空间坐标法解立体几何专题

空

例1（2011届景德镇市二检卷文19）正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为6，侧棱长为4，E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点 （1）求证：平面EF B 1⊥平面11BDD B （2）求点1D 到平面EF B 1的距离d

知识点：怎样用向量表示点到平面的距离？

如图，PO ⊥α于O ，A 是平面α内任意一点，点P 到 平面α的距离设为d ，n 为平面α的一个法向量，则有：

==||PO d θcos ||PA |

|n =

|

|n =

例1解：怎样用坐标法求点到平面的距离？ 例1第2问

如图建立空间坐标系，分析：要求点1D 到平面

EF B 1的距离d ，由公式：d |

|11n =

，

只要求出11B D 的坐标和平面EF B 1的一个法向 量坐标，11B D 坐标很好求，因为1D 坐标为：

（0，0，4），1B 坐标为（6，6，4），所以11B D 坐标为：（6，6，0）； 下面求平面EF B 1的一个法向量n 坐标 分析：如何求平面的一个法向量坐标？

根据法向量的含义，法向量和平面垂直，故法向量和平面内任何一条直线都垂直，根据直线

和平面垂直的判定定理，知道只要和两个不共线的向量垂直即可，在本题中可推出法向量n ⊥E B 1，F B n 1⊥，所以01=?E B n ，01=?F B n ，由于1B 坐标为（6，6，4），E 坐标为（3，6，0），F 坐标为（6，3，0），所以E B 1的坐标为：（3-，0，4-），F B 1的坐标为：

（0，3-，4-），利用坐标法，得到：?

??=--=--0430

43z y z x ，由于法向量有长有短，方向可以

朝上，还可以朝下，所以法向量有无数多个，但法向量不可以是零向量，故z 不能取0，为简单起见，可取3=z ，得：4-=x ，4-=y ，所以法向量=4(-，4-，3） 代入公式d |

|11n =

，得点1D 到平面EF B 1的距离为：

4141

48

41

483)4()4(|

30)4(6)4(6|2

22=

=

+-+-?+-?+-?=

d 例2（2010全国卷一6）直三棱柱111C B A ABC -中，若?=∠90BAC ，1AA AC AB ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（ ）

A.30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

知识点：怎样用向量表示两条异面直线所成的角？

=θcos cos |a <，>b ||

|||b a =

例2解：怎样用坐标法求两条异面直线所成的角？ 解答例2：

如图建立空间坐标系，设异面直线1BA 与1AC 所成的角为θ， 则|

|||cos 1111AC BA =

θAB=a ，易求点B 坐标：（0，a ，)0，

点1A 坐标：0(，0，a ），点A 坐标：（0，0，0），点1C 坐标：

a (，0，a ），所以

0(1=BA ，a -，a ）

，=1AC a (，0，a ） 21

20)(0|00|cos 222222

22==+++-+?+?-?=

a

a a a a a a a a a θ

∴?=60θ 故选C

例3（2010江西卷20）如图，BCD ?与MCD ?都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平

面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB =（1）求直线AM 与平面BCD 所成的角的大小；

（2）求平面ACM 与平面BCD 所成的二面角的正弦值.

知识点：怎样用向量表示直线和平面所成的角？ 见右下图，设直线PA 和平面α所成的角为θ，则

θAPO ∠-?=90，而PAO ∠可看成向量和向量PO 的夹角，n 为平面α的一个法向量，显然与向量共线，故法向量和向量的夹角与向量PA 和向量PO 的夹角相等或互补，即<，>=<，>或<-π，>n ，所以

)90sin(sin APO ∠-?=θ

APO ∠=cos

<=cos ，>

<=cos |，>|

|

|||n PA =

例3解：怎样用坐标法求直线和平面所成的角？ 例3的第（1）问

如图建立空间坐标系，设直线AM 与平面BCD

所成的角的大小为θ， ∵AB ⊥平面BCD

∴BA 是平面BCD 的一个法向量 故|

|||sin BA AM =

θ点A 坐标：（0，0，32）

点B 坐标：（0，0，0） 点M 坐标：（

23，2

3

，3） （注明：先作MO ⊥CD 于O ，过点C 作CE ⊥BD 于E ，CG ⊥y 轴于G ，过点O 作OF ⊥BD

于F ，OH ⊥y 轴于H ，再利用坐标定义求出点M 坐标） 于是23(

=，2

3，3-)，=（0，0，32） ∴2

22222)32(00)3()2

3()23(|

323023

023|

sin ++-++?-?+?=θ1266=

22= ∴?=45θ

知识点：怎样用向量表示二面角平面角？

如图：PA ⊥平面α，PB ⊥平面β，则PA ⊥l ，PB ⊥l ， 所以l ⊥平面PAB ，设平面PAB 向四周延展后交l 于点C ，并 连CA 、CB ，则有：CA ⊥l ，CB ⊥l ，故∠ACB 是二面角 平面角；

另一方面，四边形PBCA 内角和等于360°，而 ∠CBP =∠CAP=90°，所以二面角平面角∠ACB 与∠APB 互补作向量PB ，向量PA ，则∠APB 等于向量PB 、向量 PA 的夹角

设1n 、2n 分别是平面α、β的法向量，它们的夹角

1n <，>2n 与<，>相等或互补

设二面角平面角的大小为θ，则θ=1n <，>2n 或θ=-π1n <，>2n 例3解：怎样用坐标法求二面角的大小？ 例3的第（2）问

求平面ACM 与平面BCD 所成的二面角的正弦值. 分析：容易知道平面BCD 的一个法向量为1n =（0，0，1） 所以只要求平面ACM 的法向量坐标即可。

设平面ACM 的法向量x n (2=，y ，z ），由2n ⊥，

2n ⊥可得2n ·=0，2n ·=0，

而A （0，0，32），M （

23，2

3

，3），C 1(，3，0）

AM 23(=，

23，3-)3(2

3

=，1，2- ) 1(=，3，32-)

所以???=-+=-+0

3230

23z y x z y x 消x ，得z y 2=，取1=z ，得2=y ，0=x

∴0(2=n ，2，1） ∴1cos n <，>2n =

5

55

11

12000=

??+?+? ∴平面ACM 与平面BCD 所成的二面角的正弦值为

5

5

2。 例4（2010重庆卷20）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，

PA ⊥底面ABCD ，

PA AB =，点E 是棱PB 的中点.

（1）证明：AE ⊥平面PBC ；

（2）若1AD =，求二面角B EC D --的平面角的余弦值. 例4解：（1）证明：如图建立空间坐标系，设AD a = A （0，0，0），E （0，

22，2

2

），P （0，0，2） B （0，2，0），C （a ，2，0）=AE （0，

22，2

2

）， =（0，2，)2-，=（a ，0，0）

∴?AE PB 0)2(22

22200=-?+?+

?= ?AE 002

202200=?+?+

?= ∴AE ⊥PB ，AE ⊥BC

而 PB ∩BC =B

∴AE ⊥平面PBC

（2）∵AE ⊥平面PBC ，=（0，

22，2

2） ∴平面BEC 的一个法向量0(1=n ，1，1）

设平面DEC 的一个法向量x n (2=，y ，z ） E （0，

22，2

2），C （1，2，0），D （1，0，0） ∴1(=ED ，22-

，2

2

-）2(22=，1-，)1-

0(=，2，0）(2=0，1，0）

由?2n 0=， ?2n 0=，得：

?

?

?==--00

2y z y x ∴x z 2=

取1=x ，得2=

z

∴1(2=n ，0，2） ∴1cos n <，2n 3

22

10110??+?+?>=

3

3

=

∵二面角B EC D --的平面角为钝角 ∴二面角B EC D --的平面角的余弦值为3

3-

。 例5（2011届景德镇市二检卷理19）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，平面⊥PAB 平面ABCD ，PB PA =，M 为PC 上的点，⊥MB 平面PAC 。 （1） 求平面ABC 与平面PAC 夹角的正弦值； （2） 求点D 到平面PAC 的距离。

例5解：∵平面⊥PAB 平面ABCD ，作PO ⊥AB ，则PO ⊥平面 ABCD ，以O 为坐标原点建立空间坐标系，见右下图 设PO h =，λ=，则P （0，0，h ）， A （0，1-，0），B （0，1，0）， C （2，1，0）， 0(=PB ，1，)h -，=AP （0，1，h ）

， 2(=PC ，1，)h -，=AC （2， 2，0） λ=（2，1，)h -λ2(=，λ，)h λ- =-

λ2(=，λ，)h λ-0(-，1，)h -

=λ2(，1-λ，)h h λ-

∵⊥MB 平面PAC 。

∴BM 0=?AC ，BM 0=?AP 即：??

?=?-+?-+?=?-+?-+?0

)(1)1(020

0)(2)1(22h h h h h λλλλλλ

解得：3

1

=

λ，1=h （1）∵PO ⊥平面ABCD

∴平面ABC 的一个法向量=1n （0，0，1） 又∵⊥MB 平面PAC ，BM

=λ2(，1-λ，)h h λ-3

2(=，3

2-，)3

2(3

2=1，1-，1）

∴平面PAC 的一个法向量=2n （1，1-，1） ∴1cos n <，>=

2n 3

33

1=

∴平面ABC 与平面PAC 夹角的正弦值为

3

6。 （2）∵=DC （0，2，0） ∴点D 到平面PAC 的距离|

|22n d =

3

|

10)1(210|?+-?+?=

3

3

2=