作FH ⊥AP 于H

根据三垂直模型，得△AEP ≌△F AH （AAS ） ∴PE ＝AH ，∠FHA ＝∠PBP

∵P A ＝PB

∴BE ＝PH

∵△BPG ≌△FHG （AAS ）

∴PG ＝PH

∴BE ＝2PG

3．解：(1) ∵F 为弧BC 的中点

∴FOB ＝FOC

∴∠FOD ＝∠FOA

∵OA ＝OF ＝OD

∴△AOF 、△DOF 均为等腰直角三角形

∴∠OF A ＝∠OFD

∴FE 平分∠AFD

(2) ∵∠AQC ＝90°，∠AOC ＝90°

∴∠OCP ＝∠OAQ （八字型）

过点O 作OE ⊥OQ 交CP 于E

∵∠COE ＋∠AOE ＝90°，∠AOQ ＋∠AOE ＝90° ∴∠COE ＝∠AOQ

在△COE 和△AOQ 中

??

???∠=∠=∠=∠OAQ OCE AO

CO AOQ COE ∴△COE ≌△AOQ （ASA ）

∴OE ＝OQ

∴∠OQC ＝45°

(3) 基本模型的应用

MD ＋MC ＝2MB ，MD －MC ＝2MA ∴222))((22=??=?-+=?-MB MA MB MA MB MA MC MD MC MD MB MA MC MD