《一次函数和几何图形综合》专题

《一次函数与几何图形综合》专题

总论：函数与几何是初中数学中的重点内容,是中考命题重点考查的内容之一；函数中的几何问题，能使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化；由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖，能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法，因而成为近几年各地中考的一类热门试题；

函数知识与几何知识有机结合的综合题，根据构成命题的主要要素可分为以下两类：

一类是几何元素间的函数关系问题（这类问题不妨称简称为“几函”问题），这类问题的特点是：根据已知几何图形间的位置和数量关系（如平行、全等、相似，特别是成比例）建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系，求出函数关系式，运用函数的性质解决几何图形中的问题；

另一类是函数图像中的几何图形的问题（如三角形、四边形，特别是圆）（这类问题不妨简称为“函几”问题），这类问题的特点是：根据已知函数图像中的几何图形的位置特征，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题。

一次函数与几何综合题是八年级学生初次接触一种用代几综合解决问题的方法，这种方法和能力是九年级解决中考压轴题所必须具备的。

1.代数

（1）表达什么函数（包括其系数的代数意义、几何意义、物理意义）

（2）显现怎样的图形（自身、与坐轴、与其他图形）（3）既是一个方程，也是一个坐标

4）藏有那些数据，含有什么些关系（5）要建立某种代数关系缺少那些数据

2.几何

（1）基本图象有几个（2）图象之间有怎样关系（3）图象与所要证明（求解）的结论怎样的关联（4）要建立图象与图象之间的关系缺少那些数据

3.代数与几何

（1）代数（几何）在那些地方为几何（代数）提供了怎样的数据

（2）几何（代数）通过什么方式为几何（代数）提供关系式

（3）怎样设数据（坐标或线段长）

函数与几何综合题的解题思想方法：

“函几问题”与“几函问题”涉及的知识面广、知识跨度大、综合性强，应用数学方法多、纵横联系较复杂、结构新颖灵活、注重基础能力、探索创新和数学思想方法，它要求学生有良好的心理素质和过硬的数学基本功，能从已知所提供的信息中提炼出数学问题，从而灵活地运用所学知识和掌握的基本技能创造性的解决问题，正因如此，解决这类问题时，要注意解决问题的策略，常用的解题策略一般有以下几种：

1.综合使用分析法和综合法。就是从条件与结论出发进行联想、推理，“由已知得可知”，“从要求到需求”，通过对问题的“两边夹击”，使它们在中间的某个环节上产生联系，从而使问题得以解决。

2.运用方程的思想。就是寻找要解决的问题中量与量之间的等量关系，建立已知量与未知量间的方程，通过解方程从而使问题得到解决；在运用这种思想时，要注意充分挖掘问题的的隐藏条件，寻找等量关系建立方程或方程组；

3.注意使用分类讨论的思想（函数方法）。函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽

象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．函数与几何结合的综合题中往往注意考查学生的分类讨论的数学思想，因此在解决这类问题时，一定要多一个心眼儿，多从侧面进行缜密地思考，用分类讨论的思想探讨出现结论的一切可能性，从而使问题的解答完整无遗。

4.用数形结合的思想。数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．在中学数学中，“数”与“形”不是孤立的，它们的辩证统一表现在：“数”可以准确地澄清“形”的模糊，而“形”能直观地启迪“数”的计算；使用数形结合的思想来解

5.运用转化的思想。转化的数学思想是解决数学问题的核心思想，由于函数与几何结合的问题都具有较强的综合性，因此在解决这类问题时，要善于把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”化为“已知”，把“抽象”的问题转化为“具体”的问题，把“复杂”的问题转化为“简单”的问题，可以大胆地说，不掌握转化的数学思想，就很难正确而全面地解决函数与几何结合的综合问题。

知识规律小结 ：

（1）常数k ，b 对直线y=kx+b(k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点；

当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即-k

b

＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b=0时，即-

k

b

=0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即-k

b

﹤0时，直线与x 轴负半轴相交．

③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；

当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b=0时，图象经过第二、四象限；

当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限．

（2）直线y=kx+b （k ≠0）与直线y=kx(k ≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0)

当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ； 当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ． （3）直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2?y 1与y 2相交；

②???=≠21

21b b k k ?y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）；

③??

?≠=2121,b b k k ?y 1与y 2平行； ④??

?==2

121,

b b k k ?y 1与y 2重合.

例题精讲：

1.已知，如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为（0，24），经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B坐标为（18，6）．

（1）求直线l1，l2的表达式；

（2）点C为线段OB上一动点（点C不与点O，B重合），作CD∥y轴交直线l2于点D，过点C，D分别向y轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF．

①设点C的纵坐标为a，求点D的坐标（用含a的代数式表示）；

②若矩形CDEF的面积为108，求出点C的坐标．

当a =3时，3a =9 ∴C 点坐标为（9，3）

2．如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。

（1）当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式；

（2）在(1)的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=4，BN=3，求MN 的长。

(3)当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。

3.如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+（1）求直线2l 的解析式；（3分）

（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E,过点C 作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF

（3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交

04)2a 2=-+-b （.

(1)求直线AB 的解析式；

(2)若点M 为直线y =mx 上一点，且△ABM 是以AB 为底的等腰直角三角形，求m 值； (3)过A 点的直线k kx y 2-=交y 轴于负半轴于P ，N 点的横坐标为-1，过N 点的直线2

2k x k y -=交AP 于点M ，试证明

PN

PM -的值为定值．

点评：本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形性质，用待定系数法求正比例函数的

解析式，全等三角形的性质和判定，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．

5. 如图，直线AB 交X 轴负半轴于B （m ，0），交Y 轴负半轴于A （0，m ），OC ⊥AB 于C （-2，-2）。 (1求m 的值；(2直线AD 交OC 于D ，交X 轴于E ，过B 作BF ⊥AD 于F,若OD=OE ，求

AE

BF

的值； (3如图，P 为x 轴上B 点左侧任一点，以AP 为边作等腰直角△APM ，其中PA=PM ，直线MB 交y 轴于Q ，当P 在x 轴上运动时，线段OQ 长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由。

解答：（1）设直线AB 的方程为y=kx+m ，将点（m,0）代入方程得k= -1，则方程可写为y= -x+m

再将点C(-2,2)代入方程得-2＝(-1)×(-2)+m,即m= -4

-4

m 2CG OG GB ,,45OA

OB G OB C =∴===∴???∴?=∠∴?∴=都是等腰直角三角形

为等腰直角三角形的垂线，垂足为作过OCB CGO CGB CBO AOB

（2）直线AD 交OC 于D ，交X 轴于E ，过B 作BF ⊥AD 于F,若OD=OE ，求

AE

BF

的值；

2

1

BF 2BF BH BF AE BF 2BH BF BH AE BH ASA AOE BOH 90AOE BOH AO BO EAO HBO AOE BOH )(BF ASA AFH AFB )(AF AF 90AFH AFB AFH AFB FEB ADC )(OED FEB ODE

OED OD OE FAH HBO ===∴

=+==∴???∴??

?

???=∠=∠=∠=∠??=∴???∴??

?

??∠=∠=?=∠=∠??∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∠=∠∠=∠∴=∠=∠BF

HF FAH BAF FAH CAD CAD HBO ODE ADC 等）（全等三角形对应边相）

（（已知）（已证）中，和在全等三角形对应边相等）

（已证（公共边）中和在对顶角相等，（同角的余角相等）

（3）如图，P 为x 轴上B 点左侧任一点，以AP 为边作等腰直角△APM ，其中PA=PM ，直线MB 交y 轴于Q ，当P 在x 轴上运动时，线段OQ 长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由。

线段OQ的长度不变

如图，过P作x轴的垂线交AB的延长线为N，PM=PA,PB=PN,∠NPA=∠BPM,

△NPA≌△BPM（边角边），则有∠PMB=∠PAN=∠PAB，

由题意可知∠OA B=∠ABO=45°，∠OA P+∠APO=∠OA B+∠PAB+∠APB=90°＝∠MPA，在△PMB中∠PMB+∠MBP+∠MPB=∠PMB+∠MBP+∠MPA+∠APB=180°

∠PMB+∠MBP+∠APB=180°-∠MPA=90°

∠MBP=90°-∠PMB-∠APB=90°-∠PAB-∠APB=90°-(90°-∠OAB)＝45°

所以∠MBA=180°-∠ABO-∠MBP=180°-45°-45°=90°

故直线MB与直线AB互相垂直，所以线段OQ值不变（直线AB固定）。

向左转|向右转

6.在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b 的图像过点B （-1，

2

5

），与x 轴交于点A （4,0），与y 轴交于点C ，与直线y=kx 交于点P ，且PO=PA （1）求a+b 的值；（2）求k 的值；

（2）（3）D 为PC 上一点，DF ⊥x 轴于点F ，交OP 于点E ，若DE=2EF ，求D 点坐标.

y=

2

x+2， 解方程组得：x=2，y=1，k=21 ∴k 的值是2

1； （3）设点D （x ，-21x+2），则E （x ，2

1

x ），F （x ，0），

∵DE=2EF ， ∴-

21x+2-21x=2×2

1

x ， 解得：x=1，

则-

21x+2=-21×1+2=2

3， ∴D （1，2

3

）．

点评：本题要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系．

7. 在直角坐标系中，B 、A 分别在x ，y 轴上，B 的坐标为（3，0），∠ABO=30°，AC 平分

∠OAB 交x 轴于C ；

(1)求C 的坐标 (2若D 为AB 中点，∠EDF=60°，证明：CE+CF=OC (3)若D 为AB 上一点，以D 作△DEC ，使DC=DE ，∠EDC=120°，连BE ，试问∠EBC 的度数

是否发生变化；若不变，请求值。

. 在直角坐标系中，B 、A 分别在x ，y 轴上，B 的坐标为（3，0），∠ABO=30°，AC 平分

∠OAB 交x 轴于C ；

解：∵∠AOB=90° ∠ABO=30°

∴∠OAB=30°

又 ∵ AC 是∠OAB 的角平分线 ∴∠OAC=∠CAB=30° ∵OB=3

∴OA=3 OC=1

即 C(1，0)

（1）若D 为AB 中点，∠EDF=60°，证明：CE+CF=OC 证明：取CB 中点H ，连CD,DH ∵ AO=

3 CO=1

∴AC=2

又∵D,H 分别是AB,CD 中点

∴DH=AC 21

AB=23

∵ DB=2

1

AB=3 BC=2 ∠ABC=30°

∴ BC=2 CD=2 ∠CDB=60° CD=1=DH

∵ ∠EOF=∠EDC+∠CDF=60 ° ∠CDB=∠CDF+∠FDH=60° ∴∠EDC=∠FDH

∵AC=BC=2

∴CD ⊥AB ADC=90° ∵∠CBA=30° ∴∠ECD=60° ∵HD=HB=1 ∴∠DHF=60°

在△DCE 和 △DHF 中

∠EDC=∠FDH

∠DCE=∠DHF

DC=DH

∴△DCE ≌ △DHF(AAS) ∴CE=HF

∴CH=CF+FH=CF+CE=1 OC=1 ∴CH=OC ∴OC=CE+CF

（2）若D 为AB 上一点，以D 作△DEC ，使DC=DE ，∠EDC=120°，连BE ，试问∠EBC 的度数是否发生变化；若不变，请求值。 解：不变 ∠EBC=60° 设DB 与CE 交与点G

DC=DE ∠EDC=120° ∴∠DEC=∠DCE=30° 在△DGC 和△ DCB 中 ∠CDG=∠BDC ∠DCG=∠DBC=30

∴△DGC ∽ △DCB ∴

DG DC =DC DB

DC=DE ∴

DG DE =DE

DB

在EDG 和BDE 中

DG DE =DE

DB

∠EDG=∠BDE

∴△EDG ∽ △BDE

∴∠DEG=∠DBE=30°

∴∠EBD=∠DBE+∠DBC=60°

8.如图，直线AB 交x 轴正半轴于点A （a ，0），交y 轴正半轴于点B （0， b ），且a 、b 满足

4 a + |4－b |=0

（1）求A 、B 两点的坐标；

（2）D 为OA 的中点，连接BD ，过点O 作OE ⊥BD 于F ，交AB 于E ，求证∠BDO =∠EDA ；

（3）如图，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt △PBM ，其中PB =PM ，直线MA 交y 轴于

点Q ，当点P 在x 轴上运动时，线段OQ 的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ 的取值范围.

9.如图，平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 、y 轴上，点B 的坐标为(0，1)，∠BAO =30°． （1）求AB 的长度；

（2）以AB 为一边作等边△ABE ，作OA 的垂直平分线MN 交AB 的垂线AD 于点D ．求证：BD =OE ． （3）在（2）的条件下，连结DE 交AB 于F ．求证：F 为DE 的中点．

AFD 中，

∠EHF=∠DAF ，∠EFH=∠DFA ，EH=AD ∴△HFE ≌△AFD ， ∴EF=DF ．

∴F 为DE 的中点．

点评：本题主要考查全等三角形与等边三角形的巧妙结合，来证明角相等和线段相等．

10.如图，直线y=

3

1

x+1分别与坐标轴交于A 、B 两点，在y 轴的负半轴上截取OC=OB. (1)求直线AC 的解析式；

(2)在x 轴上取一点D （-1，0），过点D 做AB 的垂线，垂足为E ，交AC 于点F ，交y 轴于点G ，求F 点的坐标；

(3过点B 作AC 的平行线BM ，过点O 作直线y=kx （k ＞0），分别交直线AC 、BM 于点H 、I ，试求AB

BI AH +的值。

解：(1)

∵ 直线

y=

3

1

x+1分别与坐标轴交于A 、B 两点 ∴ 可得点A 坐标为（-3，0），点B 坐标为（0，1） ∵ OC=OB

∴ 可得点C 坐标为（0，-1） 设直线AC 的解析式为y=kx+b

将A （-3，0），C （0，-1）代入解析式

-3k+b=0且b=-1可得k=-31

，b=-1 ∴ 直线AC 的解析式为y=3

1

x-1

(2)在x 轴上取一点D （-1，0），过点D 做AB 的垂线，垂足为E ，交AC 于点F ，交y 轴于点G ，求F 点的坐标；

解：∵ GE ⊥AB ∴ k k

1E G A B

?=-

∴

11k ==3

GE --

设直线GE 的解析式为'

y=-3x+b

将点D 坐标（-1，0）代入，得'

y=-3b 0?(-1)+= ∴ '

b 3=-

∴ 直线GE 的解析式为y=-3x-3

联立y=3

1x-1与y=-3x-3，可求出

34x =-， 将其代入方程可得y=34-，

∴ F 点的坐标为（34-，3

4-）

(3)过点B 作AC 的平行线BM ，过点O 作直线y=kx （k ＞0），分别交直线AC 、BM 于点H 、I ，试求AB

BI

AH +的值。

解：过点O 作AC 的平行线ON 交AB 于点N ∵BM//AC

∴OI OB

OH

OC =

∵OB=OC

∴OI=OH

∴O 为IH 的中点 ∵BM//AC

∴=NB

OI NA OH

∵ OI=OH

∴ NB=NA

∴ N 为AB 中点

∴ ON 是四边形ABIH 的中位线 ∴ AH+BI=2ON

∵ N 是AB 的中点，?AOB 是直角三角形

∴ AB=2ON （直接三角形斜边的中线等于斜边的一半） ∴ AH+BI=AB ∴AB

BI

AH +=1

11.如图，直线AB：y=-x-b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且

OB：OC=3：1.

（1）求直线BC的解析式；

（2）直线EF：y=kx-k（k≠0）交AB于E，交BC于点F，

交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得S△EBD=S△FBD？

若存在，求出k的值；若不存在，说明理由？

（3）如图，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发生变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。

考点：一次函数综合题；一次函数的定义；正比例函数的图象；待定系数法求一次函数解析式．

∴△AHQ是等腰直角三角形，

∴∠QAH=45°，

∴∠OAK=45°，

∴△AOK为等腰直角三角形，

∴OK=OA=6，

∴K（0，-6）．

点评：此题是一个综合运用的题，关键是正确求解析式和灵活运用解析式去解．