2018年全国高考新课标1卷理科数学试题
2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.设z=1-i 1+i
+2i ,则|z|=
A .0
B .1
2 C .1 D .2
解析:选C z=1-i
1+i +2i=-i+2i=i
2.已知集合A={x|x 2-x-2>0},则?R A =
A .{x|-1 B .{x|-1≤x ≤2} C .{x|x<-1}∪{x|x>2} D .{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2} 解析:选B A={x|x<-1或x>2} 3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图: 建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 解析:选A 4.设S n为等差数列{a n}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5= A.-12 B.-10 C.10 D.12 解析:选∵3(3a1+3d)=(2a1+d )+(4a1+6d) a1=2 ∴d=-3 a5=-10 5.设函数f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax ,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 A .y=-2x B .y=-x C .y=2x D .y=x 解析:选D ∵f(x)为奇函数 ∴a=1 ∴f(x)=x 3+x f′(x)=3x 2+1 f′(0)=1 故选D 6.在ΔABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB →= A .34AB → - 14AC → B . 14AB → - 34AC → C .34AB → + 14AC → D . 14AB → + 34 AC → 解析:选A 结合图形,EB →=- 12(BA →+BD →)=- 12BA →-14BC →=- 12BA →-14(AC →-AB →)=34AB → - 14AC → 7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .217 B .2 5 C .3 D .2 解析:选B 所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长 8.设抛物线C :y 2 =4x 的焦点为F ,过点(–2,0)且斜率为2 3 的直线与C 交于M , N 两点,则FM →·FN →= A .5 B .6 C .7 D .8 解析:选 D F(1,0),MN 方程为y=2 3 (x+2),代入抛物线方程解得交点 M(1,2),N(4,4),则FM →=(0,2),FN →=(3,4) ∴FM →·FN →=8 9.已知函数f(x)= ??? ?? e x , x ≤0 lnx ,x>0 ,g(x)=f(x)+x+a .若g (x )存在2个零点, 则a 的取值范围是 A .[–1,0) B .[0,+∞) C .[–1,+∞) D .[1,+∞) 解析:选C g(x)=0即f(x)=-x-a ,即y=f(x)图象与直线y=-x-a 有2个交点,结合y=f(x)图象可知-a<1 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边AB ,AC .△ABC 的三边所围成的区域记为I ,黑色部分记为II ,其余部分记为III .在整个图形中随机取一点,此点取自I ,II ,III 的概率分别记为p1,p2,p3,则 A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3 解析:选A ∵AC=3,AB=4,∴BC=5,∴1 2 AC= 3 2 , 1 2 AB=2 , 1 2 BC= 5 2 ∴以AC和AB为直径的两个半圆面积之和为1 2 ×π×( 3 2 )2+ 1 2 ×π×22= 25 8 π ∴以BC为直径的半圆面积与三角形ABC的面积之差为1 2 ×π×( 5 2 )2- 1 2 ×3× 4=25 8 π-6; ∴两个月牙形(图中阴影部分)的面积之和等于 25 8 π-( 25 8 π-6)=6=ΔABC面积∴p1=p2 11.已知双曲线C:x2 3 - y2 =1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N.若ΔOMN为直角三角形,则|MN|= A.3 2 B.3 C.2 3 D.4 解析:选B 依题F(2,0),曲线C的渐近线为y=± 3 3 x,MN的斜率为3,方程为 y=3(x-2),联立方程组解得M(32,- 3 2 ),N(3, 3),∴|MN|=3 12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A . 334 B .233 C .324 D .3 2 解析:选A 如图正六边形与正方体每条棱缩成角相等。当正六边形过正方体棱的中点时,面积最大 此时正六边形的边长为 22,其面积为6×34×(22)2=33 4 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.若x ,y 满足约束条件???x-2y-2≤0 x-y+1≥0 y ≤0 ,则z=3z+2y 的最大值为_____________. 解析:答案为6 14.记S n 为数列{a n }的前n 项和,若S n =2a n +1,则S 6=_____________. 解析:a 1=-1,n ≥2时,a n =S n -S n-1=2a n-1,a n =-2n-1,S 6=2a 6+1=-64+1=-63 15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不 同的选法共有_____________种.(用数字填写答案) 解析:合条件的选法有C63-C43=16 16.已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是_____________. 解析:由题意可得T=2π是f(x)=2sinx+sin2x的一个周期,故只需考虑f(x) 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:60分。 17.(12分) 在平面四边形ABCD中,∠ADC=900,∠A=450,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB;(2)若DC=22,求BC. 解:(1)在ΔABD 中,由正弦定理得BD sinA =AB sin ∠ADB .由题设知,sin ∠ADB=2 5. 由题设知,∠ADB <900 ,所以cos ∠ADB =23 5 . (2)由题设及(1)知,cos ∠BDC= sin ∠ADB=2 5 . 在ΔBCD 中,由余弦定理得BC 2=BD 2+DC 2-2BD ·DC ·cos ∠BDC=25 所以BC=5. 18.(12分) 如图,四边形ABCD 为正方形,E ,F 分别为AD ,BC 的中点,以DF 为折痕把ΔDFC 折起,使点C 到达点P 的位置,且PF ⊥BF. (1)证明:平面PEF ⊥平面ABFD ; (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 解:(1)由已知可得,BF ⊥PF ,BF ⊥EF ,所以BF ⊥平面PEF. 又BF 平面ABFD ,所以平面PEF ⊥平面ABFD. (2)作PH ⊥EF ,垂足为H.由(1)得,PH ⊥平面ABFD. 以H 为坐标原点,HF →的方向为y 轴正方向,|BF →|为单位长,建立如图所示的空间 直角坐标系H ?xyz. 由(1)可得,DE ⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE= 3.又PF=1,EF=2,故PE ⊥PF. 可得PH=32,EH=32 . 则H(0,0,0),P(0,0, 32),D(-1,- 32,0 ), DP →=(1, 32,32 ), HP →=(0,0, 32 )为平面ABFD 的法向量. 设DP 与平面ABFD 所成角为θ,则sin θ=|DP →·HP →| DP →|·|HP →||=3 4. 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为3 4. 19.(12分) 设椭圆C: x 2 2 + y 2 =1的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于A,B 两点,点M 的坐 标为(2,0). (1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程; (2)设O 为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB. 解:(1)由已知得F(1,0),l 的方程为x=1. 由已知可得,点A 的坐标为(1, 22)或(1,- 22 ). 所以AM 的方程为y= - 22x+2或y= 2 2x- 2. (2)当l 与x 轴重合时,∠OMA=∠OMB =00. 当l 与x 轴垂直时,OM 为AB 的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB. 当l 与x 轴不重合也不垂直时,设l 的方程为y=k(x-1)(k ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1<2,x 2<2,直线MA ,MB 的斜率之和为k MA +k MB =y 1x 1-2+y 2 x 2-2. 由y 1=kx 1-k, y 2=kx 2-k 得k MA +k MB =2kx 1x 2-3k(x 1+x 2)+4k (x 1-2)( x 2-2) 将y=k(x-1)代入x 22 + y 2 =1得(2k 2+1)x 2-4k 2x+2k 2-2=0 所以,x 1+x 2=4k 2 2k 2+1 , x 1x 2=2k 2-2 2k 2 +1 . 则2kx 1x 2-3k(x 1+x 2)+4k =4k 3-4k-12k 3+8k 3+4k 2k 2+1 =0 从而k MA +k MB =0,故MA ,MB 的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB. 综上,∠OMA=∠OMB. 20.(12分) 某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不 合格品的概率都为p(0 (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验 解:(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C202p2(1-p)18. 因此f′(p)= C202[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2 C202p(1-p)17(1-10p) 令f′(p)=0,得p=.当p∈(0,时,f′(p)>0;当p∈,1)时,f′(p)<0. 所以f(p)的最大值点为p0=. (2)由(1)知,p=. (i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,,X=40+25Y, 所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=40+25×180×=490. (ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX>400,故应该对余下的产品作检验. 21.(12分) 已知函数f(x)= 1 x - x+alnx . (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)存在两个极值点x 1,x 2,证明:f(x 1)-f(x 2) x 1-x 2 解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= - 1x 2-1+a x =- x 2-ax+1 x 2 . (i )若a ≤2,则f′(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时f′(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)单调递减. (ii )若a>2,令f′(x)=0得,x=a-a 2-42或x=a+a 2-4 2 . 当x ∈(0, a-a 2-42)∪(a+a 2-4 2,+∞)时,f′(x)<0; 当x ∈(a-a 2-42,a+a 2-4 2 )时,f′(x)>0. 所以f(x)在(0, a-a 2-42)、(a+a 2-42,+∞)单调递减,在(a-a 2-42,a+a 2-4 2) 单调递增. (2)由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a>2. 由于f(x)的两个极值点x 1,x 2满足x 2-ax+1=0,所以x 1x 2=1,不妨设x 1 1 x 2-x 2, 所以f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2 –x 2+2lnx 2<0. 设函数g(x)= 1 x - x+2lnx ,由(1)知,g(x)在(0,+∞)单调递减, 又g(1)=0,从而当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0. 所以1x 2–x 2+2lnx 2<0,即f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2 (二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修4–4:坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系xoy 中,曲线C 1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C 2的直角坐标方程; (2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点,求C 1的方程. 解:(1)C 2的直角坐标方程为(x+1)2+y 2=4. (2)由(1)知C 2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆. 由题设知,C 1是过点B(0,2)且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为l 1,y 轴左边的射线为l 2. 由于B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点. 当l 1与C 2只有一个公共点时,A 到l 1所在直线的距离为2,所以|-k+2|k 2+1=2,故k= - 4 3 或k=0. 经检验,当k=0时,l 1与C 2没有公共点;当k= - 4 3时,l 1与C 2只有一个公共点, l 2与C 2有两个公共点. 当l 2与C 2只有一个公共点时,A 到l 2所在直线的距离为2,所以|k+2| k 2 +1 =2,故k=0或k=- 4 3 . 经检验,当k=0时,l 1与C 2没有公共点;当k= 4 3时,l 2与C 2没有公共点. 综上,所求C 1的方程为y= - 4 3|x|+2. 23.[选修4–5:不等式选讲](10分) 已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集; (2)若x ∈(0,1)时不等式f(x)>x 成立,求a 的取值范围. 解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)= ? ??-2 x<-1 2x -1≤x ≤1 2 x>1 故不等式f(x)>1 的解集为(1 2 ,+∞). (2)当x ∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax-1|<1成立. 若a ≤0,则当x ∈(0,1)时|ax-1|≥1; 若a>0,|ax-1|<1的解集为(0, 2a ),所以2 a ≥1,故(0,2]. 综上,a 的取值范围为(0,2].