辽宁省盘锦市第二高级中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题

辽宁省盘锦市第二高级中学2020-2021学年高二上学期期末

考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．直线8y x =-的倾斜角为（ ） A ．45

B ．60

C ．120

D ．135

2．抛物线28y x =的准线方程为（ ） A ．2x =-

B ．2y =-

C ．132

x =-

D ．132

y =-

3．已知()2,3,1a =-，则下列向量中与a 平行的是（ ） A ．() 1,1,1 B ．() 4,6,2-- C ．() 2,3,5-

D ．()23,5-,-

4．已知点()1,3A 、()5,1B -，则线段AB 的垂直平分线的方程为（ ） A ．310x y +-= B ．340x y ++= C ．210x y -+=

D ．210x y --=

5．在锐角中ΔABC ，角A,B 所对的边长分别为a,b .若2asinB =√3b,则角A 等于（ ） A ．π

12

B ．π

6

C ．π

4

D ．π

3

6．已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>两焦点间的距离为A

，

则椭圆C 的标准方程为（ ）

A ．22

142

x y +=

B ．22

164

x y +=

C ．22

186

x y +

D ．22

153

x y +=

7．等差数列{}n a 前几项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于（） A ．1

B ．

5

3

C ．2

D ．3

8．在直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=，11AB AC AA ===，则异面直线

1BA 与1B C 所成角的余弦值为（ ）

A ．

2

B ．

6

C ．0

D ．

3

9．若点O 和点F 分别为椭圆2

212

x y +=的中心和右焦点，P 为椭圆上任意一点，则

OP FP ?的最小值为（ ）

A ．

14

B ．

13

C ．

12

D ．

23

10．已知等比数列{}n a 的公比0q >且1q ≠，其前n 项和为n S ，则23S a 与32S a 的大小关系为（ ） A ．2332S a S a > B ．2332S a S a < C ．2332S a S a =

D ．不能确定

11．已知P 是双曲线()22

2

210169x y a a a

-=>上的点1F 、2F 是其左、右焦点，且120PF PF ?=，若12PF F ?的面积为9，则a 等于（ ）

A ．2

B ．1

C ．3

D ．4

12．已知F 是椭圆C ：22

221x y a b +=(a>b>0)的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆

222

()39

c b x y -+=

相切于点Q ，（其中c 为椭圆的半焦距），且2PQ QF =则椭圆C 的离心率等于（ ）

A B ．

23

C D ．

12

二、填空题

13．已知直线1l 210y --=，2l ：0x =，则直线1l ，2l 之间的距离为______.

14．设m 为常数，若点()0,5F 是双曲线2219

y x

m --=的一个焦点，则m =________．

15．斜率为

43

的直线l 经过抛物线()2

20y px p =>的焦点()1,0F 且与抛物线交于A 、B 两点，则线段AB 的长为________．

16．已知圆22:4O x y +=与圆()2

2:48C x y -+=在第一象限内的交点为P ，过点P 的直线l 与圆O 及圆C 的另一交点分别为M ，N ．若0PM PN →

→

+=，则直线l 的斜率为______．

三、解答题

17．已知圆22:2660C x y x y +-++=，直线:10l kx y -+=． （1）求圆C 的圆心坐标和半径；

（2）若直线l 与圆C 相切，求实数k 的值．

18．在ABC ?中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()2

23a b c ab +=+． （1）求C 的值； （2）若ABC ?

c =a 、b 的值． 19．在等比数列{}n a 中，10a >，*n ∈N ，且328a a -=，又1a 、5a 的等比中项为16． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2

log 2n

n a b =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，是否存在正整数k ，使得123

1111

n

k S S S S ++++

<对任意*n ∈N 恒成立？若存在，求出正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由．

20．已知抛物线2y x =与直线()1y k x =-相交于A 、B 两点，O 为坐标原点． （1）求证：OA OB

⊥；

（2）当OAB ?时，求k 的值．

21．如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，//AB DC ，

11AA =，3AB =，4=AD ，5BC =，6DC =．

（1）求证：CD ⊥平面11ADD A ；

（2）求直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值．

22．已知椭圆()2

22:10x C y a a

+=>，焦距为．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若一直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点（A 、B 不是椭圆的顶点），以AB 为直径的圆过椭圆C 的上顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．

参考答案

1．D 【分析】

求出直线的斜率，由此可得出该直线的倾斜角. 【详解】

直线8y x =-的斜率为1-，该直线的倾斜角为135. 故选：D. 【点睛】

本题考查直线倾斜角的计算，一般要求出直线的斜率，考查计算能力，属于基础题. 2．D 【解析】

试题分析：抛物线2

8y x =化为标准方程2

18x y =

，则128=p ，所以准线方程为1

32

y =-，故答案为D ．

考点：抛物线的性质． 3．B 【分析】

根据空间向量共线定理进行求解即可. 【详解】

选项A ：若()2,3,1a =-与() 1,1,1平行，则必存在实数1λ，使得()12,3,1λ-=() 1,1,1成立，

即1

11231λλλ

=??

-=??=?

，显然1λ无实数解，故本选项不符合题意； 选项B ：若()2,3,1a =-与() 4,6,2--平行，则必存在实数2λ，

使得()22,3,1λ-=() 4,6,2--成立，即2

22224136212λλλλ

=-??

-=?=-??=-?

，故本选项符合题意；

选项C ：：若()2,3,1a =-与() 2,3,5-平行，则必存在实数3λ，使得()32,3,1λ-=()

2,3,5-

成立，即333223315λλλ

=??

-=-??=?

，显然3λ无实数解，故本选项不符合题意；

选项D ：：若()2,3,1a =-与()23,5-,-平行，则必存在实数4λ，

使得()42,3,1λ-=()23,5-,-成立，即4

44223315λλλ

=-??

-=-??=?

，显然4λ无实数解，故本选项不符合题

意； 故选：B 【点睛】

本题考查了空间向量平行的判断，考查了数学运算能力，属于基础题. 4．B 【分析】

求出线段AB 的斜率，可得出其垂线的斜率，并求出线段AB 的中点坐标，利用点斜式可得出线段AB 的垂直平分线的方程，化为一般式即可. 【详解】

线段AB 的中点坐标为()2,2-，直线AB 的斜率为()311

153

AB k -==--，

则线段AB 的垂直平分线的斜率为3-，

因此，线段AB 的垂直平分线的方程为()232y x -=-+，整理为340x y ++=． 故选：B. 【点睛】

本题考查线段垂直平分线方程的求解，要求出线段的中点坐标与垂线的斜率，考查计算能力，属于基础题. 5．D 【解析】

试题分析：∵2asinB =√3b ∴2sinAsinB =√3sinB ∴sinA =√3

2

∴A =π

3

考点：正弦定理解三角形

6．B 【分析】

利用椭圆的定义求出a ，再结合半焦距求出b 的值，从而可得出椭圆C 的标准方程. 【详解】

由题意知，椭圆C

的焦点坐标为()

， 由椭圆的定义得

2a =

=

))

11=

+

=，a

∴=，2b ==.

因此，椭圆C 的标准方程为22

164

x y +=.

故选：B. 【点睛】

本题考查椭圆标准方程的求解，在涉及椭圆的焦点时，可以充分利用椭圆的定义来求解，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【解析】

设{a n }的公差为d ，首项为a 1 ， 由题意得1132362

24

a d a d ??

+

=???+=?， 解得102a d =??=?. 本题选择C 选项. 8．C 【分析】

以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出异面直线1BA 与1B C 所成角的余弦值. 【详解】

以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间

直角坐标系A xyz -，则()10,0,1A 、()1,0,0B 、()11

,0,1B 、()0,1,0C ，

()11,0,1BA =-，()11,1,1B C =--，则()()2

11101110BA B C ?=-+?+?-=，

所以，11BA B C ⊥，因此，异面直线1BA 与1B C 所成角的余弦值为0. 故选：C. 【点睛】

本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解是解答的关键，考查计算能力，属于基础题. 9．C 【分析】

设点P 的坐标为(),x y ，可得22

12

x y =-，且有x ≤≤，然后利用平面向量数量积

的坐标运算结合二次函数的基本性质可求出OP FP ?的最小值. 【详解】

设点P 的坐标为(),x y ，则2

2

12

x y =-，且有x ≤≤，()1,0F ，()1,FP x y =-，

()222

22212

111211122O x P FP x x y x x x x x ?=-+=-+=--+=+-，

2x -≤≤1x =时，OP FP ?取得最小值12

. 故选：C. 【点睛】

本题考查椭圆中向量数量积最值的计算，涉及到椭圆的有界性，考查计算能力与函数方程思

想的应用，属于中等题. 10．B 【分析】

利用1a 和q 表示23S a 与32S a ，然后利用作差法可比较出23S a 与32S a 的大小关系. 【详解】

()

()222322*********S a S a a q q a q a q a q a q -=++?-+?=>，因此，2332S a S a <.

故选：B. 【点睛】

本题考查等比数列中相关项的大小比较，一般利用首项和公比相应的项进行表示，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 11．B 【分析】

利用勾股定理与双曲线的定义可求出12PF PF ?，结合三角形的面积公式可求出a 的值. 【详解】 由12

0PF PF ?=得12PF PF ⊥，

由勾股定理得(2

2

2

212

12100PF PF F F a +===，

由双曲线的定义得128PF PF a -=，

22

2

21212126421002a PF PF PF PF a PF PF ∴=+-?=-?，所以21218PF PF a ?=，

则12PF F ?的面积为2121

992

PF PF a ?==，0a >，解得1a =. 故选：B. 【点睛】

本题考查焦点三角形面积的计算，涉及双曲线的定义和勾股定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 12．A 【分析】

由题意首先利用几何关系找到a 、b 的比例关系，然后计算椭圆的离心率即可. 【详解】

如图所示，设椭圆的左焦点为F 1,连接PF 1，

设圆心为C ，则圆心坐标为,03c ?? ???,半径为3

b r =， ∴|F 1F |=3|FC |，

∵PQ =2QF ,∴PF 1∥QC ,|PF 1|=b ， ∴|PF |=2a ?b ，

∵线段PF 与圆相切于点Q ， ∴CQ ⊥PF ， ∴PF 1⊥PF ， ∴b 2+(2a ?b )2=4c 2，

()

2222(2)4b a b a b ∴+-=-，

3

2a b ∴=,则23

b a =，

c e a ∴===

故选：A . 【点睛】

椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a ，c ，代入公式c

e a

=

； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．

13．

2

【分析】

将直线2l 220y -+=,再利用两平行线的距离公式求解. 【详解】

直线2l 220y -+=,

则直线1l ,2l 2

=

,

故答案为【点睛】

本题考查求两平行线间的距离,注意应用公式时,两平行线方程必须是一般式方程,且,x y 的系数对应相等. 14．16- 【分析】

根据双曲线的焦点坐标可得出关于m 的等式，解出即可. 【详解】

由于点()0,5F 是双曲线22

19

y x m --=的一个焦点，则29525m -+==，解得16m =-.

故答案为：16-. 【点睛】

本题考查根据双曲线的焦点坐标求参数，考查运算求解能力，属于基础题. 15．

254

【分析】

先根据抛物线的焦点坐标得出抛物线的标准方程，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可计算出线段AB 的长. 【详解】

由于抛物线()2

20y px p =>的焦点为()1,0F ，则

122

p

p =?=， 所以，抛物线的方程为2

4y x =，设点()11,A x y 、()22,B x y ，

直线l 的方程为()413y x =-，联立()2413

4y x y x ?=-?

??=?，消去y 得241740x x -+=， 12174x x ∴+=

，121725

2244AB x x =++=+=．

故答案为：254

. 【点睛】

本题考查抛物线的焦点弦长的计算，涉及韦达定理与抛物线定义的应用，考查计算能力，属于中等题. 16

．

7

【分析】

根据题意，联立圆O 和圆C 的方程，可求出点P 的坐标，设直线l 的斜率为k ，根据直线点斜式求得直线l 的方程，利用点到直线的距离公式分别求出点O 和点C 到直线l 的距离1d 和

2d ，再由0PM PN →→+=，得出PM PN =，再根据直线与圆的弦长公式分别求出PM 和

PN ，从而可求出直线l 的斜率k .

【详解】

解：由题可知，圆2

2

:4O x y +=与圆()2

2:48C x y -+=在第一象限内的交点为P ，

联立(

)22

22

448x y x y ?+=?

?-+=??，解得：32x =，

则2y =±

，故32P ? ??

，

设直线l 的斜率为k ，则l

的方程为：322y k x ?

?-

=- ??

?， 即直线l

的方程为：2230kx y k -=，

则点O 到直线l

的距离1d =

，

点C 到直线l

的距离2d =

，

由0PM PN →

→

+=，得P 为线段MN 的中点， 则PM PN =，

又

PM =

，PN =

∴=22214d d -=，

即

(

)

2

2

225344444k k

k k -=++

，解得：7

k =

. 即直线l

.

. 【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆的弦长公式、点到直线的距离公式，以及直线的斜率和点斜式方程，考查化简运算能力. 17．（1）圆心坐标为()1,3-，半径为2；（

2）43+

或

43

-. 【分析】

（1）将圆C 的方程化为标准方程，可得出圆C 的圆心坐标和半径；

（2）利用圆心到直线l 的距离等于半径，可得出关于k 的等式，进而可解得实数k 的值. 【详解】

（1）圆C 的方程化为标准方程为：()()2

2

134x y -++=， 故圆C 的圆心坐标为()1,3-，半径为2; （2）圆心C 到直线l

2=，整理得238120k k --=

，解得43k ±=， 故实数k

． 【点睛】

本题考查圆心坐标与半径的求解，同时也考查了利用直线与圆相切求参数，考查计算能力，属于基础题. 18．（1）3

C π

=；（2）23a b =??

=?或3

2

a b =??=?．

【分析】

（1）将题干中的等式变形为222a b c ab +-=，利用余弦定理可求出cos C 的值，结合角C 的取值范围可得出角C 的值；

（2）根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a 、b 的方程组，解出即可. 【详解】

（1）将等式()2

23a b c ab +=+变形为222a b c ab +-=，

由余弦定理得2221

cos 222

a b c ab C ab ab +-===

，0C π<<，故3C π=； （2

）由题意有：2212227

ab a b ab ??

=???+-=?

，整理得22

613ab a b =??+=?，解得23a b =??=?或32a b =??=?． 【点睛】

本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了利用余弦定理和三角形面积求边长，考查运算求解能力，属于基础题.

19．（1）12n n a +=；（2）存在，且k 最小值为2．

【分析】

（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意求出3a 和2a 的值，即可求出q 的值，然后利用等比数列的通项公式可得出数列{}n a 的通项公式； （2）求出n b 与n S ，利用裂项求和法求出123

1111

n

S S S S ++++

，可得出该代数式的取值范围，由此可得出正整数k 的最小值. 【详解】

（1）设数列{}n a 的公比为q ，由题意可得2

310a a q =>，故316a =，

328a a -=，28a ∴=，3

2

2a q a ∴=

=，122112822n n n n n a a q a q ---+∴===?=； （2）

2log 2n n b n ==，()

1212

n n n n S b b b +∴=++

+=

． ()1211211n S n n n n ??==- ?++??

， 123

11111111111112212122334

11n S S S S n n n ???

?∴

++++

=-+-+-++

-=-< ? ?++????

， 因此，正整数k 的最小值为2． 【点睛】

本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了数列不等式的恒成立问题，涉及等差数列的前n 项和以及裂项求和法的应用，考查计算能力，属于中等题. 20．（1）见解析；

（2）16

k =±. 【分析】

（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算计算出0OA OB ?=，即可证明出OA OB ⊥； （2）由题意得出OAB ?的面积为121

2

OAB S y y ?=-=代入韦达定理即可求得k 的值. 【详解】

（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，

若0k =，则抛物线2y x =与直线()1y k x =-只有一个交点，所以，0k ≠，

联立方程()2

1y x y k x ?=??=-??，消去x 得2

0ky y k --=，则有121y y =-．

因为211y x =，2

22y x =，所以()2

12121x x y y ==．

所以1212110OA OB x x y y ?=+=-=，故OA OB ⊥；

（2）由题可知直线经过点()1,0N ，则OAB ?可拆分为OAN ?和ONB ?． 所以121211

22

AOB OAN OBN S S S ON y y y y ???=+=

?-=-．

因为121

y y k

+=

，121y y =-，所以12y y -==

所以当AOB S ?==16k =±． 【点睛】

本题考查直线与抛物线的综合问题，涉及两直线垂直的证明以及利用三角形的面积求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题. 21．（1）证明见解析；（2）6

7

. 【分析】

（1）取CD 的中点E ，连接BE ，证明出四边形ABED 为平行四边形，由此可得出BCE ?各边边长，利用勾股定理逆定理可证明出BE CD ⊥，进而得出CD AD ⊥，再由侧棱1AA ⊥底面ABCD ，可得出1CD AA ⊥，利用线面垂直的判定定理可证明出CD ⊥平面11ADD A ； （2）以D 为原点，DA 、DC 、1DD 的方向为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，计算出平面1AB C 的一个法向量，利用空间向量法可求出直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值． 【详解】

（1）取CD 的中点E ，连接BE ．

//AB DE ，3AB DE ==，∴四边形ABED 为平行四边形， //BE AD ∴且4BE AD ==．

在BCE ?中，

4BE =，3CE =，5BC =，222BE CE BC ∴+=，90BEC ∴∠=，即

BE CD ⊥，又//BE AD ，所以CD AD ⊥．

1AA ⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD ，1AA CD ∴⊥．

又1AD AA A ?=，

CD

平面11ADD A ；

（2）以D 为原点，DA 、DC 、1DD 的方向为x 、y 、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()4,0,0A ，()0,6,0C ，()14,3,1B ，()14,0,1A ，

所以()4,6,0AC =-，()10,3,1AB =，()10,0,1AA =．

设平面1AB C 的法向量(),,n x y z =，则由1

0AC n AB n ??=???=??，得46030x y y z -+=??+=?，

取2y =，得()3,2,6n =-． 设直线1AA 与平面1AB C 所成角为θ， 则111

6

sin cos ,7

36n AA AA n n AA θ?==

=

=?．

因此，直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67

. 【点睛】

本题考查直线与平面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

22．（1）22

13

x y +=；（2）存在，直线l 过定点10,2??- ???．

【分析】

（1）根据椭圆的焦距求出a 的值，进而可得出椭圆的标准方程；

（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，根据以AB

为直径的圆过椭圆C 的上顶点()0,1Q ，得0QA QB ?=，利用平面向量数量积的坐标运算，并代入韦达定理，可得出

k 与m 所满足的等式，即可得出直线l 所过定点的坐标. 【详解】

（1）设椭圆C 的焦距为2c ，有2c =，1c <，所以，椭圆的焦点在x 轴上，

得c =2

12a -=

，得a =C 的标准方程为2

213

x y +=；

（2）由方程组22

1

3y kx m x y =+???+=??，得()22

13x kx m ++=， 即222

12103k x kmx m ??+++-= ???

． ()22222211144140333k m k m k m ???

??=-+-=-+> ? ????

?，即22310k m -+>．

设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，

则122613km x x k +=-+，()

212231

13m x x k

-=+，()121222213m y y k x x m k ∴+=++=+， ()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++()2222222

2

22

3163131313k m k m m k m k k k --=

-+=+++． 以AB 为直径的圆过椭圆的上顶点()0,1Q ，AQ BQ ∴⊥，即0QA QB ?=， 即()()()112212122111

1QA QB x x x y y x y y y y +?=+-+--=+(

)22

222

222

3132422

1013131313m m

k m m m k k k k

----=

+-+==++++， 化简得2210m m --=，1m ∴=或1

2

m =-

． 当1m =时，直线:1l y kx =+过定点()0,1Q ，与已知矛盾．

当12m =-时，满足22310k m -+>，此时直线l 为12y kx =-过定点10,2??- ???. ∴直线l 过定点10,2?

?- ??

?．

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点问题，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，考查运算求解能力，属于中等题.