日照实验高中级高二下学期期末数学复习选修选修理科练习

日照实验高中级高二下学期期末数学复习选修

选修理科练习

TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08-

日照实验高中2015级高二下学期期末数学复习理科练习四

一、选择题（每小题5分，共60分．只有一项是符合题目要求的．） 1．设复数：12121,2(),z i z x i x R z z =+=+∈若为实数，则x = A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2

2．二项式30

3a a ?

- ??

?的展开式的常数项为第（ ）项

A ． 17

B ．18

C ．19

D ．20

3.设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++，则01211

a a a a ++++的 值为

A ．2-

B ．1-

C ．1

D ．2

4.已知正三角形内切圆的半径是其高的1

3

，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是

A ．正四面体的内切球的半径是其高的12

B ．正四面体的内切球的半径是其高的1

3

C ．正四面体的内切球的半径是其高的14

D ．正四面体的内切球的半径是其高的1

5

5.抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于4”；事件B ：“甲、乙两骰子

的点数之和等于7”，则(|)P B A 的值等于

A ．13

B ．118

C ．16

D ．1

9

6.已知随机变量ξ服从正态分布N (4，σ2)，若P (ξ＞8)＝0.4，则P (ξ＜0)等于

A ．0.3

B ．0.4

C ．0.6

D ．0.7

7.曲线3x y =在点)1,1(处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为

（A ）38 （B ）37 （C ）35 （D ）34

8.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将

几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码

的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推。例如6613用算筹表示就是，则8335用算筹可表示为

9.函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝

(A)

1

8

(B)

4

1

(C)

2

1

(D)1

10.由1,2,3,4,5,6组成无重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是

A ．72 B．96 C ．108 D．144

11.设函数()(21)(1)

x

f x e x ax a a

=--+<，若存在唯一的整数

x使得

()0

f x<，则a 的取值范围是

A．[） B．[）C．[） D．[）

12．将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为

A．

56

1

B．

70

1

C．

336

1

D．

420

1

二、填空题（本大题共4个小题，共20分）

13. 如果一个随机变量ξ～B????

15，

1

2，则使得P(ξ＝k)取得最大值的k的值为__________．

14. 已知2

3

1

(1)

n

x x x

x

??

+++

?

??

的展开式中没有

．．常数项，n∈*N，且2≤n≤8，则

n=______．

15. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14与第

15个数的比为3:2．第0行 1

第1行 1 1

第2行 1 2 1

第3行 1 3 3 1

第4行 1 4 6 4 1

第5行 1 5 10 10 5 1

………………

16.()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ． 三、解答题（本题共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为2

1

，乙每次击中目标的概率

3

2

，（I ）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E ξ；（II ）求乙至多击中目标2次的概率；

（III ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．

18. 设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围．

19、数列{}n a 的通项12(1)n n a n +=-，观察以下规律：

111a ==

12143(12)a a +=-=-=-+

1231496(123)a a a ++=-+==+++ ……

试写出求数列{}n a 的前n 项和n S 的公式，并用数学归纳法证明.

20. 某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A 、B 两个等级.对每种产品，两

道工序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品.

（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；

（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；

（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，x、y 为何值时，η

ξyE

xE

z+

=最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）

21，已知0

≥

a，函数x e

ax

x

x

f)

2

(

)

(2-

=．

（Ⅰ）当x 为何值时，)(x f 取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设)(x f 在]1,1[-上是单调函数，求a 的取值范围.

选做题：(22、23题任选一题解答，在答题卡上将所选择题号后的方框涂黑，满分10分)

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y θ

θ=??=+?（θ为参数），以坐标原点

为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.

（1）写出曲线C 的极坐标方程；（2）设点M

的极坐标为)4π

，过点M 的直线l

与曲线C 相交于,A B 两点，若2MA MB =，求AB 的弦长. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()11,()f x x x x R =-++∈.

（1）求证：()2f x ≥；（2）若不等式211()b b

f x b

+--≥对任意非零实数b 恒成

立，求x 的取值范围.

日照实验高中高二下学期期末复习数学练习四（选修2-2和2-3）答案ACACC BABBC DA 13. 7,8；14. 5；15. 34；16. 4

11. 解：设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，

由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，

∵ g′（x）=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x ＞﹣时，g′

（x

）＞0，∴当x=﹣时，g（x）取最小值﹣2，

当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1

故选：D

12.

{（1，2，3），（4，5，6），（7，8，9）}、{（1，2，3），（4，6，8），（5，7，9）}、

{（1，3，5），（2，4，6），（7，8，9）}、{（1，4，7），（2，5，8），（3，6，9）}、

{（1，5，9），（2，3，4），（6，7，8）}，共5组．

17. 解：（I ）P (ξ＝0)＝03311()28C =，P (ξ＝1)＝13

313()28C =，P (ξ＝2)＝23313()28C =，

P (ξ＝3)＝33

311()28

C =，ξ的概率分布

如下表：

E ξ＝1331

0123 1.58888?+?+?+?=, （或

E ξ=3·2

1

=1.5）；

（II ）乙至多击中目标2次的概率为1－33

32()3C =

1927

； （III ）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B 1，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2，B 1，

B 2为互斥事件．1231121

()()()8278924

P A P B P B =+=?+?= 所以，甲恰好比乙多击中目

标2次的概率为1

24

.

18. 解法一：令g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)－ax ，对函数g (x )求导数：g ′(x )＝ln(x ＋1)＋1－a 令g ′(x )＝0，解得x ＝e a －1－1， ……5分

(i )当a ≤1时，对所有x ＞0，g ′(x )＞0，所以g (x )在[0，＋∞)上是增函数，

又g (0)＝0，所以对x ≥0，都有g (x )≥g (0)，即当a ≤1时，对于所有x ≥0，都有 f (x )≥ax ．

(ii )当a ＞1时，对于0＜x ＜e a －1－1，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，e a －1－1)是减函数， 又g (0)＝0，所以对0＜x ＜e a －1－1，都有g (x )＜g (0)， 即当a ＞1时，不是对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立． 综上，a 的取值范围是（－∞，1]． ……12分

解法二：令g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)－ax ，于是不等式f (x )≥ax 成立即为g (x )≥g (0)成立．

对函数g (x )求导数：g ′(x )＝ln(x ＋1)＋1－a 令g ′(x )＝0，解得x ＝e a －1－1，

当x ＞ e a －1－1时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数，

当－1＜x ＜e a －1－1，g ′(x )＜0，g (x )为减函数， ……9分 所以要对所有x ≥0都有g (x )≥g (0)充要条件为e a －1－1≤0． 由此得a ≤1，即a 的取值范围是（－∞，1]． 19.解：通过观察，猜想

S n = a 1+a 2+a 3+……+a n ＝(-1)n+1（1＋2＋3+……+n ）=2

)

1()1(1

+?

-+n n n …………4分

下面用数学归纳法给予证明： （1）当n ＝1时，S 1= a 1＝1，而12

)

11(1)1(2)1()

1(21

=+-=+?

-+n n n ∴当n ＝1时，猜想成立 ……………………………………6分 （2）假设当n=k(k≥1，*

N k ∈)时，猜想成立，

即S k =2

)

1()

1(1

+?

-+k k k ………………………………7分 那么S k ＋1=S k ＋a k+1=2

)1()1(1+?-+k k k ＋21)1()1()

1(+?-++k k ……………9分 =

)]1(2)1[(2

)1()1(12++-+?--+k k k k ………………………11分 =2

]1)1)[(1()1()2(2)1()1(1)1(2+++?-=++?-+++k k k k k k ……12分

这就是说当n=k+1时，猜想也成立. ………………………13分 根据(1)(2)可知，对任意*

N n ∈猜想都成立。 ……………………14分 20. （Ⅰ）解：.6.08.075.0,

68.085.08.0=?=?=乙甲P P …………2分

（Ⅱ）解：随机变量ξ、η的分别列是

,2.432.05.268.05=?+?=ξE .1.24.05.16.05.2=?+?=ηE …………6分

（Ⅲ）解：由题设知??????

?≥≥≤+≤+.

0,0,

4028,60105y x y x y x 目标函数为 .1.22.4y x yE xE z +=+=ηξ……8分 作出可行域（如图）： 作直线:l ,01.22.4=+y x

将l 向右上方平移至l 1位置时，直线经过可行域上

的点M 点与原点距离最大， 此时y x z 1.22.4+= …………10分

取最大值. 解方程组???=+=+.4028,

60105y x y x

得.4,4==y x 即4,4==y x 时，z 取最大值，z 的最大值为25.2 .……………12分

21.解析：（1）令f ′(x)=0，即[x 2-2(a-1)x-2a]e x =0，∴x 2-2(a-1)x-2a=0，∵△=[2(a-1)]2+8a=4(a 2+1)＞0， ∴x 1=，x 2=

，又∵当x ∈(-∞，

)时，f ′(x)＞

0； 当x ∈(，

)时，f ′(x)＜0；当x ∈(

，+∞)时，

f ′(x)＞0， 列表：

M(4,4)

5x+10y=60

8x+2y=405

6

o

y

x

∴x 1，x 2分别为 f (x)的极大值与极小值点，又∵；当x →+∞时，f (x)→+

∞， 而，∴当x=

时，f (x)取得最

小值。

（2）由+-=x e a x x f )22()(/]2)1(2[)2(22a x a x e e ax x x x --+=-

令0)(/=x f ，即02)1(22=--+a x a x ，得2111a a x +--=，+-=12a x

21a +，其中21x x < 当x 变化时，)(/x f 、)(x f 的变化情况如下表：

x ),(1x -∞ 1x ),(21x x 2x

),(2+∞x )(/x f +

0 - 0 +

)(x f

极大值

极小值

当0≥a 时，)(,0,121x f x x ≥-<在),(21x x 上单调递减；

由此可得：)(x f 在]1,1[-上是单调函数的充要条件为12≥x ，即

1112≥++-a a ，解得43≥a ；即所求a 的取值范围为),4

3

[+∞；