的两个定点； （iii ）当2
2>a 时，方程①也表示椭圆，焦点))21(21,0(2-+a a E 和))21(21,0(2--a a F 为合
乎题意的两个定点.
点评：本题以平面向量为载体，考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。去掉平面向量的背景，我们不难看到，本题即为下题：在△OAP 中，O （0，0）、A （0，a ）为两个定点，另两边OP 与AP 的斜率分别是
(0),2a
a λλλ
≠-，
求P 的轨迹。
而课本上有一道习题（数学第二册（上）第96页练习题4）： 三角形ABC 的两个顶点A 、B 的坐标分别是（-6，0）、（6，0），边AC 、BC 所在直线的斜率之
原创高考语文复习备考资料 碰撞新旧素材发挥新素材最能量
碰撞新旧素材，发挥新素材“最能量”【名师导语】新鲜素材一直是考场上的必备利器。然而，经过几年的高考阅卷，我们也发现，并不是大量地堆积新鲜素材就能夺得高分，反而是那些能将新鲜素材与经典素材结合的文章。更能够获得阅卷者的青睐。而在考场上，很多同学往往只能想起一两则新素材，而能下笔的往往还是旧素材。那么，如果将新鲜的素材和较为陈旧的素材良好地结合在一起，让一两则新素材能发挥最大效用，而旧素材也能焕发新的光彩呢? 在此，笔者就结合近两年的高考作文命题，为大家解读一二。 碰撞方法一 简洁正比+犀利反比 数量提示：新素材一则+旧素材一则 考场优势： 新鲜素材和旧素材各一则，挖掘其共同点构成正比，使文章内容丰富，如果反其道而行之，运用新旧两个相反或相对的素材构成反比，可使文章观点鲜明，是非昭然。 正比-方法指路： 任何事物都处于“关系网”中，从不同角度联系周围事物去思考会得到不同的结论。这就要求考生在考场上根据作文立意要求，抓住新素材和旧素材的共同点，展开论述。人物素材要抓住人物思想、行为在某方面的高度一致性；事件素材，则要找到事件背后的共鸣点。 【考场片段】 那一刻我仿佛明白了，原来，那些看似平淡无奇的东西，有一天也会发出令人惊艳的光芒。就像当年，霍去病年仅17岁，小小年纪，却带着本用来保护他的五百人大败匈奴，成为西汉赫赫有名的常胜将军：又如今朝，山东单县平凡朴实的农民朱之文，或许当他初次踏上那个舞台时，在场所有人都只是抱着随意的态度。谁都没有对他抱太大的希望。而他却不顾别人的眼光，笔直地站到最后，一曲激情澎湃的“滚滚长江东逝水”让他获得了满堂喝彩，也让他走进了全国人民的心中，(节选自2011年高考天津卷优秀作文《透过镜子看世界》) 反比·方法指路 古人说：“无反则正不显”，如果把性质相反的新旧素材加以对照，、推导出它们之间的差异点，不仅会使观点鲜明突出，还能有效地说服读者。 【考场片段】
2020高考数学专题复习-解析几何专题
《曲线的方程和性质》专题 一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程 （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程 （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． 二、高考试题回放 1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A ． 33 B ．32 C ．2 2 D ．23
2．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=2 1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 （ ） A ．2 3 - B ．3 2- C ．4 1 D ．4 5.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两 点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 7．（湖南）如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么 点 P 到右准线 的 距 离 是 （ ）
高考总复习全套完整资料
高考总复习全套完整资料 课题：直线系与对称问题主要知识及方法： 1.点P?a,b?关于x轴的对称点的坐标为?a,?b?；关于y轴的对称点的坐标为??a,b?；关于y?x的对称点的坐标为?b,a?；关于y??x 的对称点的坐标为??b,?a?. 2.点P?a,b?关于直线ax?by?c?0的对称点的坐标的求法：?1?设所求的对称点P 的坐标为?x0,y0?，则PP的中点?’’?a?x0b?y0?,?一定在直线22??ax?by?c?0上. ?2?直线PP’与直线ax?by?c?0的斜率互为负倒数，即y0?b?a???????1 x0?a?b?结论：点P?x0,y0?关于直线l：Ax?By?C?0对称点为?x0?2AD,y0?2BD?，Ax0?By0?C；曲线C：f(x,y)?0关于直线l：Ax?By?C?0的对称曲22A?B22线方程为f?x?2AD,y?2BD??0特别地，当A?B，即l的斜率为?1时，点其中
D??By?CAx0?C?即P?x0,y0?,?P?x0,y0?关于直线l：Ax?By?C?0对称点为??0?，AB??0对称的点为：?y?c关于直线x?y?c?,?x??c?，曲线f(x,y)?0关于x?y?c?0的对称曲线为f?y?c,?x?c???0 3.直线a1x?b1y?c1?0关于直线ax?by?c?0的对称直线方程的求法：①到角相等；②在已知直线上去两点求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程；③轨迹法(相关点法)；④待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，… 4.点?x,y?关于定点?a,b?的对称点为?2a?x,2b?y?，曲线C：f?x,y??0关于定点?a,b?的对称曲线方程为f?2a?x,2b?y??0. 5.直线系方程：?1?直线y?kx?b. ?2?过定点M?x0,y0?的直线系方程为y?y0?k?x?x0?及x?x0 ?3?与直线Ax?By?C?0平行的直线系方程为Ax?By?C1?0 ?4?与直线Ax?By?C?0垂直的直线系方程为Bx?Ay?m?0 ?5?过
考研数学-2011北京大学高等代数与解析几何真题(回忆版)
2011北京大学高等代数与解析几何考研题 1.判断是非,并陈述理由(40分,每题各4分) (1)A 是一个秩为5的矩阵,A 的3、4行线性无关,1、3列也线性无关,那么A 的行列式的一个2阶子式A(3,4;1,3)不等于0 (2)Ax=0的解唯一,则Ax=b 的解也唯一 (3) (4)非零线性变换A,在某组基上的矩阵的对角线上元素均不为0,则A 必有非0特征根 (5)线性变换σ及其共轭转置*σ,证明ker *σσ=ker σ (6) (7)13阶线性空间必有10阶不变子空间. (8)对任意的n,存在多项式p(x)在有理数域上不可约. (9)对角线上元素均不相等的上三角矩阵必可对角化 (10)A 是域F 上的矩阵,且A 可逆,则必存在F 中的数011,,,n a a a -,使得1210121 n n A a I a A a A a A ---=++++ 2.给出4阶矩阵A = 110 0010200120 001?? ? ? ? ?-?? (1)求矩阵的最小多项式. (2)求15A (3)求A 的Jordan 标准型 (4)定义 []1,n i i i i Q A a A a Q =??=∈???? ∑，求这个线性空间的维数。 3.二次型()222 123123122331,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++ (1)求()123,,T f x x x X AX =的矩阵A,特征值,特征向量 (2)A=CDC'要求求C 为正交矩阵D 为对角矩阵，求C 、D 。 (3)在单位球2221231x x x ++=上求二次型()123,,f x x x 的最大最小值 4.同构空间的维数: 设域F 上线性空间W,U,V.他们分别是r,s,t 维的. σ为W 到U 上的线性映射,f 属于Hom(W,U) 证明(1)dimHom(W,U)=rs (2)设* σ为Hom(W,U)到Hom(W,V)上线性映射.则存在单射σ,使 ()()*f w fw σσ=, 其中w W ∈
高三数学解析几何专题复习讲义(含答案解析)
二轮复习——解析几何 一．专题内容分析 解析几何：解析几何综合问题（椭圆或抛物线）及基本解答策略+圆锥曲线的定义和几何性质+直线与圆+极坐标、参数方程+线性规划 二．解答策略与核心方法、核心思想 圆锥曲线综合问题的解答策略： 核心量的选择： 常见的几何关系与几何特征的代数化： ①线段的中点：坐标公式 ②线段的长：弦长公式；解三角形 ③三角形面积： 2 1底×高，正弦定理面积公式 ④夹角：向量夹角；两角差正切；余弦定理；正弦定理面积公式 ⑤面积之比，线段之比：面积比转化为线段比，线段比转化为坐标差之比 ⑥三点共线：利用向量或相似转化为坐标差之比 ⑦垂直平分：两直线垂直的条件及中点坐标公式 ⑧点关于直线的对称，点关于点，直线关于直线对称 ⑨直线与圆的位置关系 ⑩等腰三角形，平行四边形，菱形，矩形，正方形，圆等图形的特征 代数运算：设参、消参 重视基本解题思路的归纳与整理但不要模式化，学会把不同类型的几何问题转化成代数形式．
三．典型例题分析 1.（海淀区2017.4）已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12 . （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设点(4,0)Q , 若点P 在直线4x =上，直线BP 形APQM 为梯形？若存在，求出点P 解法1：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22 143 x y +=. （Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ AP MQ k k =. 设点0(4,)P y ，11(,)M x y ，06 AP y k =，114MQ y k x = -, ∴ 01164y y x =-① ∴直线PB 方程为0(2)2 y y x =-， 由点M 在直线PB 上，则0 11(2)2 y y x = -② ①②联立，0 101(2) 264y x y x -=-，显然00y ≠，可解得11x =. 又由点M 在椭圆上，211143y + =，所以132y =±，即3 (1,)2 M ±， 将其代入①，解得03y =±，∴(4,3)P ±. 解法2：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22 143 x y +=. （Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ 平行, AP MQ k k =， 显然直线AP 斜率存在，设直线AP 方程为(2)y k x =+. 由(2)4y k x x =+??=? ，所以6y k =，所以(4,6)P k ，又(2,0)B ，所以632PB k k k ==. ∴直线PB 方程为3(2)y k x =-，由22 3(2) 34120 y k x x y =-?? +-=?，消y ， 得2222(121)484840k x k x k +-+-=.
高考备考资料精编_话题作文“成熟”写作指导及例文
话题作文“成熟”写作指导及例文 作文专题 1209 1039 话题作文“成熟”写作指导及例文 【作文题目】： 成熟是一种明亮而不刺眼的光辉，一种圆润而不腻耳的音响，一种不再需要对别人察言观色的从容，一种终于停止向别人申诉求告的大气，一种不理会哄闹的微笑，一种洗刷了偏激的淡漠，一种无须声张的厚实，一种并不陡峭的高度。勃郁的豪情发过了酵，尖利的山风吹过了劲，湍急的细流汇成了海。 人成熟的标志是什么?同学们在一起最爱讨论这个问题有的说成熟的标志是稳重大方，有的说是遇事有主见，有的说是会办事，有的说是懂得关心、理解别人，有的说是善于认识自我、否定自我…… 写作提示：中学生正值风华正茂、多思多梦的花季，一方面．渴望独立、成熟，另一方面，对生活和人生的认识又有着不同的见解，所以，这则话题，学生会觉得有话可说。 【写作指导】： 写作本话题至少要注意以下三点：一是审好题。对所给的语段，要细读，要细领会。此文把“成熟”这一抽象的概念，用八个词具体形象地来表达：光辉——明亮而不刺眼，音响——圆润而不腻耳，从容——毋需对别人察言观色，大气——毋需向别人申诉求告，微笑——毋需理会哄闹，淡漠——毋需偏激，厚实——毋需声张，高度——毋需陡峭。并用三个浅显的比喻作了进一步的诠释。可见，“成熟”是我们所渴望的，是我们所肯定的。二是立好意。“成熟”按《现代汉语词典》的解释，其义项有二：一是指植物的果实等完全长成，泛指生物体发育到完备的阶段；一是指事物发展到完善的程度。不论是植物、生物，写作时都要寓含或点明或譬喻人生，从而使这个非常抽象的概念形象化，或用明确的语言揭示其内涵。当然，立意的角度很多。比如以此文所形象化的八种中的一种或几种，所比喻的三种中的一种或几种作为立意角度都是可以的。三是构好思。根据自己对“成熟”的理解．根据自己立意的角度，可以采用杂文技巧、散文笔法、书信手法、戏剧小品等各种形式，写出自己独特的见解，写出自己的个性。 可以用记叙经历或编述故事的形式来诠释“成熟”。从自己或他人的经历中、成长中，写出由不成熟到成熟的过程。 可以通过托物寓意的手法去写。把自己对“成熟”的理解或渴望或追求等意旨寓含在动物、植物的具体描绘之中。 可用议论的形式直接表达对“成熟”的见解。比如可以以“心理上、思想上的成熟”为议论的重点，揭示“成熟”的内涵。 “成熟”是一个比较抽象的概念，考生对这一概念的理解、认识的程度，将决定立论和论证的过程或立意和形象化的过程。构思时应化虚为实，从处世态度、人格、责任、眼光等生活侧面，对“成熟”的内涵做出或严密、或生动的阐发。根据话题材料的提示，可以提炼出以下几个方面的主旨： 1、成熟是坚持不懈地充实自我，是坚持不懈地向成功的人生挺进。 2、成熟是面对诬陷而不失自信，面对恭维而不失清醒。 3、成熟是对无理取闹也能从容、沉着，对突发事件也能镇静、稳重。
《空间解析几何2》教学大纲.
《空间解析几何2》教学大纲 课程编号：12307229 学时：22 学分：1.5 课程类别：限制性选修课 面向对象：小学教育专业本科学生 课程英语译名：In terspace An alytic Geometry （2） 一、课程的任务和目的 任务：本课程要求学生熟练掌握解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向 量代数知识，并解决一些实际问题。深刻理解坐标观念和曲线（面）与方程相对应的观念，熟练掌握讨论空间直线、平面、曲线、曲面的基本方法，训练学生的空间想象能力和运算能力。 目的：通过本课程的学习，使学生掌握《空间解析几何》的基本知识、基本思想及基本方法，培养学生的抽象思维能力及空间想象力，培养学生用代数方法处理几何问题的能力，提高学生从几何直观分析问题和和解决问题的能力。为学习《高等代数》及《数学分析》及后继课程打下坚实基础，为日后胜任小学教学工作而作好准备。 二、课程教学内容与要求 （一）平面与空间直线（14学时） 1.教学内容与要求：本章要求学生熟练掌握平面与空间直线的各种形式的方程，能判别空间有关点、直线与平面的位置关系，能熟练计算它们之间的距离与交角。 2?教学重点：根据条件求解平面和空间直线的方程，及点、直线、平面之间的位置关系 3?教学难点：求解平面和空间直线的方程。 4.教学内容： （1）平面的方程（2课时）：掌握空间平面的几种求法（点位式、三点式、点法式、一般式）。 （2）平面与点及两个平面的相关位置（2课时）：掌握平面与点的位置关系及判定方法；掌握空间两个平面的位置关系及判定方法。 （3）空间直线的方程（2课时）：掌握空间直线的几种求法（点向式、两点式、参数式、一般式、射影式）。 （5）直线与平面的相关位置（2课时）：掌握空间直线与平面的位置关系及判定方法。 （6）空间两直线的相关位置（2课时）：掌握空间两直线的位置关系及判定方法。 （7）空间直线与点的相关位置（2课时）：掌握直线与点的位置关系及判定方法。 （8）平面束（2课时）：掌握平面束的定义（有轴平面束和平行平面束），并能根据题意求平面束的方程。 （二）特殊曲面（8学时）
北京大学数学科学学院硕士研究生入学考试
考试科目编号： 01 数学分析02 高等代数 03 解析几何04 实变函数 05 复变函数06 泛函分析 07 常微分方程08 偏微分方程 09 微分几何10 抽象代数 11 拓扑学12 概率论 13 数理统计14 数值分析 15 数值代数16 信号处理 17 离散数学18 数据结构与算法 01 数学分析（150 分） 考试参考书： 1. 方企勤等，数学分析（一、二、三册）高教出版社。 2. 陈纪修、於崇华、金路，数学分析(上、下册)，高教出版社。 02 高等代数（100 分） 考试参考书： 1. 丘维声,高等代数(第二版) 上册、下册，高等教育出版社，2002年, 2003年。 高等代数学习指导书（上册），清华大学出版社，2005年。 高等代数学习指导书（下册），清华大学出版社，2009年。 2. 蓝以中，高等代数简明教程（上、下册），北京大学出版社，2003年（第一版第二次印刷）。 03 解析几何（50 分） 考试参考书： 1. 丘维声，解析几何（第二版），北京大学出版社，（其中第七章不考）。 2. 吴光磊，田畴，解析几何简明教程，高等教育出版社，2003年。 04 实变函数（50 分） 考试参考书： 1. 周民强，实变函数论，北京大学出版社，2001年。 05 复变函数（50 分）
考试参考书： 1. 方企勤，复变函数教程，北京大学出版社。 06 泛函分析（50 分） 考试参考书： 1. 张恭庆、林源渠，泛函分析讲义（上册），北京大学出版社。 07 常微分方程（50 分） 考试参考书： 1. 丁同仁、李承治，常微分方程教程，高等教育出版社。 2. 王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松，常微分方程（第二版），高等教育出版社。 3. 叶彦谦，常微分方程讲义（第二版）人民教育出版社。 08 偏微分方程（50 分） 考试参考书： 1. 姜礼尚、陈亚浙，数学物理方程讲义（第二版），高等教育出版。 2. 周蜀林，偏微分方程，北京大学出版社。 09 微分几何（50 分） 考试参考书： 1. 陈维桓，微分几何初步，北京大学出版社（考该书第1-6章）。 2. 王幼宁、刘继志，微分几何讲义，北京师范大学出版社。 10 抽象代数（50 分） 考试参考书： 1. 丘维声, 抽象代数基础，高等教育出版社，2003年。 2. 聂灵昭、丁石孙，代数学引论（第一、二、三、四、七章，第八章第1、2、3节），高等教育出版社，2000年第二版。 11 拓扑学（50 分） 考试参考书： 1. 尤承业，基础拓扑学讲义，北京大学出版社，1997年（考该书第１-３章）。 12 概率论（50 分） 考试参考书： 1. 何书元，概率论北京大学出版社, 2006年。 2. 汪仁官，概率论引论北京大学出版社, 1994年。
2020高考专题复习解析几何的万能套路
高考解析几何的万能解题套路 一个套路，几乎解决所有高考解析几何问题！ 在教学中，一直有一个难以解决的悖论：“题海战术”广遭诟病，但似乎要取得好成绩，除了“题海战术”又别无良策。这是因为，我们每次考试面对的题目都不可能一样，大家心照不宣的想法是——通过平时的“题海战术”，也许可以穷尽问题的各种可能。 显然如果我们要穷尽问题的各种可能，是不现实的。为了让学生能真正从题海战术中走出来，事实上，我们可以将以往大量的、零碎的、彼此之间也看似没有多少联系性的某些数学问题，却能通过高度一致的方法获得解决，本文以解析几何为例的一套与高考解析几何演绎体系相对应的“万能解题套路”，几乎把近几年贵州省高考解析几何问题基本上统一了起来！希望对同学有所启发。 一、解析几何万能解题套路 解析几何是法国数学家笛卡儿（1596年～1650年）创立的。笛卡儿在总结前人经验的基础上，创造性地提出了一个划时代的设想——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。正是在这一设想的指引下，笛卡儿创建了解析几何的演绎体系。 以高考解析几何为例： 1、很多高考问题都是以平面上的点、直线、曲线（如圆、椭圆、抛物线、双曲线）这三大类几何元素为基础构成的图形的问题； 2、演绎规则就是代数的演绎规则，或者说就是列方程、解方程的规则。 有了以上两点认识，我们可以毫不犹豫地下这么一个结论，那就是解决高考解析几何问题无外乎做两项工作： 1、几何问题代数化。 2、用代数规则对代数化后的问题进行处理。 至此，整理了近几年来贵州省高考解析几何试题后总结出一套统一的解题套路： 二、高考解析几何解题套路及各步骤操作规则 步骤一：（一化）把题目中的点、直线、曲线这三大类基础几何元素用代数形式表示出来； 口诀：见点化点、见直线化直线、见曲线化曲线。 1、见点化点：“点”用平面坐标系上的坐标表示，只要是题目中提到的点都要加以坐标化； 2、见直线化直线：“直线”用二元一次方程表示，只要是题目中提到的直线都要加以方程化； 3、见曲线化曲线：“曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）”用二元二次方程表示，只要是题目中提到的曲线都要加以方程化； 步骤二：（二代）把题目中的点与直线、曲线从属关系用代数形式表示出来；如果某个点在某条直线或曲线上，那么这个点的坐标就可代入这条直线或曲线的方程。 口诀：点代入直线、点代入曲线。 1、点代入直线：如果某个点在某条直线上，将点的坐标代入这条直线的方程；
高三总复习解析几何专题(师
解析几何专题二 1、已知点P (3，－4)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)渐近线上的一点，E ，F 是左、右两个焦点，若EP →·FP → ＝0， 则双曲线方程为( ) A.x 23－y 24＝1 B.x 24－y 23＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 216－y 2 9 ＝1 2、已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是x y 4±=，则该双曲线的离心率为（ 17 ）． 【解析】因为焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是x y 4±=，所以17,17,42 2===e a c a b 3、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲 线的离心率为 2 5 1+ . 【解析】因为直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，所以 2 1 5,1)(+=-=-?e c b a b 4、若双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，线段21F F 被抛物线2 2y bx = 的焦点分成5 :7的两段，则此双曲线的离心率为（ C ） A ． 9 8 B ． 637 C ． 32 4 D ． 31010 【解析】因为线段21F F 被抛物线2 2y bx = 的焦点分成5:7的两段，所以 4 23,4036,436,622222====e c a c b c b 5、 已知F 是椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆22 214 x y b +=相切 于点Q ，且→ → =QF PQ ，则椭圆C 的离心率为 3 5 ． 提示：设左焦点E ，连接PE ，由圆的切线可得OQ ⊥PF ，而OQ ∥PF ，故PF PE ⊥,2 2 2 4)2(c b a b =-+∴，
高等数学-向量代数与空间解析几何复习
第五章 向量代数与空间解析几何 5.1向量 既有大小又有方向的量 表示：→ -AB 或a （几何表示）向量的大小称为向量的模，记作||AB 、|a |、||a 1． 方向余弦：? ?? ? ??=||,||,||)cos ,cos ,(cos r r r z y x γβα r ＝（x ，y ，z ）,| r |=2 22z y x ++ 2． 单位向量 )cos ,cos ,(cos γβα=→ ο a 模为1的向量。 3． 模 → →→ ?=++=a a z y x a 2 22|| 4． 向量加法（减法） ),,(212121z z y y x x b a ±±±=±→ → 5． a ·b ＝| a |·| b |cos θ212121z z y y x x ++= a ⊥ b ?a ·b ＝0（a ·b ＝b ·a ） 6． 叉积、外积 |a ?b | =| a || b |sin θ= z y x z y x b b b a a a k j i a // b ?a ?b ＝0.( a ?b= - b ?a ) ? 2 1 2121z z y y x x == 7． 数乘：),,(kz ky kx ka a k ==→ → 例1 1||,2||==→ → b a ，→a 与→ b 夹角为3 π ，求||→ →+b a 。 解 22 ||cos ||||2||2)()(||→ →→→ →→→→→→→→→→→ →++=?+?+?=+?+=+b b a a b b b a a a b a b a b a θ 713 cos 12222=+???+= π 例2 设2)(=??c b a ，求)()]()[(a c c b b a +?+?+。 解 根据向量的运算法则 )()]()[(a c c b b a +?+?+
北京大学研究生入学考试——高等代数与解析几何_试题及答案 2复习进程
北京大学2005 数学专业研究生 高等代数与解析几何。 1． 在直角坐标系中，求直线???=++=-+1 20 2:z y x z y x l 到平面03:=++z By x π的正交投影轨迹的方程。 其中B 是常数 解： 可以验证点1212,0, ,,0,5555l π????∈? ? ????? ，从而l π? 把l 写成参数方程：1325x k y k z k =-+?? =-??=? ，任取其上一点:P (13,25,)k k k -+-，设该点到π上的投影为 点' :P (,,)x y z '1331031 x k z k PP x z π+--⊥? =?-+= 30P x By z π∈?++= 整理即知，l 到π上的正交投影轨迹满足方程310 30 x z x By z -+=??++=? 由于 11 31 ≠，上述方程表示一条直线，而2*310B +-=和320B ++=不同时成立，因此l 到π上的正交投影轨迹是一条直线 从而l 到π上的正交投影轨迹的方程就是310 30 x z x By z -+=??++=? 2． 在直角坐标系中对于参数λ的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：022 2 =+++λλxy y x . 对于中心型曲线，写出对称中心的坐标； 对于线心型曲线，写出对称直线的方程。 解： 记T ?? ?=，容易验证'TT E =，因此直角坐标变换* *x x T y y ????=??????????是一个正交变换 在这个变换下，曲线方程变为2 2 **(1)(1)x y λλλ++-=-
1) 1λ<-时，10,10,0λλλ+<->->，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0) 2) 1λ=-时，曲线方程为2 *12 y =，是一对平行直线，是线心型曲线，对称直线为*0y =，即 y x = 3) 10λ-<<时，10,10,0λλλ+>->->，曲线为椭圆，是中心型曲线，对称点为(0,0) 4) 0λ=时，曲线方程为22 **0x y +=，是一个点，是中心型曲线，对称点为(0,0) 5) 01λ<<时，10,10,0λλλ+>->-<，曲线为虚椭圆，是中心型曲线，对称点为(0,0) 6) 1λ=-时，曲线方程为2 *12 x =-，是一对虚平行直线，是线心型曲线，对称直线为*0x =， 即y x =- 7) 1λ>时，10,10,0λλλ+>-<-<，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0) 3． 设数域K 上的n 级矩阵A 的),(j i 元为j i b a - （1）.求A ; (2).当2≥n 时，2121,b b a a ≠≠.求齐次线性方程组0=AX 的解空间的维数和一个基。 解： (1) 若1n =，11||A a b =- 若2n =，111221212122 ||()()a b a b A a a b b a b a b --= =---- 若2n >，111213 121 22 232111211 2 3 ||n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b A a b a b a b a b a b a b a b -----------= -------L L M M O M M K O L 112 111213121 22 232121212111 1 0n n n n n R R n R R n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a a a a a a a a a a a a a a -----------------------= =-------L L M M O M M K O L (2)
平面解析几何高考复习知识点
平面解析几何 高考复习知识点 一、直线的倾斜角、斜率 1、直线的倾斜角： （1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条及x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 及x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0； （2）倾斜角的范围[)π,0。 2、直线的斜率 （1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为 ()212 12 1x x x x y y k ≠--= ； （3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量及直线的斜率有何关系？ （4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。 例题： 例1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变 化范围； 思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围 解析： ∵， ∴． 总结升华： 在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用 在和上是增函
数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立. 类型二：斜率定义 例2．已知△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在 边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB及AC所 在直线的斜率. 思路点拨： 本题关键点是求出边AB及AC所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率. 解析： 如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30° ∴直线AB的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC的倾斜角为30°， ∴k AB=tan150°= k AC=tan30°= 总结升华： 在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角. 类型三：斜率公式的应用 例3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．
高考备考资料精编_对、对于、关于”的区别
对、对于、关于”的区别 论文作文 0322 0810 这三个词都是介词。“对”“和”“对于”都表示指出动作行为所涉及的对象。①在一般情况下，能用“对于”的地方都能改用“对”，如：他对(对于)集体的事情，无论大小，都十分地关心。②由“对”和“对于”组成的介词结构，可以做状语。加“的”以后，也可以做定语。例如：对国际形势进行分析。（状语）对国际形势的分析。（定语）③用“对”和“对于”的时候，有一个谁“对”谁的问题。动作行为的主体要在“对”的前边，客体要在“对”的后边。例如“墨西哥是我们的友好国家，墨西哥的电影对我国的观众并不陌生”，这个句子正相反，应改为“我国观众对墨西哥电影并不陌生”。④不要滥用“对”和“对于”。因为滥用，往往会造成应做主语的词做了介词“对”或“对于”的宾语，句子就缺了主语。例如，“对于那些参与分裂活动的人，当然不能选金领导班子里”，这个句子由于滥用“对于”结果导致了缺主语。应删去了“对于”。但“对”和“对于”又有一些不同的地方： 首先，“对”所保留的动词性较强，当“对”引进动作行为的方向、目标或者含有“对 待”“向”等意思时，“对”不能换成“对于”，如：“老师对我就像对待她的亲生孩子一样”。“他对我说：…你要当心啊!?” 其次，当“对”用在副词之后时，“对”不能换成“对于”。如：“对事不对人。” 再次，“对”多用于口头语体，而“对于”的色彩庄重些，更适合于书面语体。 “关于”是限定、揭示关联到的人或事物范围的介词，当“关于”也具有指出对象时可跟“对于”互换。如：“关于(对于)这个问题的处理意见，没有谁不同意。” 但“对”和“关于”又有明显区别： 第一，指出明确的对象，用“对于”，不用“关于”。如：“对于文化遗产，我们必须研究分析。”表示关涉，用“关于”，不用“对于”，如：“关于牵牛织女星，民间有个美丽的传说。” 第二，“对于”可用在句首，也可以用在句中，而“关于”只用在句首。如“我对于这件事的前因后果非常清楚。”不能说成：“我关于这件事的前因后果非常清楚。” 第三，“关于”有提示性质，用“关于”组成的介词结构，可以单独作文章的题目，如：“关于人生观”“关于散文”。用“对于”组成的介词结构，多作状语，一般不能单独作文章的标题。
高考备考资料精编_关于高度的材料作文例文
关于高度的材料作文例文 作文专题 0508 1016 关于高度的材料作文例文 【作文题目】： 杜甫曰“会当凌绝顶”，苏轼云“高处不胜寒”，林则徐说“山登绝顶我为峰”。关于“高峰”历来众说纷纭，对此，你有何经历或看法?要求①题目自拟：②立意自定；③文体自选；④不得抄袭。 【例文】： 生命的高度 一直认为，生命的高度决定生命的长度。每个人都会死，但并非每个人都真正活过。你的态度决定你的高度。 高峰，历来为人们叹为观止。有志者摩拳擦掌，跃跃欲试，信心满满。因为胸怀“山登绝顶我为峰”的雄志，因为憧憬“会当凌绝顶”的壮阔，他们克服了沿途的陡峭与曲折，迈着坚定的步伐，勇攀生命的高峰。近来风靡全球的3D影片《阿凡达》成为人们口中津津乐道的话题。新的视觉冲击，高清晰的画质，先进的电影技术无不令人拍手称绝。最大功臣当属导演——卡梅隆，从一个普通的司机晋身为电影导演，在《泰坦尼克号》取得巨大成功后却拒绝鲜花与掌声，黯然消失在电影界。因为他有更高的理想。经过数年的劳苦奔波，解决了资金、技术、道具等难题，他立于电影界的巅峰向人们微笑致意，那一刻，他征服了全世界。 每个人的方向不同，到达生命顶峰的途径也有所不同。或许有血有泪，有荆棘丛生的险途，但正是这些经历增加了我们生命的重量，从而砌高我们生命的高度。或许，少了些安逸，但能够让我们变得坚强。 李宁泪洒汉城后默默退出体坛，但他没有停止对自己生命高度的探索。他投身于商界，用品质优良的体育用品造福了体育界，使得“一切皆有可能”的李宁精神深入每个人的内心。刘翔以“亚洲飞人”闻名于世，却在2015年奥运会上，在全世界人民等待中默然离场。在外界的质疑与脚伤的折磨下，他以不言弃，在没有鲜花与掌声的日记里逐渐康复，并以一匹黑马之势再次闯入体坛，再次成为冠军，再次创造奇迹。不同的做法却有着共同的目标，就是攀上自己生命的高峰，虽然过程是如此艰辛。 如此看来，三毛跋涉于荒无人烟的撒哈拉沙漠，寻找生命的绮丽；海子带着春暖花开的希冀，寻找精神的真谛也就更令人深深折服了。 作为一个绝非不谙世事，也无阅历的高中生，我在那些高大熟悉的伟人身边穿梭，看到了他们闪光的一面，鞭策着我不断前进。带着西藏朝圣者虔诚的信仰，带着凤凰浴火重生的涅槃，我开始生命高度的探索。 属于自己的高度便是高峰
高考备考资料精编_学生 语文高考做题法流程
学生语文高考做题法流程 论文作文 1013 2110 【带好表，掌握好时间（分值等于分钟）；审好题，不带任何成见。】 【一卷客观题最好先做，头脑比较清晰，直觉比较好，正确率高。 按照科学时间完成（前5道题8~10分钟完成，文言文阅读5道题15分钟左右完成），过快不保险，过慢则白白浪费时间。有问题的用铅笔在题号前打个点，全卷完成之后再复查，证据足够肯定、充分再改，如果都属于“蒙”的，宁可听从第一次的感觉。】 一、字音： 1、竖向找错排除法：如：先看第一列，有错的选项即被排除，再看第二列、第三列……可以大大提高速度（前提是复习比较充分，否则还是都看一遍比较保险）。 2、小心惯错音：例如：剽窃、剽悍；哄抬、哄抢；哄闹、一哄而散；应届、应用；脾胃、膝盖、脊梁；症结、挫折、标识、兴奋、连累；挑剔、逮捕、冲压、讣告、殷红；抹脸、抹布、泡桐、菌类、果脯、札记；发生口角、混水摸鱼、面目可憎、呱呱坠地…… 3、小心生疏音：例如：裨将、稽首、耄耋、勖勉、戏谑、溃脓、佝偻伛偻、身陷囹圄、虚与委蛇、…… 二、字型： 1、竖向找错排除法（同上） 2、小心惯错字形，不管生字。例如：树阴、安详、歉收、绵里藏针、德高望重、名门望族、金碧辉煌、唉声叹气、一筹莫展、前仆后继、迫不及待、披星戴月…… 3、读准字音、以意推形（成语互文特点）。例如：残无人道（应是“惨”）、目光如聚（应是“炬”） 4、不确定的时候，与其死盯着看，不如只记住读音，自己写出来再对照。（避免先入为主的成见：越常见的字反而越容易看不出来，其实自己肯定会写！）
5、注意两种写法的词： 例如：（1）通用：浑水摸鱼混水摸鱼、详实翔实、翻然悔悟幡然悔悟、名副其实名符其实、鸿福宏富洪福、宏图鸿图弘图、鸿运红运…… （2）词义不同：漫骂谩骂、泄气懈气、激奋激愤、常年长年…… 三、词语辨析（实词、虚词）： 1、语素法：从不同的词素入手，另组词以区别意思。辨析词语要一看词义，二看色彩，三看使用习惯。 2、语境法：一定看句子前后文（如果是段落，一定注意全段意思），选优。 3、找错排除法：从容易的肯定的句子（词）入手，避开难点（有拿不定的是正常情况），确定有错即排除该项。（用不着所有句子都搞清楚！） 四、成语辨析（熟语）： 1、利用文言知识揣摩词义（重点实词、互文现象等） 2、警惕貌似简单的成语，例如：三人成虎、曾几何时、目无全牛…… 3、一定看语境，上下文必有暗示。 4、除词义本身外，还要考虑感情色彩和搭配习惯（能否接宾语？能否搭配否定词、数词？） 五、病句辨析： 1、先看关联词：（1）是否搭配？（无论……还是……都；） （2）与主语位置是否正确？（同一主语，关联词在主语后；不同主语，关联词在主语前。） （3）是否符合句子之间真正的逻辑关系？（原本是并列关系，却滥加转折、递进、因果等。） 2、再找危险词：（1）介词：使、让、经过、通过、对、对于、关于、由于、从……（句首的介词容易造成缺主语。）把、被（语序）；给（歧义） （2）代词：这、他、自己。（后面分句的代词容易发生指代不明的毛病。） （3）数词：①两个、几个、一边一个（容易产生歧异）；
北京大学高等代数和解析几何真题1983——1984年汇总
北京大学数学考研题目 1983年 基础数学、应用数学、计算数学、概率统计专业 2 2 2 202220 0Ax By C z D yz Ezx Fxy A B C +++++=++=一、（分）证明：在直角坐标系中，顶点在原点的二次锥面有三条互相垂直的直母线的充要条件是. 1223112220...1,...2, (1) n n n n n x x x x x x x x x n ++++++=?? +++=????+++=+?二、（分）用导出组的基础解系表出线性方程组的一般解。 121220,,...,()()...()1n n a a a x a x a x a ----三、（分）设是相异整数。证明：多项式在有理数域上不可约。 20000120231001011A ???????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????? 四、（分）用V 表示数域P 上全部4阶矩阵所成的线性空间，A 是V 中的一个矩阵，已知－10，，及10分别是的属于特征值， ， ，－1的特征向量。（1）求A; (2)求V 中与A 可交换的矩阵全体所成的子空间的维数及一组基。 20,A B 五、（分）设是两个n 级正定矩阵。证明：AB 是正定矩阵的充要条件是A 与B 可交换。
1984年 数学各专业 132110: :231003 6 3 x y l z x y z π--==- ++-=一、（分）求直线与平面的交点。 10,,,,a b c a b b c c a ???二、（分）设向量不共面。试证：向量不共面。 15K K K K K K 三、（分）设和为平面上同心的单位（半径＝1）开圆域和闭圆域。（1）取定适当的坐标系，写出和的解析表示式；（2）试在和的点之间建立一个一一对应关系。 {}{}{}{}23231 231 251,,.2,,V R V T V V T T T T T T T T T T εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε--→==+=++111212312311113四、（分）设是实数域上的三维向量空间，，，是的一组基。（）设在线性变换：下，试求在，，中的变换公式；（）求的逆变换在，，中的公式； （3）求在中的公式。 2 220.20 24(2)2 177,.42 20A B A B A B A B =-?? ?=--= ? ?-? ? 五、（分）(1)证明：实矩阵是正定的充要条件为：可找到一个可逆的实对称矩阵,使给定求实对称矩阵，使20(1)((2),n m n m A n m B m n E AB E BA E n E m A B AB BA ??-=-六、（分）设为矩阵，为矩阵。求证：为阶单位矩阵，为阶单位矩阵). 证明：如果为同阶方阵，则与总有相同的特征值（不考虑重数）.
2021年最新高考数学复习-平面向量与解析几何
平面向量与解析几何 在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。 一、知识整合 平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。 二、例题解析 例1、（2000年全国高考题）椭圆14 922=+y x 的焦点为F ,1F 2，
点P 为其上的动点，当∠F 1P F 2为钝角时，点P 横坐标的取值范 围是___。 解：F 1（－5,0）F 2（5,0）,设P （3cos θ,2sin θ） 21PF F ∠ 为钝角 ∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ?=-?-（ =9cos 2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0 解得： 55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是（553,553-） 点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。 例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点，求22PA PB +的最大值和最小值。 分析：因为O 为AB 的中点，所以2,PA PB PO +=故可利用向量把问题转化为求向量OP 的最值。 解：设已知圆的圆心为C ，由已知可得：{1,0},{1,0}OA OB =-= 0,1OA OB OA OB ∴+=?=-又由中点公式得2PA PB PO += 所以222()2PA PB PA PB PA PB +=+-? =2(2) 2()( PO OA OP OB --?- =22422PO OA OB OP -?-+
