线性变换习题课

七、线性变换习题课

1．复习线性变换的概念

例1 将C看成R上的线性空间，变换是线性的，看成C上的线性空间则不是。

证明：R上：有==

又

故A是R上线性空间C的线性变换。

C上：取及，有，而，故A不是C上线性空间C的线性变换。

由上例，变换A是否为线性变换与所讨论的数域有关。

2．利用运算的意义，运算律推证线性变换的等式，利用线性变换与n阶方阵代数同构解决有关问题。

例2设A,B是线性变换，如果证明：

，（k>0）

证明: 由已知,对k=1结论成立,故考虑用数学归纳法.

对k用归纳法.当k=1时结论成立. K=2时,由已知

=AB=(BA+E)A+A-BA2

=BA2+A+A-BA2=2A 结论成立.

设当k时结论成立,即,也即.

当k+1时,

=ABA k+AkA k-1-BA k+1=(BA+E)A k+kA k-BA k+1

=BA k+1+A k+kA k-BA k+1=(k+1)A k

所以结论对k+1也成立,从而对一切k1成立.

例3设V是数域P上n维线性空间,证明:V的与全体线性变换交换的线性变换是数乘变换.

证明: 需要表达出线性变换,联系到某基下的矩阵.

设令A,B在某基下的矩阵分别为A,B.

因为,所以由得AB=BA.由的任意

性,也是任意的,从而存在某个k使得A=kE为数量阵(P.204,,于是为数量变换.

有了变换乘积,进一步可考虑可逆变换.

3. 系统小结可逆线性变换的的等价条件,并举例说明一些基本论证方法.

A可逆10存在使=E.

A是双射.

A在基下的矩阵A可逆—有限维

例4 设是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换,证明:可逆当且仅当线性无关.

证明:证法一:

“”,,若=0,有B()=0,即=0,=0,即线性无关.

“”线性无关,

因dimV=n,故使得

=A()

令使=()

易见,且,即

又任给设=

有()==

故,从A可逆.

证法二:利用双射

“” A是双射,则0==A()

得0=(0对应0)

故,线性无关.

“”由dimV=n,V的任一向量可由唯一表示,即V中任一向量有唯一(要证明)原像(显然).故A是双射.

证法三:利用矩阵

A可逆A在下的矩阵A可逆

()A也是一组基=n

线性无关

例5设,W1,W2是V的子空间,且,则可逆.

证明:由,有V,可设W1的一组基为, W2的一组