线性规划在运输问题中的应用

摘要：运输问题是运筹学和物流管理中非常重要的一个分支。为了令企业更快更好地编制运输方案，既能满足实际需求而又使总费用最少，提出了如何利用现有资源实现运输的最优化控制问题，通过实例以及运用WinQSB2.0软件包进行计算机模拟仿真计算，说明该问题研究的科学性、可靠性及其应用价值，，实现运输问题最优化求解的程序化运行。这样既缩短了运输公司对货物数量分配的研究时间，又为运输问题的决策提供了可靠的理论和实践指导。

关键词：运输问题数学模型线性代数表上作业法WinQSB2.0

一、引言

对企业来说，生产决策的主要目标是：在现有条件下，如何最有效地利用人力、物力、财力等各种资源，以取得最大的经济效益。[2]在物资短缺年代，企业可以靠扩大产量、降低制造成本去攫取第一利润。在物资丰富的年代，企业又可以通过扩大销售攫取第二利润。可是在新世纪和新经济社会，第一利润源和第二利润源已基本到了一定极限，目前剩下的一"未开垦的处女地"就是运输。降价是近几年家电行业企业之间主要的竞争手段，降价竞争的后盾是企业总成本的降低，即功能、质量、款式和售后服务以外的成本降价，也就是降低运输成本。

国外的制造企业很早就认识到了货运是企业竞争力的法宝，搞好运输可以实现零库存、零距离和零流动资金占用，是提高为用户服务，构筑企业供应链，增加企业核心竞争力的重要途径。在经济全球化、信息全球化和资本全球化的21世纪，企业只有建立现代货物运输结构，才能在激烈的竞争中，求得生存和发展。在此，运输对企业的重要性可窥一斑。

日常生活中，人们经常需要将某些物品由一个空间位置移动到另一个空间位置，这就产生了运输，如何判定科学的方案，使运输所需的总费用最少，就是运输的最优化决策问题。运输的最优化决策问题可以建立相应的数学模型，即通过数学运算进行解决。

二、研究现状

虽然表上作业法是简便、明了而有效，但是这个模型所得出的数据仅符合理想状态下，因为它考虑到的因素只有产地的数目、各产地的产量、销地的数目和个销地的销量，它没有真正地将货物在运输过

程中所遇到的不同状况计算进去，例如天气和路况等等。而且运输问题仅针对了企业中的运输支出进行分析解决，并没有从定量角度分析和动态角度思考、研究企业宏观的生产决策问题

三、文献回顾

刘茂华（2007）[3]：线性规划主要应用于解决最优化问题。根据运输问题的基本特征，通过实例对运输问题进行了优化分析，建立了运输问题的线性规划数学模型。将模型应用于一些特殊的运输问题，从而得到最优化的方案，提高了实际运输工作中的经济效益。运输问题关心的是以最低的总配送成本把供应中心(出发地)的任何产品运送到每一个接收中心(目的地)。每一个出发地都有一定供应量配送到目的地，每一个目的地都需要一定的需求量。

党晶（2011）[4]：运输问题是运筹学和物流管理中非常重要的一个分支。为了帮助现代物流公司更快更好地编制运输方案，既能满足实际需求而又使总费用最少，提出了如何利用现有资源实现运输的最优化控制问题，通过运用运筹学中有关数学模型的知识，实现运输问题最优化求解的程序化运行。这样既缩短了运输公司对货物数量分配的研究时间，又为运输问题的决策提供了可靠的理论和实践指导。

蒋翔，罗蔓，张丽君（2007）[5]：运输问题在工商管理中有着广泛的应用，可用单纯形法求解，但其结构上有特殊性，巧用管理运筹学的表上作业法求解更简单有效，从而节约计算时间和费用。

张家善（2010）[6]：随着2009年全国“两会”将物流业作为“十大振兴产业”之一，物流业的发展越来越受到重视。据数据统计，在机电产品的生产过程中，加工时间仅占10% 左右，而物流时间却占90% ，很大一部分生产成本消耗在物流过程中，运杂费接近总物流费用的50% 。因此，运输成了降低物流费用最有潜力的领域，它是物流活动的核心。在运输中，如何组织产品运输使运输费用最省，成为问题的关键。

四、相关概念介绍

4.1 表上作业法

表上作业法是求解运输问题的一种简便、明了而又有效的方法，求解过程在运输表上进行，它明显的优点在于能够直观地从表格中展示出数据。这是一种迭代求解法，迭代步骤为

第一步：按某种规划找出一个初始基可行解。

第二步：对现行解作最优性判断，即求各非基变量的检验数，判

别时候达到最优解。如已是最优解，则停止计算；如不是最优解，则进行下一步骤。

第三步：在表上对初始方案进行改进，找出新的基可行解，再按第二步进行判别，直至找出最优解。=

4.2 WinQSB2.0应用软件介绍

QSB是Quantitative Systems for Business的缩写，早期版本的操作系统在DOS下运行，WinQSB2.0是在Windows操作系统下运行的。WinQSB2.0是一种教学软件，对于非大型的问题一般都能计算，较小的问题还能演示中间的计算过程，特别适合多媒体课堂教学。

该软件可应用于管理科学、决策科学、运筹学及生产运作管理等领域的求解问题。

本文章运用了其中的Network Modeling程序，缩写为Net，名称是网络模型，应用范围为运输、指派、最大流、最短路、最小支撑树、货郎担等问题。

4.3 运输问题

运输问题的典型数学语言表述为：某种物品有m个产地A1，A2，…，Am，各产地的产量是a1，a2，…，a m；有n个销地B1，B2，…，B n，各销地的销量分别为b1,b2,…,b n,假定从产地A i(i=1,2，…，m)向销地B j(j=1,2,…, n)运输单位物品的运价是c ij，问怎样调运这些物品才能使运费最少？

从运输问题的典型数学模型可见，运输问题是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。但由于这类问题的模型结构比较特殊，一种较单纯形法更为简便的表上作业法更适合使用。

运输问题是泛指一类问题，这类问题不仅在物资调运中经常遇到，且在其他工作中也会有类似情况出现，如机床加工零件是，如何分配m台机床和n种零件，使总加工费用最少。

五、运输问题模型应用分析

某混凝土构件公司有3个碎石生产厂，供应4个搅拌站碎石。各碎石生产厂的产量和各搅拌站的碎石需求量以及每个碎石生产厂到

（1）由于总产量和总销量均为1400，故知这是一个产销平衡运输问题。

用ij

x 表示由第i 个产地运往第j 个销地的产品数量，即可写出该问题的数学模型： 34333231242322211413121164532576723in x x x x x x x x x x x x z m +++++++++++=

500

14131211=+++x x x x 60024232221=+++x x x x 30034333231=+++

x x x x

600312111=++x x x

400322212=++x x x

200332313=++x x x

200342414=++x x x

4,3,2,1j 3210ij

==≥；，，，i x

（2）利用表上作业法求解以上线性规划模型，通过WinQSB 软件Network Modeling 模型运算求解如下表所示：

（3）按照例题的表格分别输入数据，如表2所示

表1

（4）选择Solve the Problem（只求出最优解），结果如表3所示

表3

（5）点击菜单栏Result-Graphic Solution,以网络图形式显示结果，如表4所示

表4 （6）最优运输方案，由求解结果可知，最优运输方案为产地A1给销地B1运100，给销地B2运400；产地A2给销地B1运200，给销地B3运200，给销地B4运200；产地A3给销地B1运300，总运输量最小为3600.

六、结论

通过上例分析，我们可以很清楚地了解线性规划、运输问题及其表上作业法的进一步分析对企业运输决策的整个运作过程具有很大的实践意义。利用线性规划进行运输决策，可以制定出最佳运输方案，往哪里运，运多少，而且可以同时对线性规划的进一步运用、表上作业法和WinQSB2.0应用软件剖析运输决策中各环节、各部门之间的内在联系，使人力、物力和财力能够得到充分利用，从而实现最优化的货物流通，使企业的利润进一步追加，最终得到最佳运输计划，提高企业经济效益。然而在实际应用中，往往要综合考虑各个方面的影

响因素，仅仅从货物分配方面考虑并不能单纯的解决运输费用的最小控制，所以，对于该问题的研究还有待于更深一步的探讨。

参考文献：

[1] 徐辉,张延飞.管理运筹学[M].上海：同济大学出版社.2011年5月

[2] 周巧云.影子价格在决策中的应用[J].河南电大，1998.4：22-23.

[3] 刘茂华.线性规划在运输问题中的应用[J].大庆师范学院学报,2007,27(2)

[4] 党晶.运输问题的最优化控制及程序实现[J].纺织高校基础科学学报,2011,24(4)

[5] 蒋翔，罗蔓，张丽君.工商管理常见运输问题的运筹学解法[J].商场现代化, 2007(519)

[6] 张家善.线性规划在产销不平衡运输问题中的应用[J].中国市场,2010(19)

运筹学中的线性规划在企业中的应用

线性规划在企业中的运用摘要：运筹学是一门定量优化的决策科学，而线性规划是运筹学的一个基本分支，它广泛应用现有的科学技术和数学方法，解决实际中提出的专门问题、为决策者选择最优决策提供定量依据，帮助决策人员选择最优方针和决策，其英文名字为Operational Research.50年代中期，钱学森等教授将其由西方引入我国，并结合我国国情实际运用。线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，线性规划是辅助企业“转轨”、“变型”的十分有利的工具，它在帮助企业经营决策、计划优化等方面具有重要的作用。关键词：运筹学；线性规划；应用；企业运筹学的特点是利用数学、管理科学、计算机科学技术等研究事物的数量化规律，使得有限的人、财、物、时、空、信息等资源得到合理充分合理的利用。它以数学为工具，寻找解决各种问题的最优方案，并从系统的观点出发研究全局的规划。运筹学早期应用在军事领域，二战后转为民用，并且在企业中的应用越来越广泛，取得了良好的经济效益。运筹学的思想贯穿了企业发展的始终，运筹学对各种决策方案进行科学评估，为管理决策服务，使得企业管理者更有效合理地利用有限资源。优胜劣汰，适者生存，这是自然界的生存法则，也是企业的生存法则。只有那些能够成功地应付环境挑战的企业，才是得以继续生存和发展的企业。线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，早在1939年苏联的康托洛维奇（H.B.Kahtopob ）和美国的希奇柯克（F.L.Hitchcock）等人就在生产组织管理和制定交通运输方案方面首先研究和应用线性规划方法。1947年旦茨格等人提出了求解线性规划问题的单纯形方法，为线性规划的理论与计算奠定了基础，特别是电子计算机的出现和日益完善，更使规划论得到迅速的发展，可用电子计算机来处理成千上万个约束条件和变量的大规模线性规划（或非线性规划）问题。从应用范围来看，小到一个班组的计划安排，大至整个部门，以至国民经济计划的最优化方案分析，它都有用武之地，从解决技术问题的最优化，到工业、农业、商业、交通运输业以及决策分析部门它都可以发挥作用。线性规划方法具有适应性强，应用面广，计算技术比较简便的特点。其基本思路是在满足一定的约束条件下，使预定的目标达到最优。它的研究内容可归纳为两个方面：一是系统的任务已定，如何合理筹划，精细安排，用最少

线性规划典型例题

例1：生产计划问题某工厂明年根据合同，每个季度末向销售公司提供产品，有关信息如下表。若当季生产的产品过多，季末有积余，则一个季度每积压一吨产品需支付存贮费O.2万元。现该厂考虑明年的最佳生产方案，使该厂在完成合同的情况下，全年的生产费用最低。试建立模型。解：法1 设每个季度分别生产x1,x2,x3,x4 则要满足每个季度的需求x4≥26 x1+ x2≥40 x1+ x2+ x3≥70 x1+ x2+ x3+ x4=80 考虑到每个季度的生产能力 0≤x1≤30 0≤x2≤40 0≤x3≤20 0≤x4≤10 每个季度的费用为：此季度生产费用+上季度储存费用第一季度15.0x1 第二季度14 x2 0.2(x1-20) 第三季度15.3x3+0.2(x1+ x2-40) 第四季度14.8x4+0.2(x1+ x2+ x3-70)

工厂一年的费用即为这四个季度费用之和, 得目标函数；minf=15.6 x1+14.4 x2+15.5 x3+14.8 x4-26 s.t．x1+ x2≥40 x1+ x2+ x3≥70 x1+ x2+ x3+ x4=80 20≤x1≤30 0≤x2≤40 0≤x3≤20 0≤x4≤10。法2：设第i季度生产而用于第j季度末交货的产品数量为xij吨根据合同要求有： xll=20 x12+x22=20 x13+x23+x33=30 x14+x24+x34+x44=10 又根据每季度的生产能力有： xll+x12+x13+x14≤30 x22+x23+x24≤40 x33+x34≤20 x44≤10 第i季度生产的用于第j季度交货的每吨产品的费用cij=dj+0.2(j-i)，于是，有线性规划模型。 minf=15.Oxll+15.2x12+15.4xl3+15.6xl4+14x22+14.2x23+14.4x24+15.3 x33+15.5x34+14.8x44 s．t． xll=20， x12+x22=20， x13+x23+x13=30， x14+x24+x34+x44=10， x1l+x12+x13+x14≤30， x22+x23+x24≤40， x33+x34≤20，

线性规划在运输问题中的应用

线性规划在运输问题中的应用【摘要】用运筹学的思想探讨运筹学课程的教学方法。运筹学中的指派问题、最短路问题，最小费用流问题可转化为运输问题或转运问题，从而可以统筹安排这些教学内容，为提高教学效果，减少教学时间找出更优的教学方法。【关键词】运输问题；转运问题；运筹学；线性规划；教学方法引言：随着我国国民经济的不断发展，企业之间的交易活动更加频繁,同地区、不同地区、甚至跨国的交易活动也不断发生，运输则成为交易的活动重点了。交通运输作为国民经济的一个重要部门，作为人类进步、社会发展的一个重要推动力，其发展模式正在对环境产生越来越重要的影响。传统的运输方式已经不能满足环境保护、经济发展以及交通运输本身发展的需求，探寻与环境、资源条件相适应的运输是非常重要的一个问题。人们在运输方面趋利避害建立更好的运输方法，让交通运输的方法达到一个更高的水平。 1．线性规划简介线性规划法是解决多变量最优决策的方法，是在各种相互关联的多变量约束条件下，解决或规划一个对象的线性目标函数最优的问题，即给与一定数量的人力、物力和资源，如何应用而能得到最大经济效益。当资源限制或约束条件表现为线性等式或不等式，目标函数表示为线性函数时，可运用线性规划法进行决策。线性规划法就是在线性等式或不等式的约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值的方法。其中目标函数是决策者要求达到目标的数学表达式，用一个极大或极小值表示。约束条件是指实现目标的能力资源和内部条件的限制因素，用一组等式或不等式来表示。线性规划是决策系统的静态最优化数学规划方法之一。它作为经营管理决策中的数学手段，在现代决策中的应用是非常广泛的，它可以用来解决科学研究、工程设计、生产安排、军事指挥、经济规划；经营管理等各方面提出的大量问题。最近几年，我国物流产业快速发展，形成了物流热。在物流作业的管理活动中，有着大量的规划问题，物资的合理调运就是其中一个比较重要的问题。求物资调运的最优调运方案，就是要在满足各种资源限制的条件下，找到使运输总费用最小的调运方案。 2.线性规划在运输中的应用在现实的生产经营、商品销售、经济建设和物资管理过程中，常常会遇到各类物资的分配和调运问题，即将各种生产资料或生活资料消耗品从供给基地调运到需求基地，这里就需要如何根据现有条件科学、合理的安排调运方案，提高运输经济效益。这就是属于线性规划中网络配送的以最小的成本完成货物的运输问题。运输问题就是讨论有关物资调运的问题，即将数量和单位运价都给定的某种物资从供应站运送到消费站，要求在供给和需求平衡的同时，制定出流量与流向，使总运输成本最低。运输问题是特殊的线性规划问题，根据问题的要求，建立数学模型，用表上作业法或线性规划软件求解，即可得出最佳的调运方案，取得了较好的经济效益。在运输问题中，确定的需求限制占据着重要的地位，即必须确定需求以及相应地确定需求的约束条件。 3.运输问题的特征运输问题关心的是以最低的总配送成本把供应中心（出发地）的任何产品运送到每一个接收中心（目的地）。每一个出发地都有一定供应量配送到目的地，每一个目的地都需要一定的需求量。运输问题在供应量和需求量两方面都做出了如下的假设：需求假设。每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应量都必须配送到目的地。与之类似，每一个目的地都有

线性规划运输问题

第四章运输问题 Chapter 4 Transportation Problem §4.1 运输问题的定义设有同一种货物从m 个发地1，2，…，m 运往n 个收地1，2，…，n 。第i 个发地的供应量（Supply ）为s i （s i ≥0），第j 个收地的需求量（Demand ）为d j （d j ≥0）。每单位货物从发地i 运到收地j 的运价为c ij 。求一个使总运费最小的运输方案。我们假定从任一发地到任一收地都有道路通行。如果总供应量等于总需求量，这样的运输问题称为供求平衡的运输问题。我们先只考虑这一类问题。图4.1.1是运输问题的网络表示形式。运输问题也可以用线性规划表示。设x ij 为从发地i 运往收地j 的运量，则总运费最小的线性规划问题如下页所示。运输问题线性规划变量个数为nm 个，每个变量与运输网络的一条边对应，所有的变量都是非负的。约束个数为m+n 个，全部为等式约束。前m 个约束是发地的供应量约束，后n 个约束是收地的需求量约束。运输问题约束的特点是约束左边所有的系数都是 0或1，而且每一列中恰有两个系数是1，其他都是0。运输问题是一种线性规划问题，当然可以用第一章中的单纯形法求解。但由于它有特殊的结构，因而有特殊的算法。在本章中，我们将在单纯形法原理的基础上，根据运输问题的特点，给出特殊的算法。图4.1

x x x x x x x x x d x x x d x x x d x x x s x x x s x x x s x x x .t .s x c x c x c x c x c x c x c x c x c z min mn 2 m 1 m n 222 21 n 112 11n mn n 2n 122 m 22 12 11 m 21 11 m mn 2m 1m 2n 222 21 1n 11211mn mn 2m 2m 1m 1m n 2n 222222121n 1n 112121111≥ =++=++= ++=++=+++=++=+++++++++++++= 在运输问题线性规划模型中，令 X =（x 11，x 12，…，x 1n ，x 21，x 22，…，x 2n ，……，x m1，x m2，…，x mn ）T C =（c 11，c 12，…，c 1n ，c 21，c 22，…，c 2n ，……，c m1，c m2，…，c mn ）T A =[a 11，a 12，…，a 1n ，a 21，a 22，…，a 2n ，……，a m1，a m2，…，a mn ]T =??? ?? ? ??????????????????????????????? ?行行n m 111 111 1 1 11111 11 1 11 b =（s 1，s 2，…，s m ，d 1，d 2，…，d n ）T 则运输问题的线性规划可以写成： min z=C T X s.t. AX =b X ≥0 其中A 矩阵的列向量 a ij =e i +e m+j e i 和e m+j 是m+n 维单位向量，元素1分别在在第i 个分量和第m+j 个分量的位置上。A 矩阵中的行与运输网络中的节点对应，前m 行对应于发地，后n 行对应于收地；A 矩阵的列与运输网络中的边对应。

128499-管理运筹学-第二章线性规划-习题

11（2），12,14,18 习题 2-1 判断下列说法是否正确：（1）任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题； T （2）对偶问题的对偶问题一定是原问题；T （3）根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；F （4）若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解；（5）若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；（6）应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量x i <0，又x i 所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解。（7）若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加 5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ；（8）已知y i 为线性规划的对偶问题的最优解，若y i >0，说明在最优生产计划中第 i 种资源已经完全耗尽；若y i =0，说明在最优生产计划中的第i 种资源一定有剩余。 2-2将下述线性规划问题化成标准形式。 ????? ? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束 43 214321432143214321,0,,232142224.5243max )1(x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x z 2-3分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行()?????≥≤≤-+-=++-+-=无约束 321 3213213 21,0,06 24 .322min 2x x x x x x x x x st x x x z 域的哪一顶点。 ()??? ??≥≤+≤++=0,8259 43.510max 12 1212121x x x x x x st x x z ()??? ??≥≤+≤++=0,242615 53.2max 22 121212 1x x x x x x st x x z 2-4已知线性规划问题，写出其对偶问题： 5 43212520202410max x x x x x z ++++=

对偶线性规划理论及其在经济中的应用开题报告

开题报告信息与计算科学对偶线性规划理论及其在经济中的应用一、选题的背景、意义[1] 21世纪中国进入到了一个新的时代，随着经济的快速发展和社会的进步，整个社会运行的各个方面——无论是在政治、经济、文化、科技、军事、外交方面，还是在环境、生态、资源问题方面，都将着眼于解决能否实现的问题扩充到更加重视解决如何优化实现的问题，从解决局部的简单问题扩充到解决系统的复杂问题，从静态地解决问题到动态地解决问题，从解决涉及单一领域的独立发展问题扩充到解决涉及多个领域的协同发展的问题，从通过直接办法解决问题扩充到通过间接的办法解决问题等，都迫切需要线性规划理论及其应用。随着计算机技术的发展和普及，线性规划的应用越来越广泛。它已成为人们合理利用有限资源制定最佳决策的有利工具。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 2.1 对偶线性规划理论概述 2.1.1 对偶线性规划理论的发展历程及现状[2] [3] 线性规划理论产生于20世纪30年代。1939年，苏联数学家康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学方法》一书中，最早提出和研究了线性规划问题。 1947年，美国数学家丹齐克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法─单纯形法，为这门学科奠定了基础。1947年，美国数学家诺伊曼提出对偶理论,开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力。 1951年，美国经济学家库普曼斯把线性规划应用到经济领域；1960年，康托罗维奇再次发表《最佳资源利用的经济计算》，创立了享誉全球的线性规划要点，对资源最优分配理论做出了贡献。为此，库普曼斯与康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖。1984年，美国贝尔电话实验室的印度数学家卡马卡提出求解线性规划问题的投影尺度法，这是一个有实用意义的新的多项式时间算法。这个算法引起了人们对内点算法的关注，此后相

lingo解决线性规划问题的程序

Lingo12软件培训教案 Lingo 主要用于求解线性规划，整数规划，非线性规划，V10以上版本可编程。例1 一个简单的线性规划问题 0 , 600 2 100 350 st. 3 2max >=<=+=<<=++=y x y x x y x y x z ! 源程序 max = 2*x+3*y; [st_1] x+y<350; [st_2] x<100; 2*x+y<600; !决策变量黙认为非负; <相当于<=; 大小写不区分当规划问题的规模很大时，需要定义数组(或称为矩阵)，以及下标集(set) 下面定义下标集和对应数组的三种方法，效果相同:：r1 = r2 = r3, a = b = c. sets : r1/1..3/:a; r2 : b; r3 : c; link2(r1,r2): x; link3(r1,r2,r3): y; endsets data : ALPHA = ; a=11 12 13 ; r2 = 1..3; b = 11 12 13; c = 11 12 13; enddata

例2 运输问题解：设决策变量ij x = 第i 个发点到第j 个售点的运货量，i =1,2,…m; j =1,2,…n; 记为ij c =第i 个发点到第j 个售点的运输单价，i =1,2,…m; j =1,2,…n 记i s =第i 个发点的产量， i =1,2,…m; 记j d =第j 个售点的需求量， j =1,2,…n. 其中，m = 6; n = 8. 设目标函数为总成本，约束条件为（1）产量约束；（2）需求约束。于是形成如下规划问题： n j m i x n j d x m i s x x c ij j n i ij i m j ij m i n j ij ij ,...,2,1,,...,2,1,0 ,...,2,1, ,...,2,1, st. z min 11 11==>=<==<==∑∑∑∑==== 把上述程序翻译成LINGO 语言，编制程序如下： ! 源程序

(完整版)简单的线性规划问题(附答案)

简单的线性规划问题 [ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2. 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一线性规划中的基本概念知识点二线性规划问题 1．目标函数的最值线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 y＝－a x＋z，在 y 轴上的截距是z， b b b 当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时， z 取得最小值；当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时， z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点 (或边界 )便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．

知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． (3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值 y≤2，例 1 已知变量 x，y 满足约束条件 x＋y≥1，则 z＝3x＋y 的最大值为 ( ) x－y≤1， A ． 12 B ．11 C ．3 D ．－ 1 答案 B 解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z 经 y＝2，x＝ 3，

线性规划在运输问题中的应用

线性规划在运输问题中的应用 Newly compiled on November 23, 2020

线性规划经典例题

线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。一、求线性目标函数的取值范围例1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是（） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将 l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A 二、求可行域的面积例2、不等式组260302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为（） A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B 三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个 x y O 2 2 x=2 y =2 x + y =2 B A 2x + y – 6= 0 = 5 x ＋y – 3 = 0 O y x A B C M y =2

解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0) 2 (0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥??-≤≥? ? -+≤≥??--≤? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D 四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥?? -+≤??≤? ，使z=x+ay(a>0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D 五、求非线性目标函数的最值例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（） A 、13，1 B 、13，2 C 、13，4 5 D 、 5 解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为 4 5 ，选C 六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－ 1,1），则m 的取值范围是（） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3）

《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案.doc

《运筹学》线性规划部分练习题一、思考题 1.什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2 .线性规划问题的一般形式有何特征？ 3. 建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 4. 两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 5. 求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？ 6. 什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 7?试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。 8?试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。 9. 在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 10. 大M法中，M的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？ 11 ?什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？二、判断下列说法是否正确。 1 .线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。 2 .线性规划的可行解集是凸集。 3. 如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。 4. 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。 5 .线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。 6. 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 7. 用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与j 0对应的变量都可以被选作换入变量。 8 .单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。 9. 单纯形法计算中，选取最大正检验数k对应的变量x k作为换入变量，可使目标函数值得到最快的减少。 10 . 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。三、建立下面问题的数学模型 1 .某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目I从第一年到第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120%，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目n需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150% , 又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元；项目川需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160%，但用于该项目的最大投资额不得超过15万元；项目"需要在第三年年初投资，年末可收回本利140%，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有 30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？ 2 .某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、 100克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单价如下表2—1所示：

数学建模,线性规划,运输为问题

有限制的运输问题：6个发点6个收点，其供应量、接收量和运费如下表1（”-”表示某个设：发点i向收点j的货物供应量为xij. 目标函数： MinZ=20x11+15x12+16x13+5x14+4x15+7x16+17x21+15x22+33x23+12x24+8x25+6x26+9x31 +12x32+18x33+16x34+30x35+13x36+12x41+8x42+11x43+27x44+19x45+14x46+7x52+10x53+ 21x54+10x55+32x56+6x64+11x65+13x66 供应限制：x11+x12+x13+x14+x15+x16=20 x21+x22+x23+x24+x25x+26=30 x31+x32+x33+x34+x35+x36=50 x41+x42+x43+x44+x45+x46=40 x52+x53+x54+x55+x56=30 x64+x65+x66=30 需求限制：x11+x21+x31+x41=30 x12+x22+x32+x42+x52=50 x13+x23+x33+x43+x53=40 x14+x24+x34+x44+x54+x64=30 x15+x25+x35+x45+x55+x65=30 x16+x26+x36+x46+x56+x66=20 LINGO代码: min=20*x11+15*x12+16*x13+5*x14+4*x15+7*x16+17*x21+15*x22+33*x23+12*x24+8*x25+ 6*x26+9*x31+12*x32+18*x33+16*x34+30*x35+13*x36+12*x41+8*x42+11*x43+27*x44+19* x45+14*x46+7*x52+10*x53+21*x54+10*x55+32*x56+6*x64+11*x65+13*x66; x11+x12+x13+x14+x15+x16=20; x21+x22+x23+x24+x25+x26=30; x31+x32+x33+x34+x35+x36=50; x41+x42+x43+x44+x45+x46=40; x52+x53+x54+x55+x56=30; x64+x65+x66=30; x11+x21+x31+x41=30;

八种经典线性规划例题最全总结(经典)

线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将 l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值 2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A 二、求可行域的面积

例2、不等式组表示的平面区域的面积为（） A、4 B、1 C、5 D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B 三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个

解：|x|＋|y|≤2等价于作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D 四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1

解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故 a=1，选D 五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（） A、13，1 B、13，2 C、13， D、，解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为

线性规划在运输问题中的应用

2013届学士学位毕业论文线性规划在运输问题中的应用学号：09404323 姓名：李勇班级：信息0901 指导教师：董建新专业：信息与计算科学系别：数学系完成时间：2013年6月

学生诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的论文《线性规划在运输问题中的应用》是我个人在导师董建新指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得长治学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解长治学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。签名：日期：指导教师声明书本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过论文的全部内容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性。指导教师签名：时间

摘要随着我国市场经济的不断完善，同地区、不同地区、甚至跨国间的企业交易更加的频繁。因此，在运输中如何降低运输费用、减少运输路线等问题，已经成为交易活动的重点，而随着社会分工的细化，物流和运输业不断的发展，运输问题也就变的越来越复杂，运输量有时候非常巨大，所以科学的组织运输显得十分重要。线性规划主要应用于解决最优化问题，而运输问题可以看作是一类特殊的线性规划问题。本文结合案例，分析了运输问题的基本特征及解决策略，并通过实例对运输问题进行了优化分析建立了线性规划的数学模型，并借助计算机进行求解，在本篇文章中主要应用的是excel求解，能快速准确的得到最优化方案，提高了实际运输工作中的经济效益。关键词：线性规划；运输问题；excel

用线性规划方法求解运输问题

用线性规划方法求解运输问题线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素. 运输问题的提出及其数学模型：现在人们生产活动中，不可避免的要进行物资调运工作，如某时期内将生产基地的蔬菜，粮食等各类物资，分别运到需要这些物资的地区。如何根据各地的生产量和需求量及各地之间的运输费用，如何制定一个运输方案，使总的运输量费用最小，这类的问题称

为运输问题。假设有m 个产地，记为A 1、A 2….A m ,生产某种物资，可供应的产量分别为a 1,a 2….a m ,有n 个销地，记为B 1、B 2…B n ,其需求量分别为b 1、b 2…b n ,假设在供需平衡的情况下，即∑=m i ai 1=∑=n j bj 1 ，从第i 个产地到j 个销地的单位物资的运费为c ij ，在满足各地需求的前提下，求运费最小的方案。设x ij （i=1、2…m,j=1、2…n ）为第i 个产地到第j 个销地的运量，则运输问题的数学模型为 Min Z = ∑=m i 1∑=n j cijxij 1

运用线性规划对运输问题研究

运用线性规划对运输问题研究班级：金融103班姓名：王纬福学号：5400210132摘要：由于企业选择运输路线或运输工具不合理而导致物流运输成本不能最小化的问题普遍存在而管理运筹学却能很好的解决此问题。通过科学的方法对问题进行具体化再建立数学模型并求解，就能找到运输成本最小的运输组合。关键词：物流运输成本、输成本、管理运筹学、WinQSB2.0、线性规划一、引言日常生活中，人们经常需要将某些物品由一个空间位置移动到另一个空间位置，这就产生了运输。如何判定科学的运输方案，使运输所需的总费用最少，就是管理运筹学在运输问题上的运用需要解决的问题。运输问题是一类应用广泛的特殊的线性规划问题，在线性规划的一般理论和单纯形法出现以前，康托洛维奇（L.V.Kant）和希奇柯克（F.L.Hitchcock）已经研究了运输问题。所以，运输问题又有“康-希问题”之称。对于运输问题（Transportation Problem TP）当然可用前面所讲的单纯形法求解，但由于该问题本身的特殊性，我们可以找到比标准单纯形法更简单有效的专门方法，从而节约计算时间和费用。主要是因为它们的约束方程组的系数矩阵具有特殊结构，使得这类问题的求解方法比常规的单纯形法要更为简便。一、研究现状运输问题的研究较多，并且几乎所有的线性规划书中都有论述。遗憾的是一些书中所建立的数学模型都不够全面和系统的。但是也有一些模型是严谨的没有漏洞和缺陷，并且很容易在此基础上修改或添加一些其他约束条件便于在实际工程中进行应用。管理运筹学在运输问题上的研究较为深入、全面、系统。对于计算机软件的引用也很前言，winQSB2.0对于普通甚至深入研究运输问题就已经是简单而又使用、耐用、好用的了。现在相关的杂志、期刊都越来越多关于管理运筹学，关于运输问题的文章论文初版，越来越得到重视。二、文献回顾随着物流行业和企业对物流运输要求的不断提高，企业的面临着更大的市场竞争，其运输活动在企业不断发展过程中，面临着越来越大难度的运输组合的选择决策问题。如何正确解决这个问题，是企业能够持续经营和发展不可忽视和必须面对的。这个问题同时也引起了企业界、学术界等社会各界的广泛关注。运输问题的实质是企业与运输组合的经济性问题，成功的企业通常都会面临如何选取最佳运输组合或运输路线这样一个重要问题，即以企业运输成本最小化作为确定最佳运输组合或运输路线的原落脚点。四、案例分析例：某公司下设生产同类产品的加工厂A1、A2、A3，生产的产品由4个销售点B1、B2、B3、B4出售。各工厂的生产量、各销售点的销量以及各工厂到各销售点的单位运价如下表：

北师大版数学高二必修5第三章4.2、4.3简单线性规划及其应用作业

[学业水平训练] 1．设x ，y 满足???? ?2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，则z ＝x ＋y ( ) A ．有最小值2，最大值3 B ．有最小值2，无最大值 C ．有最大值3，无最小值 D ．既无最小值，也无最大值解析：选B.由图像可知z ＝x ＋y 在点A 处取最小值，即z m in ＝2，无最大值． 2．设变量x ，y 满足???? ?x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( ) A ．20 B ．35 C ．45 D ．55 解析：选D.作出可行域如图所示．令z ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋13z ，要使z 取得最大值，则需求直线y ＝－23x ＋1 3z 在y 轴上的截距的最大值，移动直线l 0：y ＝－2 3x ，可知当l 0过点C (5，15)时，z 取最大值，且z m ax ＝2×5＋3×15＝55，于是2x ＋3y 的最大值为55.故选D. 3．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件???? ?x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小

值是() A．－7 B．－6 C．－5 D．－3 解析：选B.作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z＝2x－3y过点C时，z取得最小值．由 ?? ? ??x＝3， x－y＋1＝0，得 ?? ? ??x＝3， y＝4， ∴z m in＝2×3－3×4＝－6，故选B. 4．直线2x＋y＝10与不等式组 ?? ? ??x≥0 y≥0 x－y≥－2 4x＋3y≤20，表示的平面区域的公共点有() A．0个B．1个 C．2个D．无数个解析：选B.画出可行域如图阴影部分所示． ∵直线过(5，0)点，故只有1个公共点(5，0)． 5．已知实数x，y满足 ?? ? ?? y≥1， y≤2x－1， x＋y≤m. 如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于() A．7 B．5 C．4 D．3