中考数学几何复习---最值系列之阿氏圆问题
中考数学几何复习---最值系列之阿氏圆问题
在前面的“胡不归”问题中,我们见识了“kPA+PB”最值问题,其中P 点轨迹是直线,而当P 点轨迹变为圆时,即通常我们所说的“阿氏圆”问题.
所谓“阿氏圆”,是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念,在平面内,到两个定点距离之比等于定值(不为1)的点的集合叫做圆.
如下图,已知A 、B 两点,点P 满足PA :PB=k (k≠1),则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆.
下给出证明
法一:首先了解两个定理
(1)角平分线定理:如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC 的角平分线,则
AB DB
AC DC
=
. F
E
D
C
B
A
证明:ABD ACD
S BD S
CD =
,ABD ACD
S AB DE AB S
AC DF AC ?=
=?,即AB DB
AC DC
=
(2)外角平分线定理:如图,在△ABC 中,外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ,则
AB DB
AC DC
=
. A
B
C
D
E
证明:在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ,连接BD ,则△ACD ≌△AED (SAS ),CD=ED 且AD 平分∠BDE ,则DB AB DE AE =,即AB DB
AC DC
=
.
接下来开始证明步骤:
如图,PA:PB=k,作∠APB的角平分线交AB于M点,根据角平分线定理,MA PA
k
MB PB
==,故M点为定
点,即∠APB的角平分线交AB于定点;
作∠APB外角平分线交直线AB于N点,根据外角平分线定理,NA PA
k
NB PB
==,故N点为定点,即∠APB
外角平分线交直线AB于定点;
又∠MPN=90°,定边对定角,故P点轨迹是以MN为直径的圆.
法二:建系
不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称,设A(-m,0),则B(m,0),设P(
x,y),PA=kPB
,即:
()()
()()()()
22
2222
222222
2
222
2
12210
22
1
x m y k x m k y
k x y m k m x k m
m k m
x y x m
k
++=-+
-+-++-=
+
+-+=
-
解析式满足圆的一般方程,故P点所构成的图形是圆,且圆心与AB共线.
那么这个玩意和最值有什么关系呢?且来先看个例子:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以点C为圆心,2为半径作圆C,分别交AC、BC于D、
E两点,点P是圆C上一个动点,则1
2
PA PB
的最小值为__________.
E
A
B
C
D
P
【分析】这个问题最大的难点在于转化1
2
PA,此处P点轨迹是圆,故转化方法与之前有所不同,如下,提
供两种思路.
法一:构造相似三角形
注意到圆C半径为2,CA=4,连接CP,构造包含线段AP的△CPA,在CA边上取点M使得CM=2,连接
PM,可得△CPA∽△CMP,故PA:PM=2:1,即PM=1
2 PA.
问题转化为PM+PB最小值,直接连BM即可.【问题剖析】
(1)这里为什么是1
2 PA?
答:因为圆C半径为2,CA=4,比值是1:2,所以构造的是1
2
PA,也只能构造
1
2
PA.
(2)如果问题设计为PA+kPB最小值,k应为多少?
答:根据圆C半径与CB之比为2:3,k应为2
3
.
【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例,构造相似转化线段即可解决.
法二:阿氏圆模型
对比一下这个题目的条件,P 点轨迹是圆,A 是定点,我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2,这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛!
已知PA 、圆确定PB
已知PA 、PB 之比确定圆
而且这种问题里,给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等,往往都是搭配好的!
P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上,故所求M 点在AC 边上,考虑到PM :PA=1:2,不妨让P
点
与D 点重合,此时DM=1
2
DA =1,即可确定M 点位置.
如果对这个结果不是很放心,不妨再取个特殊的位置检验一下,如下图,此时PM=3,PA=6,亦满足
PM:PA=1:2.
【小结】法二其实是开了上帝视角,在已知其是阿氏圆的前提下,通过特殊点找出所求M 点位置,虽不够严谨,却很实用.
【练习1】如图,在ABC ?中,∠ACB=90°,BC=12,AC=9,以点C 为圆心,6为半径的圆上有一个动点D .连接AD 、BD 、CD ,则2AD+3BD 的最小值是 .
A
B
C
D
【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ??
+ ???
,故求23AD BD +最小值即可.
考虑到D 点轨迹是圆,A 是定点,且要求构造2
3
AD ,条件已经足够明显.
当D 点运动到AC 边时,DA=3,此时在线段CD 上取点M 使得DM=2,则在点D 运动过程中,始终存在
2
3
DM DA =.
问题转化为DM+DB 的最小值,直接连接BM ,
BM 长度的3倍即为本题答案.
【练习2】如图,已知正方ABCD 的边长为4,圆B 的半径为2,点P 是圆B 上的一个动点,则1
2PD PC
的最大值为_______.
A
B C
D
P
【分析】当P 点运动到BC 边上时,此时PC=2,根据题意要求构造1
2PC ,在BC 上取M 使得此时PM=1,
则在点P 运动的任意时刻,均有PM=1
2
PC ,从而将问题转化为求PD-PM 的最大值.
连接PD ,对于△PDM ,PD-PM <DM ,故当D 、M 、P 共线时,PD-PM=DM 为最大值.