数学阶段滚动检测(三)

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阶段滚动检测(三)

第一～六章

(120分钟 150分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.(滚动交汇考查)已知集合M=,N={y|y=ln(1+x2)},则M∩N=( )

A.(-∞,-1)

B.(0,+∞)

C.(4,+∞)

D.(0,4)

2.(滚动单独考查)设复数z=x+yi(x∈R,y∈R),且满足(3+z)(2-i)=1+2i(i为虚数单位),则x-y的值为( )

A.-4

B.4

C.-2

D.2i

3.(2014·荆州模拟)已知数列{a n}满足a1=2,a2=1,=+,则a10=( )

A. B. C. D.

4.(滚动交汇考查)函数y=x2-x+2在[a,+∞)上单调递增是函数y=a x为单调递增函数的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

5.(2014·黄冈模拟)设函数f(x)=x2+x+a(a>0)满足f(m)<0,则f(m+1)的符号是

( ) A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0

C.f(m+1)>0

D.f(m+1)<0

6.(滚动单独考查)若向量=(3,4),d=(-1,1),且d·=5,那么d·=( )

A.0

B.-4

C.4

D.4或-4

7.(2014·鄂州模拟)已知x+3y=2,则3x+27y的最小值为( )

A.6

B.3

C.2

D.4

8.(2014·宜昌模拟)已知整数的数对排列如下：(1,1),(1,2),(2,1),(1,3), (2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,则第60个数对是

( )

A.(3,8)

B.(4,7)

C.(4,8)

D.(5,7)

9.(滚动单独考查)设sinα=,tan(π-β)=,则tan(α-

2β)=( )

A.-

B.-

C.

D.

10.(2014·厦门模拟)若实数x,y满足且z=2x+y的最小值为3,则实数b的值为( )

A. B. C. D.2

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把准确答案填在题中横线上)

11.(2014·上饶模拟)若集合A={x|ax2-ax+1<0}= ,则实数a的取值范围是 .

12.(2014·武汉模拟)已知命题p：对任意x∈R,存有m∈R,使4x-2x+1+m=0.若命

题p是假命题,则实数m的取值范围是 .

13.(2014·泉州模拟)已知区域D是由不等式组所确定的,则圆x2+y2=4在区域D内的面积等于 .

14.已知各项为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5,若存有两项a m,a n使得

=4a1,则+的最小值为________.

15.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按图所标边长,由勾股定理有：c2=a2+b2.设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN,如果用S1,S2,S3表示三个侧面面积,S4表示截面面积,那么你类比得到的结论是 .

三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(12分)(滚动交汇考查)(2014·大庆模拟)设△ABC中的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且cosB=,b=2.

(1)当a=时,求角A的度数.

(2)求△ABC面积的最大值.

17.(12分)(滚动单独考查)(2014·聊城模拟)已知函数f(x)=-(a>0且a≠1),

(1)证明：函数y=f(x)的图象关于点对称.

(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.

18.(12分)(2014·济南模拟)某地方政府准备在一块面积充足大的荒地上建一个如图所示的矩形综合性休闲广场,其总面积为3000平方米,其中场地四周(阴影部分)为通道,通道宽度均为2米,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同),塑胶运动场地占地面积为S平方米.

(1)分别写出用x表示y和用x表示S的函数关系式(写出函数定义域).

(2)怎样设计能使S取得最大值,最大值为多少?

19.(12分)(2014·安庆模拟)已知数列{a n}的各项均为正数,其前n项和为S n,且

a n=2-1,n∈N*,数列{

b n}是首项为1,公比为的等比数列.

(1)求证：数列{a n}是等差数列.

(2)若c n=a n b n,求数列{c n}的前n项和T n.

20.(13分)(2014·宜丰模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n,其中a n=且a1=.

(1)求a2,a3.

(2)猜想数列{a n}的通项公式,并用数学归纳法加以证明.

21.(14分)(滚动单独考查)(2014·临沂模拟)已知平面向量a=(,-1),b=.

(1)证明：a⊥b.

(2)若存有实数k,t,使x=a+(t2-3)b,y=-k a+t b,且x⊥y,试求k,t的函数关系式k=f(t).

(3)根据(2)的结论,讨论关于t的方程f(t)-m=0的解的情况.

答案解析

1.C 由已知得M={x|x2-3x-4>0}={x|x<-1或x>4},N={y|y≥0},故M∩N={x|x>4}.

2.A 因为3+z===i,

所以z=-3+i,

所以x=-3,y=1,

所以x-y=-3-1=-4.

3.D 由等差中项可知是等差数列,

且首项为,公差d=-=,

所以=+(n-1)×=,

所以a n=,所以a10=.

4.B 由已知y=x2-x+2的对称轴为x=,开口向上,故在上单调递增,故a ≥,推不出y=a x是递增函数.反之y=a x单调递增,则a>1,显然y=x2-x+2在

[a,+∞)上单调递增,故选B.

5.C 因为函数f(x)图象的对称轴是x=-,f(0)=a>0,所以由f(m)<0得-10,故f(m+1)>f(0)>0.

6.C d·=(-1,1)·(3,4)=(-1)×3+1×4=1,所以d·

=d·(-)=d·-d·=5-1=4.选C.

7.A 3x+27y=3x+33y≥2=2=6,当且仅当3x=33y,即x=3y=1时等号成立.

8.【思路点拨】看数对的和的特点及数对的排列方式可解.

D 和为n+1的数对有n个,和相同的数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排列的,则n=10时,=55个数对,还差5个数对,且这5个数对的横、纵坐标之和为12,它们依次是(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),所以第60个数对是

(5,7).

9.D 因为sinα=,

α∈,

所以cosα=-,

所以tanα=-.

又因为tan(π-β)=,

所以tanβ=-,

所以tan2β==-,

所以tan(α-2β)=

==.

【方法技巧】条件求值的一般思路

(1)先化简所求式子或所给条件.

(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).

(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.

10.【思路点拨】画出可行域及目标函数图象,观察确定经过的点可解.

B 在坐标平面内画出不等式组

表示的大致平面区域,在坐标平面内平移直线2x+y=0,注意到当直线平移到经过直线2x-y=0与y=-x+b的交点时,目标函数z=2x+y取得最小值,再结合z=2x+y的最小值为3,分析确定b=.

11.【解析】由题意知,a=0时,满足条件;a≠0时,则a>0,且Δ=a2-4a≤0,解得0

答案：[0,4]

12.【解析】令t=2x,t>0.则-m=t2-2t=(t-1)2-1≥-1,所以m≤1.

答案：(-∞,1]

13.【思路点拨】关键是求出平面区域被圆截得的弧所对应的圆心角的弧度数,能够根据边界直线的斜率得到倾斜角,再求出圆心角的大小.

【解析】画出可行域如图,依题意可知,

tan∠AOx=,tan∠BOx=,于是tan∠AOB==1,所以∠AOB=.

又圆的半径等于2,所以弧长l=×2=.

所以S=l R=××2=.

答案：

14.【思路点拨】求出数列{a n}的公比,由等比数列的性质得到m,n的关系式,再利用常值代换,使用基本不等式求最值.

【解析】设{a n}的公比为q,则有a5q2=a5q+2a5,即q2-q-2=0,解得q=2(q=-1舍去).

由=4a1可得

a m·a n=16=(a1·q2)2=,

所以m+n=6.

于是+=(m+n)=≥,当且仅当=,即m=2,n=4时,+取最小值.

答案：

15.【解析】由直角三角形中勾股定理即a2+b2=c2可得边类比面.则有

++=.

答案：++=

16.【解析】(1)因为cosB=,

所以sinB=.

因为a=,b=2,

由正弦定理=,

可得sinA=.

因为a

所以A=30°.

(2)因为△ABC的面积S=acsinB=ac,

所以当ac最大时,△ABC的面积最大.

因为b2=a2+c2-2accosB,

所以4=a2+c2-ac.

因为a2+c2≥2ac,

所以2ac-ac≤4,

所以ac≤10(当且仅当a=c=时,等号成立),

所以△ABC面积的最大值为3.

【加固训练】(2013·青岛模拟)已知a=(sinx,-cosx),b=(cosx,cosx),函数f(x)=a·b+.

(1)求f(x)的最小正周期,并求其图象对称中心的坐标.

(2)当0≤x≤时,求函数f(x)的值域.

【解析】(1)f(x)=sinxcosx-cos2x+

=sin2x-(cos2x+1)+

=sin2x-cos2x

=sin,

所以f(x)的最小正周期为π.

令sin=0,

得2x-=kπ(k∈Z),

所以x=+(k∈Z).

故所求对称中心的坐标为(k∈Z).

(2)因为0≤x≤,

所以-≤2x-≤,

所以-≤sin≤1,

即f(x)的值域为.

17.【解析】(1)函数f(x)的定义域为全体实数,任取一点(x,y),它关于点

对称的点的坐标为(1-x,-1-y).

由已知得y=-,

则-1-y=-1+=-,

f(1-x)=-

=-=-

=-,

所以-1-y=f(1-x),

即函数y=f(x)的图象关于点对称.

(2)由(1)有-1-f(x)=f(1-x),

即f(x)+f(1-x)=-1.

所以f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1. 则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.

18.【解析】(1)由已知xy=3000,2a+6=y,

则y=(6

S=(x-4)a+(x-6)a

=(2x-10)a

=(2x-10)·

=(x-5)(y-6)

=3030-6x-(6

(2)S=3030-6x-

≤3030-2

=3030-2×300=2430(平方米),

当且仅当6x=,即x=50时,“=”成立,

此时x=50,y=60,S max=2430.

即设计x=50米,y=60米时,运动场地面积最大,最大值为2430平方米.

19.【思路点拨】(1)利用等差数列定义证明.

(2)求得c n后利用错位相减法求和.

【解析】(1)因为a n=2-1,

所以S n=(a n+1)2.

当n≥2时,a n=S n-S n-1=(a n+1)2-(a n-1+1)2

=(+2a n--2a n-1).

即(a n+a n-1)(a n-a n-1-2)=0,

所以a n-a n-1=2,又a1=1,

所以数列{a n}是等差数列,

且a n=2n-1.

(2)因为b n=,

所以c n=(2n-1)·=.

所以T n=1++++…+, ①

T n=+++…++, ②

①-②得T n=1++++…+-=3-,

所以T n=6-.

20.【解析】(1)a2==,

又a1=,则a2=,类似地求得a3=.

(2)猜想：a n=.

用数学归纳法证明如下：

①当n=1时,由(1)可知等式成立.

②假设当n=k时猜想成立,即a k=,

那么,当n=k+1时,由题设a n=得a k=,a k+1=, 所以S k=k(2k-1)a k

=k(2k-1)

=,

S k+1=(k+1)(2k+1)a k+1,

a k+1=S k+1-S k

=(k+1)(2k+1)a k+1- ,

所以,k(2k+3)a k+1=,

所以a k+1=

=.

这就证明了当n=k+1时命题成立.

由①②可知命题对任何n∈N*都成立.

【加固训练】已知数列{a n}中,a2=6,且满足=n(n∈N*).

(1)求a1,a3,a4.

(2)猜想{a n}的通项公式并用数学归纳法证明.

【解析】(1)当n=1时,=1,而a2=6,解得a1=1.

当n=2时,=2,而a2=6,解得a3=15.

当n=3时,=3,而a3=15,解得a4=28.

(2)由(1)可猜想a n=n(2n-1).

①当n=1时,a1=1,而a1=1×(2×1-1)=1,猜想成立.

②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即a k=k(2k-1).

则当n=k+1时,

因为=k,

所以由假设得=k,

整理得(1-k)a k+1=-2k3-k2+2k+1=(2k+1)(1-k2),

解得a k+1=(1+k)(2k+1)

=(k+1)[2(k+1)-1],

即n=k+1时,猜想也成立.

综合①②可知,对任何n∈N*,猜想成立.

21.【解析】(1)因为a·b=×+(-1)×=0,所以a⊥b.

(2)因为x⊥y,所以x·y=0,

即[a+(t2-3)b]·(-k a+t b)=0.

整理,得-k a2+[t-k(t2-3)]a·b+t(t2-3)b2=0.

因为a·b=0,a2=4,b2=1,

所以上式化为-4k+t(t2-3)=0,

所以k=f(t)=t(t2-3).

(3)讨论方程t(t2-3)-m=0的解的情况,能够看作曲线f(t)=t(t2-3)与直线k=m 的交点个数.

f′(t)=(t2-1)=(t+1)(t-1),

令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.

当t变化时f′(t),f(t)的变化情况如表所示：

t (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)

f′(t) + 0 - 0 +

f(t) ↗↘-↗

当t=-1时f(t)有极大值,极大值为.

当t=1时f(t)有极小值,极小值为-.

而f(t)=t(t2-3)=0时,得t=-或t=0或t=.

所以f(t)的图象大致如图所示.

于是当m>或m<-时,直线k=m与曲线k=f(t)仅有1个交点,则方程有1个解; 当m=或m=-时,直线k=m与曲线k=f(t)有2个交点,则方程有2个解;

当-

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