2017年学业水平考试数学(真题含答案)

20XX 年湖南省学业水平考试（真题）

数 学

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分100分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体可

以是（）

A 、正方体

B 、圆柱

C 、三棱柱

D 、球

2.已知集合{0,1},{1,2}A B == ，则B A 中元素的个数

为（ ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

3.已知向量，若，则(,1),(4,2),(6,3)a x b c === ，若c a b =+ ，

则x = （ ）

A 、-10

B 、10

C 、-2

D 、2

4.执行如图2所示的程序框图，若输入x 的值为-2，则输

出的y =( )

A 、-2

B 、0

C 、2

D 、4

5.在等差数列{}n a 中，已知12311,16a a a +== ，则

公差d = （ ）

A 、4

B 、5

C 、6

D 、7

6.既在函数12

()f x x = 的图象上，又在函数1()g x x -= 的

图象上的点是 A 、（0，0） B 、（1，1） C 、（12,2 ） D 、（1,22

） 7.如图3所示，四面体ABCD 中，E,F 分别为AC,AD 的中点，则

直线CD 与平面BEF 的位置关系是( )

A 、平行

B 、在平面内

C 、相交但不垂直

D 、相交且垂直

8.已知sin 2sin ,(0,)αααπ=∈ ，则cos α=（ ）

A 、

2-、12- C 、12

D 、2 9.已知1

4222log ,1,log a b c === ，则

A 、 a b c <<

B 、b a c <<

C 、c a b <<

D 、c b a <<

10.如图4所示，正方形的面积为1，在正方形内随机撒1000

粒豆子，恰好有600粒豆子落在阴影部分内，则用随机模拟方

法计算得阴影部分的面积为（ ）

A 、 45

B 、35

C 、12

D 、25

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.

11.已知函数()cos ,f x x x R ω=∈ （其中0ω>）的最小正周期为π ，则ω= .

12.某班有男生30人，女生20人，用分层抽样的方法从该班抽取5人参加社区服务，则抽出的学生中男生比女生多 人。

13.在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4,3,sin 1a b C === ，则ABC ?的面积为 。

14.已知点(1,)A m 在不等式组0,0,4x y x y >??>??+

表示的平面区域内，则实数m 的取值

范围为 。

15.已知圆柱及其侧面展开图如图5所示，则该圆柱

的体积为 。

三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分6分）

已知定义在区间[,]ππ-上的函数()sin f x x = 的部分图象如图6所示.

（1）将函数()f x 的图象补充完整；

（2）写出函数()f x 的单调递增区间.

17.(本小题满分8分)

已知数列{}n a 满足13(*)n n a a n N +=∈ ，且26a = .

（1）求1a 及n a ；

（2）设2n n b a =- ，求数列{}n b 的前n 项和n S .

18.（本小题满分8分）

为了解数学课外兴趣小组的学习情况，从某次测试的成绩中随机抽取20名学生的成绩进行分析，得到如图7所示的频率分布直方图。

（1）根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数；

（2）从成绩不低于80分的两组学生中任选2人，求选出的2人来自同一组的概率.

19（本小题满分8分）

已知函数22,0,()2(1),0

x x f x x m ?

（2）若函数()f x 的值域为[2,)-+∞ ，求实数m 的值.

20.(本小题满分10分)

已知O

为坐标原点，点p 在圆22:410M x y x ay +-++= 上，

（1）求实数a 的值；

（2）求过圆心M 且与直线OP 平行的直线的方程；

（3）过点O 作互相垂直的直线121,,l l l 与圆M 交于,A B 两点，2l 与圆M 交于,C D 两点，求||||AB CD ? 的最大值.

20XX 年湖南省学业水平考试（参考答案）

数 学

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分100分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体可以

是（A ）

A 、正方体

B 、圆柱

C 、三棱柱

D 、球

2.已知集合{0,1},{1,2}A B == ，则B A 中元素的个数为

（C ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

3.已知向量，若，则(,1),(4,2),(6,3)a x b c === ，若c a b =+ ，

则x = （ D ）

A 、-10

B 、10

C 、-2

D 、2

4.执行如图2所示的程序框图，若输入x 的值为-2，则输

出的y =( B )

A 、-2

B 、0

C 、2

D 、4

5.在等差数列{}n a 中，已知12311,16a a a +== ，则

公差d = （ D ）

A 、4

B 、5

C 、6

D 、7

6.既在函数12

()f x x = 的图象上，又在函数1()g x x -= 的

图象上的点是( B )

A 、（0，0）

B 、（1，1）

C 、（12,2 ）

D 、（1,22

） 7.如图3所示，四面体ABCD 中，E,F 分别为AC,AD 的中点，则

直线CD 与平面BEF 的位置关系是( A )

A 、平行

B 、在平面内

C 、相交但不垂直

D 、相交且垂直

8.已知sin 2sin ,(0,)αααπ=∈ ，则cos α=（ C ）

A 、 2-、12- C 、12

D 、2

9.已知1

4222log ,1,log a b c === ，则( A )

A 、 a b c <<

B 、b a c <<

C 、c a b <<

D 、c b a <<

10.如图4所示，正方形的面积为1，在正方形内随机撒1000

粒豆子，恰好有600粒豆子落在阴影部分内，则用随机模拟方

法计算得阴影部分的面积为（ B ）

A 、 45

B 、35

C 、12

D 、25

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.

11.已知函数()cos ,f x x x R ω=∈ （其中0ω>）的最小正周期为π ，则 ω= 2 .

12.某班有男生30人，女生20人，用分层抽样的方法从该班抽取5人参加社区服务，则抽出的学生中男生比女生多 1 人。

13.在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4,3,sin 1a b C === ，则ABC ?的面积为 6 。

14.已知点(1,)A m 在不等式组0,0,4x y x y >??>??+

表示的平面区域内，则实数m 的取值范围为 30<

15.已知圆柱及其侧面展开图如图5所示，则该圆柱

的体积为 π4 。

三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分6分）

已知定义在区间[,]ππ-上的函数()sin f x x = 的部分图象如图6所示.

（1）将函数()f x 的图象补充完整；

（2）写出函数()f x 的单调递增区间.

解：（1）图象如图：

（2）由图象可知，函数()sin f x x =在区间[,]ππ-上的单调增区间为]2

,2[ππ-。

17.(本小题满分8分)

已知数列{}n a 满足13(*)n n a a n N +=∈ ，且26a = .

（1）求1a 及n a ；

（2）设2n n b a =- ，求数列{}n b 的前n 项和n S .

解：2

6331121=∴==∴=+a a a a a n n }{31n n

n a a a ∴=∴+为等比数列，公比3=q ； 132-?=∴n n a

（2）由已知可知，2321-?=-n n b

n n b b b b S n n

n n

n 21323

1312)

2222()3333(21210321--=---?=++++-++++?=++++=∴-

18.（本小题满分8分）

为了解数学课外兴趣小组的学习情况，从某次测试的成绩中随机抽取20名学生的成绩进行分析，得到如图7所示的频率分布直方图。

（1）根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数；

（2）从成绩不低于80分的两组学生中任选2

人，求选出的2人来自同一组的概率.

解:(1)由题可知，本次测试成绩的众数为

752

8070=+ （2）成绩在]90,80[的频率为15.010015.0=?，

学生人数为315.020=?人，设为c b a ,,，成绩

在]100,90[的频率为1.010010.0=?，学生人数为21.020=?人，设为B A ,,则从5人中任选2人的基本事件如下：

),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(B A B c A c B b A b c b B a A a c a b a 共10个，其中2人来自同一组的基本事有),(),,(),,(),,(B A c b c a b a ,其4个基本件。 (P ∴2人来自同一组）5

2104==

19（本小题满分8分）

已知函数22,0,()2(1),0

x x f x x m x ?

[2,)-+∞ ，求实数m 的值.

解：(1),1)1(,1112)0(0

,1)1(20,2)(12-==-?=∴???≥--<=∴-=f f x x x x x f m 0)1()0(

(2)当0

20.(本小题满分10分)已知O

为坐标原点，点P 在圆22:410M x y x ay +-++= 上，（1）求实数a 的值；

（2）求过圆心M 且与直线OP 平行的直线的方程；

（3）过点O 作互相垂直的直线121,,l l l 与圆M 交于,A B 两点，2l 与圆M 交于,C D 两点，求||||AB CD ? 的最大值.

解：（1

）把P 点代入圆22:410M x y x ay +-++=得0=a ； （2) 圆心坐标为(2,0)M ，2=OP k ，

∴过圆心且与OP 平行的直线方程为)2(20-=-x y ，即222-=x y

（3）设直线AB 的方程为0=-y kx ，直线CD 的方程为0=+ky x ，圆心到直线AB 的距离为2112

k d +=，21432||k AB +-=∴，同理可22

1432||k k CD +-= 42

242)1414(64)143)(143(4||||22

2222=?=+++-?≤+-+-=?∴k k k k k k CD AB