优化设计复习资料

优化设计复习资料

一：填空题（40分）

1，机械优化设计方法：解析法 数值计算法。

2，优化设计问题基本方法：数学解析法 图解法 数值迭代法。

3，数值迭代法的基本步骤：建立搜索方向→计算最优步骤→判断是否为最优解。

（方向）步长k

k k n d a x x )(1+=+。

4，二元及多元函数的极值条件：0)(=?x f ,负定（大）正定（小）/)(0=x G 。

5，迭代法基本思想：步步逼近 步步下降。

数值迭代法终止准则：点距足够小 函数下降量足够小准则 函数梯度充分小准则。 6，优化设计包括的内容：建立优化设计问题的数学模型 选择恰当的优化方法 编程求解最优的设计参数。

7，求解不等式约束问题的基本思想：将不等式问题转化成等式问题 具体做法：引入松弛变量。

8，无约束问题取得极值的条件：0)(=X f 0)('

'>x f 即梯度为0,且海赛矩阵正定或负定。

9，二元偏导和方向导数的关系：

10系统可靠性设计方向：预测法 分配法。0

2190=+θθ 11

，

两

幅

图

干

涉

越

小

，

可

靠

性

越

高

。

（图看书）

12，设计螺栓的设计准则：受拉→静力或疲劳拉伸强度 受剪切或压溃→挤压强度 剪切强度。

13，随机方向法基本思路：随机选择初始点→随机选择探索方向→随机选择探索步长。

12

1

2

cos cos x x x f f f x x d

θθ???=

+

???

14，优化问题的几何解析：无约束问题 等式约束化问题 不等式约束化问题。 15.优化设计三要素：设计变量 约束条件 目标函数。 16，惩罚函数包括：内点 外点 混合惩罚函数。 17，约束定义及其分类：

约束条件：在优化设计中，对设计变量取值时的限制条件，称为约束条件或设计约束，简称约束。

分为：等式约束 不等式约束 。

18，约束优化方法：直接解法 间接解法。

19，守剪螺栓强度：抗剪切强度 压溃强度。

20,

的地方

方向是函数值变化最快方向重合时值最大，方向和时，)()(1),cos(x f D x f d f ?=?儿)(x f ?的模函数变化率的最大值。P27! 21,无约束优化问题取得极值的充要条件

极小值：函数在该点的梯度为0，且海赛矩阵正定，即G(x )各阶主子式均大于零 极大值：函数在该点的梯度为0，且海赛矩阵负定，即G(x )各阶主子式正负相间。

二：解答题：（共5个小题，有一个不明确，列出了6个供参考）

1、最速下降原理、步骤、特点

特点

1）对初始搜索点无严格要求； 2）收敛速度不快；

3）相邻两次迭代搜索方向互相垂直，在远离极值点处收敛快，在靠近极值点处收敛慢； 4）收敛速度与目标函数值的性质有关，对等值线是同心圆 的目标函数来说，经过一次迭代就可以达到极值点 操作步骤

()0(1,2,,)k h x k l ==()0(1,2,,)j g x j m ≤=

原理：

可行域内选择一个初始值，使用目标函数值下降得最快的负梯度方向作为探索方向，通过不断的迭代直至满足精度要求。

2、约束优化问题数学模型有解的基本条件

数学模型：

有解的基本条件

（1）目标函数和约束函数为连续、可微函数，且存在一个有 界的可行域D ；

(2) 可行域D 应是一个非空集，即存在满足约束条件的点列：

3、随机方向法的基本思路

在可行域内选择一个初始点，以某种随机的形式在初始点周围产生几个随机方向，从

{(1,2,)}

k

x k =12

12[]()(,,,)min

()0(1,2,

,)

()0(1,2,

,)

T

n n k j x x x x f x f x x x h x k l g x j m ==→==≤=求设计变量使目标函数且满足约束条件和

中选择一个使目标函数值下降最快的方向作为可行搜索方向。

从初始点出发沿着该可行搜索方向搜索，得到一个新点。若新点满足约束条件，且函数值下降，则完成一次迭代。

将始点移到新点，重复上面的过程，最终得到最优解。

4：可靠性的定义以及几个特征量，可靠度的概念，失效率的概念？

可靠性：产品在规定条件下河规定时间内完成规定功能的能力。

特征量：

可靠度：产品在规定条件下河规定的时间区间内完成规定任务的概率。

失效概率：产品在规定的条件下和规定的时间区间内未完成规定功能（即发生失效）的概率，也成不可靠度。

失效率：失效率是工作到某时刻尚未失效的产品，在该时刻后单位时间内发生失效的概率。

5：故障树的定义

故障树以此系统所不希望发生的时间作为分析的目标，先找出导致这一（顶事件）事件发生的所有直接因素和可能原因，接着将这些直接因素和可能原因作为第二级事件，再往下找出造成第二级事件发生的全部直接因素和可能原因，并依次逐级的找下去，直至追查到那些最原始的直接因素。采用相应的符号表示这些事件，再用描述事件间逻辑因果关系的逻辑门符号把顶事件，中间事件和底事件连接成倒立的树状图形。这话总倒立树状图称为故障树。以故障树为分析手段对系统的失效进行分析的方法称为故障树分析法。

6：坐标轮换法基本思想

每次仅对多元函数的一个变量沿其坐标轴进行一维探索，其余各变量均固定不动，并依次轮换进行一维探索的坐标轴，完成第一轮探索后再重新进行第二轮探索，直到找到目标函数在全域上的最小点为止。

目的：将一个多维的无约束最优化问题，转化为一系列的一维问题来求解。

1、试证明函数f( X )=2x12+5x22 +x32+2x3x2+2x3x1-6x2+3在点[1，1，-2]T处具有极小值。

解：必要条件：

将点[1，1，-2]T带入上式，可得

充分条件

错误！未找到引用源。＝40错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。正定。

因此函数在点[1，1，-2]T 处具有极小值

2、某零件工作到50h 时，还有100个仍在工作，工作到51h 时，失效了1个，在第52h 内失效了3个，试求这批零件工作满50h 和51h 时的失效率)50(-λ、)51(-

λ 解：1）1,100)(,

1)(=?==?t t t n

n

s

f

01.01

1001

)50(=?=

-

λ

2）2,100)(,

3)(=?==?t t t n

n

s

f

015.02

1003

)51(=?=

-

λ

3、已知某产品的失效率1

4

103.0)(---

?==h t λλ。可靠度函数t

e t R λ-=)(，试求可靠度

R=99.9%的相应可靠寿命t 0.999、中位寿命t 0.5和特征寿命1-e t 解：可靠度函数 t

e t R λ-=)( 故有 R

t R

e R t

λ-=)(

两边取对数 t t

R R

R λ-=)(

ln

则可靠度寿命

=?-

=-=-h R t t 4

999.0999.0103.0999

.0ln )

(ln λ

33h

中位寿命

=?-

=-

=-h R t t 4

5.0999.010

3.05

.0ln )

(ln λ23105h 特征寿命

=?-

=-

=--h R e t 4

1

999.010

3.03679

.0ln )

(ln λ

33331h

4、设有一批名义直径为d=25.4mm 的钢管，按规定其直径不超过26mm 时为合格品。如果钢管直径服从正态分布，其均值ｕ=25.4mm ，标准差S=0.30mm ，试计算这批钢管的废品率值。

解：所求的解是正态概率密度函数曲线x=26以左的区面积，即：

dx x x P ???

??????

??? ??--=

∞

2

26

3.04.2521exp 23.01)26(π 变为标准型为1.13

.04

.2526=-=

-=

σ

μ

x z

由正态分布表查的1.1<<∞-z 的标准正态分布密度曲线下区域面积是

864.0)1.1(=Φ，所以： 136.0864.01)26(=-=

5、已知承受拉伸钢丝绳的强度和应力均服从正态分布，强度与载荷的参数分别为：

N

N

s r 544300907200==μμ N N s r 113400136000==σσ 求其可靠度。

解：2113400

1360005443009072002

2

22

≈+-=

+-=

s

r

s r z σ

σμμ.05

查表可得该零件的可靠度R=0.97982

6、拟设计某一汽车的一种新零件，根据应力分析，得知该零件的工作应力为拉应力且为正态分布，其均值MPa sl 352=μ，标准差MPa sl 2.40=σ，为了提高其疲劳寿命，制造时使其产生残余压应力，亦为正态分布，其均值MPa sY 100=μ，标准差MPa sY 16=σ，零件的强度分析认为其强度亦服从正态分布，均值MPa r 502=μ，但各种强度因素影响产生的偏差尚不清楚，为了确保零件的可靠度不低于0.999。问强度的标准差是多少？ 解：已知：

()MPa St 2.40,352= M P a Sy )16,100(= M P a r 502=μ

则应力均值s μ和标准方差s σ分别为： M P a Sy St s 252100352=-=-=μ

M P a

Sy St s 27.43162.402222=+=+=σ 应为题中给定的可靠度R=0.999，查标准正态分布表可得z=3.1 所以1.322=+-==

s

r s

r s s z σσμμσμ

则 ()()MPa s s r r 054.6827.431.32525021.32

2

22

=-??????-=-??

????-=σμμσ 7、已知某发动机零件的应力和强度均服从正态分布，,40,350MPa MPa s s ==σμ

,80,820MPa MPa r r ==σμ。试计算该零件的可靠度。又假设零件的热处理不好，使零

件强度的标准差增大为,150MPa r =σ试求零件的可靠度。

解：已知：,40,350MPa MPa s s ==σμ,80,820MPa MPa r r ==σμ

则 1） 25.540

803508202

2

22=+-=

+-=

s

r

s r z σ

σμμ

经查正态分布表可得9999.0=R 2）MPa r 150=σ时，

03.340

1503508202

2

=+-=

z

经查正态分布表可得9988.0=R

8、某系统由4个相同元件并联组成，系统若要正常工作，必须有3个以上元件处于工作状态。已知每个元件的可靠度R=0.9，求系统的可靠度。

解：由已知可知，该系统为3/4的表决系统，9.0,3,4===R i k 则：

i x i

x

i i x R R C k x P --==∑)1()(

)!

(!!

i x i x C i x -?=

因此

()9185.0)9.01(9.0)!

44(!4!

49.019.0)!34(!3!4)4(4444=-??-+-??-?=

=-x P

9、10个相同元件组成串联系统，若要求系统可靠度在0.99以上，问每个元件的可靠度至少应为多少？

解：已知：()10,99.0==n t R s ；由此分配的串联系统每个元件的可靠度为

[]998995.099

.0)()(10

11

===n

s t R t R

10、10个相同元件组成并联系统，若要求系统可靠度在0.99以上，问每个元件的可靠度至少应为多少？

解：已知：()10,99.0==n t R s ；由此分配的并联系统每个元件的可靠度为

[]()39043.063957.0199.011)(11)(10

11

=-=--=--=n s t R t R

11、一并联系统，其组成元件的失效率均为0.001次/h 。当组成系统的单元数为n=2或n=3时，求系统在t=100h 时的可靠度，并与2/3表决系统的可靠度作对比。

解：已知：001.0=λ；21=n ；32=n ；h t 100=

1）若元件服从指数分布其可靠度为： t

e

t R λ-=)(

因此该并联系统的可靠度为：()n

t

e t R λ---=11)(

当21==n n 时；=--=--=?--2100001.0)1(1)1(1)(1e e t R n t

λ0.99094 当32==n n 时；999138.0)1(1)1(1)(3100001.02=--=--=?--e e

t R n t

λ

2）若元件服从指数分布，并与2/3表决系统的可靠度为：t t

e e

t R λλ---=23)(

90484.023)(100001.0100001.0=?-?=?-?-e e t R

12已知某机械零件的应力和强度都服从对数正态分布，应力的均值和标准差分别为：60MPa 和10MPa ；强度的均值和标准差分别为：100MPa 和10MPa 。试计算该零件的可靠度。

()9964

.00036.01)6886.2(116886

.26002.400995.02

1

100ln 21ln 00995.0110010ln 1ln 0806.40274.02

1

60ln 21ln 0274.016010ln 1ln 2ln 2ln ln ln 2ln ln 2222ln ln 22

2

ln ln =-=-Φ-=Φ-=-=+--==?-

=-==????????+??? ??=???

?????+???? ??==?-=-==????????+??? ??=????????+???? ??=R S S

R S S S S

S

z R z S σσμμσμμμσσσμμμ

σ

σδδδδδδδ

δ联结方程：解：