初中数学反比例函数单元检测附答案
初中数学反比例函数单元检测附答案
一、选择题
1．已知1122(,),,)A x y B
x y （均在反比例函数2
y x
=的图像上，若120x x <<，则12,y y 的大小关系是（ ） A ．120y y << B ．210y y <<
C ．120y y <<
D ．210y y <<
【答案】D 【解析】 【分析】
先根据反比例函数的性质判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可作出判断． 【详解】
解：∵反比例函数2
y x
=
中k=2＞0， ∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小， ∵0＜x l ＜x 2，
∴点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）均在第一象限， ∴0＜y 2＜y l ． 故选：D ． 【点睛】
此题考查反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象的增减性是解题的关键．
2．在平面直角坐标系中，分别过点(),0A m ,()2,0B m
﹢作x 轴的垂线1l 和2l ,探究直线1l 和2l 与双曲线 3
y x
=
的关系，下列结论中错误．．的是 A ．两直线中总有一条与双曲线相交
B ．当m =1时，两条直线与双曲线的交点到原点的距离相等
C ．当20m -﹤﹤ 时，两条直线与双曲线的交点在y 轴两侧
D ．当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是2 【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意给定m 特定值、非特定值分别进行讨论即可得. 【详解】
当m =0时，2l 与双曲线有交点，当m =-2时，1l 与双曲线有交点，
当m 0m 2≠≠，﹣时，12l l 与和双曲线都有交点，所以A 正确，不符合题意；
当m 1=时，两交点分别是(1，3)，(3，1)B 正确，不符合
当2m 0-﹤﹤ 时，1l 在y 轴的左侧，2l 在y 轴的右侧，所以C 正确，不符合题意；
两交点分别是33m (m 2m m 2++，和，)，两交点的距离是()2364m m 2+??+??
，当m 无限
大时，两交点的距离趋近于2，所以D 不正确，符合题意， 故选D. 【点睛】
本题考查了垂直于x 轴的直线与反比例函数图象之间的关系，利用特定值，分情况进行讨论是解本题的关键，本题有一定的难度.
3．如图，点A 是反比例函数y ＝
k
x
（x ＜0）的图象上的一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使点B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上．已知平行四边形ABCD 的面积为8，则k 的值为（ ）
A ．8
B ．﹣8
C ．4
D ．﹣4
【答案】B 【解析】 【分析】
作AE ⊥BC 于E ，由四边形ABCD 为平行四边形得AD ∥x 轴，则可判断四边形ADOE 为矩形，所以S 平行四边形ABCD =S 矩形ADOE ，根据反比例函数k 的几何意义得到S 矩形ADOE =|k|． 【详解】
解：作AE ⊥BC 于E ，如图，
∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥x 轴，
∴四边形ADOE 为矩形， ∴S 平行四边形ABCD =S 矩形ADOE ， 而S 矩形ADOE =|k|， ∴|k|=8， 而k ＜0
故选：B．【点睛】
本题考查了反比例函数y=k
x
（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=
k
x
（k≠0）图象
上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
4．对于反比例函数
2
y
x
，下列说法不正确的是（）
A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上B．它的图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【答案】C
【解析】
【详解】
由题意分析可知，一个点在函数图像上则代入该点必定满足该函数解析式，点（-2，-1）代入可得，x=-2时，y=-1，所以该点在函数图象上，A正确；因为2大于0所以该函数图象在第一，三象限，所以B正确；C中，因为2大于0，所以该函数在x＞0时，y随x的增大而减小，所以C错误；D中，当x＜0时，y随x的增大而减小，正确，
故选C.
考点：反比例函数
【点睛】
本题属于对反比例函数的基本性质以及反比例函数的在各个象限单调性的变化
5．如图，A，B是反比例函数y=4
x
在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标
分别是2和4，则△OAB的面积是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，2），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k
的几何意义得出S△AOC=S△BOD=1
2
×4=2．根据S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，得出
S △AOB =S 梯形ABDC ，利用梯形面积公式求出S 梯形ABDC =12（BD+AC ）?CD=1
2
×（1+2）×2=3，从而得出S △AOB =3．
【详解】∵A ，B 是反比例函数y=4
x
在第一象限内的图象上的两点， 且A ，B 两点的横坐标分别是2和4， ∴当x=2时，y=2，即A （2，2）， 当x=4时，y=1，即B （4，1），
如图，过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，
则S △AOC =S △BOD =
1
2
×4=2， ∵S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ， ∴S △AOB =S 梯形ABDC ，
∵S 梯形ABDC =
12（BD+AC ）?CD=1
2
×（1+2）×2=3， ∴S △AOB =3， 故选B ．
【点睛】本题考查了反比例函数()0k
y k x
=
≠中k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积，熟知反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 与k 的关系为S=
1
2
|k|是解题的关键．
6．若一个圆锥侧面展开图的圆心角是270°，圆锥母线l 与底面半径r 之间的函数关系图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解析】
【分析】
根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于
圆锥的母线长得到2πr=270
180
l
π??
，整理得l=
4
3
r（r＞0），然后根据正比例函数图象求
解．【详解】
解：根据题意得2πr=270
180
l
π??
，所以l=
4
3
r（r＞0），
即l与r为正比例函数关系，其图象在第一象限．
故选A．
【点睛】
本题考查圆锥的计算；函数的图象．
7．使关于x的分式方程=2的解为非负数，且使反比例函数y=图象过第一、三象限时满足条件的所有整数k的和为（）.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
试题分析：分别根据题意确定k的值，然后相加即可．∵关于x的分式方程=2的解为
非负数，∴x=≥0，解得：k≥-1，∵反比例函数y=图象过第一、三象限，∴3﹣k＞0，解得：k＜3，∴-1≤k＜3，整数为-1,0,1，2，∵x≠0或1，∴和为-1+2=1，故选，B．
考点：反比例函数的性质．
8．如图，,A B是双曲线
k
y
x
=上两点，且,A B两点的横坐标分别是1-和5,ABO
-?的面
积为12，则k的值为（）
A．3-B．4-C．5-D．6-
【解析】 【分析】
分别过点A 、B 作AD ⊥x 轴于点D ，BE ⊥x 轴于点E ，根据S △AOB =S 梯形ABED +S △AOD - S △BOE =12，故可得出k 的值． 【详解】
分别过点A 、B 作AD ⊥x 轴于点D ，BE ⊥x 轴于点E ，
∵双曲线k
y x
=的图象的一支在第二象限 ∴k<0，
∵A ，B 两点在双曲线k
y x =的图象上，且A ，B 两点横坐标分别为：-1，-5， ∴A （-1，-k ），B （-5， 5
k
-）
∴S △AOB =S 梯形ABED +S △AOD - S △BOE
=
1||11||(||)(51)1||525225k k k k ?+?-+??-??=12||5k =12， 解得，k=-5 故选：C ． 【点睛】
本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
9．已知反比例函数2
y x
-=
，下列结论不正确的是（ ） A ．图象经过点（﹣2，1）
B ．图象在第二、四象限
C ．当x ＜0时，y 随着x 的增大而增大
D ．当x ＞﹣1时，y ＞2
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
A 选项：把（-2，1）代入解析式得：左边=右边，故本选项正确；
B 选项：因为-2＜0，图象在第二、四象限，故本选项正确；
C 选项：当x ＜0，且k ＜0，y 随x 的增大而增大，故本选项正确；
D 选项：当x ＞0时，y ＜0，故本选项错误． 故选D ．
10．下列各点中，在反比例函数3
y x
=图象上的是（ ） A ．(3，1) B ．（-3，1） C ．(3，
13
) D ．（
1
3
，3） 【答案】A 【解析】 【分析】
根据反比例函数的性质可得：反比例函数图像上的点满足xy=3. 【详解】
解：A 、∵3×1=3，∴此点在反比例函数的图象上，故A 正确； B 、∵（-3）×1=-3≠3，∴此点不在反比例函数的图象上，故B 错误； C 、∵13=1
33
垂, ∴此点不在反比例函数的图象上，故C 错误； D 、∵13=133垂
, ∴此点不在反比例函数的图象上，故D 错误；
故选A.
11．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，90ABC ∠=?，CA x ⊥轴，点C 在函数()0k
y x x
=
>的图象上，若1AB =，则k 的值为（ ）
A ．1
B ．
22
C 2
D ．2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意可以求得 OA 和 AC 的长，从而可以求得点 C 的坐标，进而求得 k 的 值，本题得以解决．
【详解】
Q 等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，90ABC ∠=?，CA
⊥x 轴，1AB =，
45BAC BAO ?∴∠=∠=， 2
2
OA OB ∴==
，2AC =， ∴点C 的坐标为2,22??
? ??，
Q 点C 在函数()0k
y x x
=
>的图象上， 2
212
k ∴=
?=， 故选：A ． 【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键 是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数
b
y x
=
在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【详解】
∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下， ∴a ＜0，
∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0，
∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧， ∴a ，b 同号， ∴b ＜0，
∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限， 反比例函数y=b
x
图象分布在第二、四象限， 故选D ． 【点睛】
此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．
13．函数21
a y x
--=（a 为常数）的图象上有三点（﹣4，y 1），（﹣1，y 2），（2，
y 3），则函数值y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 3＜y 1＜y 2 B ．y 3＜y 2＜y 1 C ．y 1＜y 2＜y 3 D ．y 2＜y 3＜y 1 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
解：当x=-4时，y 1=21
4a ---；
当x=-1时，y 2=21
1a ---，
当x=2时，y 3=21
2
a --，
∵-a 2-1＜0， ∴y 3＜y 2＜y 1． 故选B. 【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质数形结合思想解题是关键．
14．如图，若点M 是x 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ ∥y 轴，分别交函数
1
(0)k y x x =
>和2(0)k y x x =>的图象于点P 和Q ，连接OP 和OQ ．则下列结论正确的是（ ）
A ．∠POQ 不可能等于90°
B ．1
2
PM QM k k = C ．这两个函数的图象一定关于x 轴对称 D ．△POQ
的面积是
()121
2
k k + 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
解：根据反比例函数的性质逐一作出判断：
A ．∵当PM=MO=MQ 时，∠POQ=90°，故此选项错误；
B ．根据反比例函数的性质，由图形可得：1k ＞0，2k ＜0，而PM ，QM 为线段一定为正值，故
1
2
PM QM k k =，故此选项错误； C ．根据1k ，2k 的值不确定，得出这两个函数的图象不一定关于x 轴对称，故此选项错误；
D ．∵|1k |=PM?MO ，|2k |=MQ?MO ， ∴△POQ 的面积=12MO?PQ=12MO （PM+MQ ）=12MO?PM+12MO?MQ=()121
2
k k +． 故此选项正确． 故选D ．
15．如图，点A 在反比例函数3
(0)y x x =-<的图象上，点B 在反比例函数3(0)y x x
=>的
图象上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形ABCO 的面积是（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
因为四边形ABCO 是平行四边形，所以点A 、B 纵坐标相等，即可求得A 、B 横坐标，则AB 的长度即可求得，然后利用平行四边形面积公式即可求解． 【详解】
解：∵四边形ABCO 是平行四边形 ∴点A 、B 纵坐标相等
设纵坐标为b ，将y=b 带入3
(0)y x x =-<和3(0)y x x
=>中，
则A 点横坐标为3
b
- ，B 点横坐标为3b
∴AB=
336
()b b b
--= ∴6
6ABCO S b b
=?=Y 故选：A ． 【点睛】
本题考查了反比例函数以及平行四边形面积公式，本题关键在于两点间距离的求法．
16．反比例函数21
k y x
+=的图象上有两点()11,A a y -，()21,B a y +，若12y y <，则a
的取值范围（ ）
A ．1a <-
B ．1a >
C ．11a -<<
D ．这样的a 值不存在
【答案】C 【解析】 【分析】
由210k +>得出在同一分支上，反比例函数y 随x 的增大而减小，然后结合反比例函数的图象进行求解． 【详解】
210k +>Q ，
∴在同一分支上，反比例函数y 随x 的增大而减小，
11a a -<+Q ，12y y <，
∴点A ，B 不可能在同一分支上，只能为位于不同的两支上，
10a ∴-<且10a +>，
11a ∴-<<， 故选C ． 【点睛】
本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，注意反比
例函数的图象有两个分支．
17．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数
k y
x
=在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若4
AB=，2
CE
BE
=，
3
4
AD
OA
=，则线段BC的长度为（）
A．1 B．
3
2
C．2 D．23
【答案】B
【解析】
【分析】
设OA为4a，则根据题干中的比例关系，可得AD=3a，CE=2a，BE=a，从而得出点D和点E 的坐标(用a表示)，代入反比例函数可求得a的值，进而得出BC长.
【详解】
设OA=4a
根据2
CE
BE
=，
3
4
AD
OA
=得：AD=3a，CE=2a，BE=a
∴D(4a，3a)，E(4a+4，a)
将这两点代入解析得；
3
4
44
k
a
a
k
a
a
?
=
??
?
?=
?+
?
解得：a=
1
2
∴BC=AD=
3
2
故选：B
【点睛】
本题考查反比例函数和矩形的性质，解题关键是用含有字母的式子表示出点D、E的坐标，然后代入解析式求解.
18．如图，平行于x轴的直线与函数y＝1
k
x
（k1＞0，x＞0），y＝2
k
x
（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积
为6，则k1﹣k2的值为（）
A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6【答案】A
【解析】
【分析】
△ABC的面积＝1
2
?AB?y A，先设A、B两点坐标（其
y坐标相同），然后计算相应线段长
度，用面积公式即可求解．
【详解】
解：设：A、B点的坐标分别是A（1
k
m
，m）、B（2
k
m
，m），
则：△ABC的面积＝
1
2
?AB?y A＝
1
2
?（1
k
m
﹣2
k
m
）?m＝6，
则k1﹣k2＝12．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A、B两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．
19．如图，直线y＝k和双曲线y＝
k
x
相交于点P，过点P作PA0垂直于x轴，垂足为A0，x 轴上的点A0，A1，A2，…A n的横坐标是连续整数，过点A1，A2，…A n：分别作x轴的垂线，与双曲线y＝
k
x
（k＞0）及直线y＝k分别交于点B1，B2，…B n和点C1，C2，…C n，则n n
n n
A B
C B 的值为（）
A．
1
1
n+
B．
1
1
n-
C．
1
n
D．
1
1
n
-
【答案】C
【解析】
【分析】
由x轴上的点A0，A1，A2，…，A n的横坐标是连续整数，则得到点An（n+1，0），再分别
表示出?n（n+1，k），B n（n+1，
k
n1
+
），根据坐标与图形性质计算出A n B n ＝
k
n1
+
，B n?n
＝k﹣
k
n1
+
，然后计算n n
n n
A
B
B C．
【详解】
∵x轴上的点A0，A1，A2，…，A n的横坐标是连续整数，
∴An（n+1，0），
∵?n A n⊥x轴，
∴?n（n+1，k），B n（n+1，
k
n1
+
），
∴A n B n＝
k
n1
+
，B n?n＝k﹣
k
n1
+
，
∴n n
n n
A B
B C＝
1
1
k
n
k
k
n
+
-
+
＝
1
n
．
故选：C．
【点睛】
考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是抓住了反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．
20．如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是（）
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2
【答案】C
【解析】
分析：根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值．
详解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，AC⊥BD，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点A（1，1），
∴OA=，
∴BO=，
∵直线AC的解析式为y=x，
∴直线BD的解析式为y=-x，
∵OB=，
∴点B的坐标为（?，），
∵点B在反比例函数y=的图象上，
∴，
解得，k=-3，
故选C．
点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．