高中数学 希尔伯特的23个数学问题素材

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希尔伯特（Hilbert D ，1862．1．23~1943．2．14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一．1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的“希尔伯特23个问题”．这23个问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了二十世纪数学的发展．下面介绍部分问题给同学们．

1．连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设．1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛———弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性．1963年，美国数学家科亨证明连续统假设和策梅洛———弗伦克尔集合论公理是彼此独立的．因此，连续统假设不能在策梅洛———弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否．希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决．

2．算术公理的相容性 欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性．希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明．1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法．1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性．1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决．

3．两个等底等高四面体的体积相等问题 问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等．M ．W ．德恩1900年即对此问题给出了肯定解答．

4．两点间以直线为距离最短线问题 此问题提得过于一般．满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件．1973年，前苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决．《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决．

5．物理学的公理化 希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学．1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化．后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功．但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑．

6．不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程 七次方程的根依赖于3个参数a b c ，，，即()x x a b c ，，．这个函数能否用二元函数表示出来？前苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）．但如果要求是解析函数，则问题尚未解决．

7．舒伯特计数演算的严格基础 一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法．希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础．现在已有了一些可计算的方法，但严格的基础迄今仍未确立．

8．半正定形式的平方和表示 一个实系数n 元多项式对一切数组12()n x x x ，，，都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的．

9．用全等多面体构造空间 由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部分解决．