2019年黑龙江省高考理科数学试题及答案

黑龙江省高考理科数学试题及答案

（满分150分，时间120分）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共24题，共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题 ，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知Z=（m+3）+（m-1）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是

（A ）（-3,1） （B ）（-1,3） （C ）()1,+∞ （D ）(),3-∞-

（2）已知集合{}1,2,3A =，{}|(1)(2)0,B x x x x Z =+-<∈，则A

B =

（A ）{1} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2,3} （D ）{-1,0,1,2,3}

（3）已知向量a=（1，m ），b=（3，-2），且（a+b ）⊥b ，则m=

（A ）-8 （B ）-6 （C ）6 （D ）8

（4）圆2

2

x +y -2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=

（A ）4-3 （B ）3

-4

（C ）3 （D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小明回合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9

（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π （7）若将函数2sin 2y x = 的图像向左平移

12

π

个单位长度，则平移后的图像对称轴为 （A ）()26

k x k Z ππ

=

-∈

（B ）()26

k x k Z π

π

=

+∈ （C ）()212

k x k Z π

π

=

-∈

（D ）()2

12

k x k Z π

π

=

+

∈

（8）中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入的 x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输入的s=

（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos （

4

π

-α）=35，则sin2α=

（A ）725 （B ）15 （C ）-15 （D ）-7

25

（10）从区间

[]0,1随机抽取2n 个数12,,...,n

x x x ， 12,,...,n y y y 构成n 个数对11,x （y ），

22,x （y ），…，,n n x （y ），其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得

到的圆周率π的近似值为

（A ）

4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n

（11 1F ,2F 是双曲线E ：22

221a x y b

+=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴

垂直，121

sin 3

MF F ∠=

,则E 的离心率为

（A （B ）3

2

（C （D ）2

（12）已知函数f x ∈（）（R ）满足f x =f x （-）2-（）

，若函数x 1

y=x

+与y=f x （）图像的x 1

y=f x x +（）

交点为（1x ，1y ）；（2x ，2y ），…，（m x ，m y ），则1

()m

i i i x y =+=∑ （A ）0 (B)m (C)2m (D)4m

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~24

（17）（本小题满分12分）

n S 为等差数列{}n a 的的前n 项和，且1a =1，7S =28，记n b =[]lg n a ，其中[x]表示不超过显得最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1. (Ⅰ)求1b ，11b ，101b ；

（Ⅱ）求数列{n b }的前1000项和. （18）（本小题满分12分）

某种保险的基本保费为a （单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

(Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

（19）（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD ，CD 上，AE=CF=，

EF 交于BD 于点H ，将DEF 沿EF 折到 D ′EF 的位置，OD ’=

.

（Ⅰ）证明：D ′H ⊥平面ABCD; （Ⅱ）求二面角B- D ′A-C 的正弦值。 （20）（本小题满分12分）

已知椭圆E ：2x t

+2

3y =1的焦点在X 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为K （K>0）的直线交

E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥ＮＡ. （Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求K 的取值范围。 （21）（本小题满分12分）（Ⅰ）讨论函数f(X)=

且f(X)>0,并证明当x>0时，（x-2）

+ x+2>0;（Ⅱ）证明：当a [0，1)时，函数g(X)=（x>0）有最小值。设g(X)的

最小值为h(a)，求函数h(a)的值域。

请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F . （Ⅰ）证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；

（Ⅱ）若AB =1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .

（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；

（Ⅱ）直线l 的参数方程是（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，10AB ,

求l 的斜率.

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数11

()2

2

f x x

x

，M 为不等式()2f x 的解集.

（Ⅰ）求M ； （Ⅱ）证明：当a ，b

M 时，1

a

b

ab .

答案：

一、1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.B 8.C 9.D 10.C 11.A 12.C

二、13.

13

21

14. ② ③ ④ 15.1和3 16.1-1n2 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（Ⅰ）n

a

n =，[lg ][lg ]n n b a n ==，10b =，11[lg11]1b ==，101[lg101]2b ==．

（Ⅱ）因为lg10=，lg101=，lg1002=，lg10003=．所以19n ≤≤时，[lg ]0n =． 当100999n ≤≤时，[lg ]2n =．当999n =时，[lg ]3n =． 所以数列{}n

b 的前1000项和

1000121000[lg1][lg2][lg3][lg1000]0901900231893T b b b =+++=+++

+=+?+?+=．

18．（Ⅰ）设一续保人本年度的保费高于基本保费的概率为1

p ，

则1

0.200.200.100.050.55p =+++=．

（Ⅱ）设所求概率为2

p ，则2

0.100.050.153

0.200.200.100.050.5511

p

+=

==

+++．

（Ⅲ）续保人本年度的平均保费0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05 1.23a a a a a a a ?+?+?+?+?+?=， 所以续保人本年度的平均保费1.23a 与基本保费a 的比值为1.23 1.23a a

=．

所以()(0)f x >． 因为(0)1f =-，所以2e

12

x

x x ->-+，

所以(2)e 20x

x x -++>．

（Ⅱ）对

2

e ()x ax a g x x --=

求导，得3

3

2(2)[

e ]e (2)(2)

2()x

x

x x a x a x x g x x

x -++-+++'==，0x >．

记2()e 2

x

x x a x ?-=++，0x >．

由（Ⅰ）知函数()x ?区间(0,)+∞内单调递增，所以()(0)x ??>， 又(0)10a ?=-+<，(2)0a ?=>，所以存在唯一正实数0

x ，使得0

00

02()e 02

x x

x a x ?-=+=+．

于是，当0

(0,)x x ∈时，()0x ?<，()0g x '<，函数()g x 在区间0

(0,)x 内单调递减；

当0

(,)x x ∈+∞时，()0x ?>，()0g x '>，函数()g x 在区间0

(,)x +∞内单调递增．

所以()g x 在(0,)+∞内有最小值0

00

2

0e

()x ax a

g x x --=，由题设0

020

e ()x ax a h a x --=．

又因为0

002e 2

x x

a x --=+．所以0

01

()e 2

x g x x =

+．

23．（Ⅰ）由圆C 的标准方程2

2(6)25x y ++=，得221290x y x +++=，

所以圆C 的极坐标方程为2

12cos 90ρ

ρθ++=． （Ⅱ）将cos ,sin x t y t αα

=??

=?代入2

2(6)25x y ++=，

整理得2

12cos 110t

t α++=．

设A ，B 两点对应参数值分别为1

t ，2

t ，

则1

2

12cos t t

α+=-，1211t t =．

所以1

2||||AB t

t =-2

3cos 8

α=，

解得cos α=，

所以tan α

或tan α=．

24．（Ⅰ）函数

12,,21

1()1,,

2

212,.2x x f x x x x ?

-≤-??

?=-<

，则不等式()2f x <可化为1,222,

x x ?≤-??

?-

,

2212,

x ?-<