高考数学压轴专题新备战高考《推理与证明》解析
数学《推理与证明》复习知识要点
一、选择题
1．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是
A．甲B．乙C．丙D．无法预测
【答案】A
【解析】
【分析】
若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次。
【详解】
若甲的预测正确，乙、丙的预测错误，则丙是第一名，甲不是第三名，则甲是第二名，乙是第三名，矛盾！
若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，则乙是第三名，甲的预测错误，那么甲是第三名，矛盾！
若丙的预测正确，则甲、乙的预测错误，则甲是第三名，乙不是第三名，丙是第一名，则乙是第二名。
因此，第三名是甲，故选：A。
【点睛】
本题考查合情推理，突出假设法在推理中的应用，通过不断试错来推出结论，考查推理分析能力，属于中等题。
2．关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取.则三人中被录取的是（）
A．甲B．丙C．甲与丙D．甲与乙
【答案】D
【解析】
【分析】
分别就三人各自被录取进行分类讨论，分析①②③能否同时成立，进而可得出结论.【详解】
若甲被录取，对于命题①，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，
命题②成立，则乙、丙有且只有一人录取，命题③成立，则乙被录取，三个命题能同时成立；
若乙被录取，命题②成立，则丙未被录取，命题③成立，命题①成立，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，三个命题能同时成立；
若丙被录取，命题②成立，则乙未被录取，命题③成立，则甲未被录取，那么命题①就不能成立，三个命题不能同时成立.
综上所述，甲与乙被录取. 故选：D. 【点睛】
本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
3．观察下图：
12343456745678910
L
L
则第 行的各数之和等于22017（ ） A ．2017 B ．1009
C ．1010
D ．1011
【答案】B 【解析】 【分析】
由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可 【详解】
由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数 且这21n -个数成公差为1的等差数列 所以第n 行的各数之和为：()()()()
2
2122211212
n n n n n ---+?=
-
令212017n -=，得1009n = 故选：B 【点睛】
本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.
4．在平面直角坐标系中,方程
1x y
a b
+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( ) A ．1x y z a b c
++= B ．
1x y z ab bc ca
++= C ．
1xy yz zx ab bc ca ++= D ．1ax by cz ++=
【答案】A 【解析】 【分析】
平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y z
a b c
++=. 【详解】
由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：
1x y z
a b c ++=，故选A. 【点睛】
平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .
5．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x -
C ．()g x
D ．()g x -
【答案】D 【解析】
由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．
6．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成
()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（ ）．
A ．2n
B ．22n n -+
C ．2(1)(2)(3)n n n n ----
D ．325104n n n -+-
【答案】B 【解析】 【分析】
分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可. 【详解】
由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆. 又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.
即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-. 累加可得()()()21222224 (2222)
2n n n n f n n -+-=++++-=-++=.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计
f f等利用排除法判断.属于中档题.
算(4),(5)
7．在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有4个，类似的，在立体几何中，与四面体的四个面所在平面的距离相等的点有（）
A．1个B．5个C．7个D．9个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面图形的结论，通过想象类比得出立体图形对应的结论.
【详解】
根据三角形的内切圆和旁切圆可得
与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有4个，
由此类比到四面体中，
四面体的内切球的球心到四个面所在的平面的距离相等，
还有四个旁切球的球心到四个面所在的平面的距离相等，
因此这样的点有且只有5个.
故选：B
【点睛】
本题考查的是类比推理，找出切入点是解题的关键.
8．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时，
小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（）
A．小钱B．小李C．小孙D．小赵
【答案】A
【解析】
由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；
如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选A.
9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( )
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【解析】
【分析】
结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人.【详解】
结合题意分类讨论：
若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意； 若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意； 若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意； 若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意； 综上可得，获奖人为乙. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.
10．观察下列各式：2749=，37343=，472401=，…，则10097的末两位数字为（ ） A ．49 B ．43
C ．07
D ．01
【答案】C 【解析】 【分析】
先观察前5个式子的末两位数的特点，寻找规律，结合周期性进行判断即可. 【详解】
观察2749=，37343=，472401=，572401716807=?=，
67168077117649=?=，…，可知末两位每4个式子一个循环，2749=到10097一共有
1008个式子，且10084252÷=，则10097的末两位数字与57的末两位数字相同，为07. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查归纳推理的应用，根据条件寻找周期性是解决本题的关键.
11．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩 B ．乙可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．丁可以知道四人的成绩
【答案】A 【解析】 【分析】
根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果. 【详解】
因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，
又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，
又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，
又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩.
因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A.
【点睛】
本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.
12．某单位实行职工值夜班制度，己知A，B，C，D，E5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A昨天值夜班，从今天起B，C至少连续4天不值夜班，D星期四值夜班，则今天是星期几
A．二B．三C．四D．五
【答案】C
【解析】
分析：A昨天值夜班，D周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假设今天是周二，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四．
详解：∵A昨天值夜班，D周四值夜班，∴今天不是周一也不是周五，
若今天是周二，则周一A值夜班，周四D值夜班，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，
与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；
若今天是周三，则A周二值夜班，D周四值夜班，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班，
与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；
若今天是周四，则周三A值夜班，周四D值夜班，周五E值夜班，符合题意．
故今天是周四．
故选：C．
点睛：本题考查简单的推理，考查合情推理等基础知识，考查推理论证能力，属于中档题．
13．比利时数学家Germinal Dandelin发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（）
A ．
33
B ．
23
C ．
6513
D ．
53
【答案】D 【解析】 【分析】
如图，作出圆柱的轴截面，由于AOB OCD ∠=∠,所以sin sin AOB OCD ∠=∠，而由已知可求出,,OB AB OD 的长，从而可得3a OC ==，而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得2b =，由此可求出离心率. 【详解】
对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为A ，1A ，延长1AA 与圆柱面相交于C ，
1C ，过点O 作OD DC ⊥，垂足为D .
在直角三角形ABO 中，2AB =，1022
32
BO -?==， 所以2sin 3AB AOB BO ∠==，又因为22
sin sin 3
r AOB OCD OC OC ∠=∠===， 所以3a OC ==.
由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即24b =，则可求得
22945c a b =--=，
所以5c e a =
=
， 故选：D. 【点睛】
此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题.
14．设x ，y ，z ＞0，则三个数,,y y z z x x
x z x y z y
+++ （ ） A ．都大于2
B ．至少有一个大于2
C ．至少有一个不小于2
D ．至少有一个不大于2
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又
y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x
z ＋x y ＝(y x
＋x y )＋
(
y
z ＋z y )＋(z x ＋x z
)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.
15．观察下列各式：2x y ?=，224x y ?=，339x y ?=，4417x y ?=，
5531x y ?=，6654x y ?=，7792x y ?=，L ，根据以上规律，则1010x y ?=（ ）
A ．255
B ．419
C ．414
D ．253
【答案】B 【解析】 【分析】
每个式子的值依次构成一个数列{}n a ，然后归纳出数列的递推关系12n n n a a a n --=++后再计算． 【详解】
以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，L 构成一个数
列{}n a ，可得数列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()
*
3,n n ≥∈N ，
则876854928154a a a =++=++=，
9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项．
16．某学校为响应国家强化德智体美劳教育的号召，积极实施国家课程校本化.每个学生除学习文化课程外，还可以根据自己的兴趣爱好来选修一门校本课程作为自己的特长课程来
学习.该校学生小刚选完课后，本班的其他三位同学根据小刚的兴趣爱好对小刚的选课做出了自己的判断：甲说：小刚选的不是书法，选的是篮球；乙说：小刚选的不是篮球，选的是排球；丙说：小刚选的不是篮球，选的也不是国画.已知三人中有一个人说的全对，有一人说对了一半，另一个人说的全不对，由此推断小刚的选择的（）
A．可能是国画B．可能是书法C．可能是排球D．一定是篮球
【答案】B
【解析】
【分析】
依次假定小刚的选择，逐一验证得到答案.
【详解】
若小刚选择的是国画，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足，排除；
若小刚选择的是书法，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足；
若小刚选择的是排球，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足，排除；
若小刚选择的是篮球，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足；
故小刚可能选择的是书法和篮球.
故选：B.
【点睛】
本题考查了推理分析，意在考查学生的逻辑推理能力.
17．新课程改革后，某校的甲、乙、丙三位同学都选了A、B、C三门课中的两门，且任何两位同学选修的课程有且仅有一门相同.其中甲、乙共同选修的课不是B，乙、丙共同选修的课不是A，B和C两门课程有一个丙没有选，则甲选修的两门课程是（）
A．A和B B．B和C C．A和C D．无法判断
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可知丙一定选了A课程，结合题意进行推理，可得出甲所选修的两门课程，由此可得出结论.
【详解】
B和C两门课程有一个丙没有选，所以丙肯定选了A，
乙、丙共同选修的课不是A，则乙选择了B、C两门课程，
由于甲、乙共同选修的课不是B，则甲、乙共同选修的是C，但甲不能选择B课程.
因此，甲选修是A、C两门课程.
故选：C.
【点睛】
本题考查简单的合情推理问题，考查推理能力，属于中等题.
18．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶
数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是()
A．3 971 B．3 972 C．3 973 D．3 974
【答案】D
【解析】
【分析】
先对数据进行处理能力再归纳推理出第n组有n个数且最后一个数为n2，则前n组共
1+2+3+…+n
()1
2
n n+
=个数，运算即可得解．
【详解】
解：将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）…
则第n组有n个数且最后一个数为n2，
则前n组共1+2+3+…+n
()1
2
n n+
=个数，
设第2019个数在第n组中，
则
()
()
1
2019
2
1
2019
2
n n
n n
?+
≥
??
?
-
?
??＜
，
解得n＝64，
即第2019个数在第64组中，
则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974，
故选：D．
【点睛】
本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力，考查等差数列前n项和公式，属中档题．
19．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到．任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把“中间一段”去掉，这样，原来的条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到了16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n次构造”，就可以得到一条科曲线．若要科赫曲线的长度达到原来的100倍，至少需要通过构造的次数是（）．（取lg20.3010,lg30.4771
==）A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【解析】
【分析】
由折线长度变化规律得到n 次构造后，曲线的长度为1
444333n n
n l a a -????
=?= ? ?????
，建立不
等式41003n
a a ??≥ ???
，利用对数运算求解. 【详解】
设原线段长为a ，经过n 次构造后，曲线的长度为n l ， 则经过1次构造后，曲线的长度为14433
a a l =
?=， 经过2次构造后，曲线的长度为2
21444333a l a ??=???= ???
， 经过3次构造后，曲线的长度为3
31144443333a l a ??=?????= ???
， 依次类推，
经过n 次构造后，曲线的长度为1
444333n n
n l a a -????
=?= ? ?????
， 若要科赫曲线的长度达到原来的100倍，
则41003n
a a ??≥ ???
， 所以43lg10022
log 10016.01342lg 2lg320.30100.4771lg 3
n ≥=
===-?-， 所以至少需要通过构造的次数是17. 故选：C 【点睛】
本题主要考查数列新定义运算问题涉及到对数运算，还考查了推理论证的能力，属于中档题.
20．某游泳馆内的一个游泳池设有四个出水量不同的出水口a ，b ，c ，d ，当游泳池内装满水时，同时打开其中两个出水口，放完水所需时间如下表：
则a ，b ，c ，d 四个出水口放水速度最快的是（ ） A ．d B ．b
C ．c
D ．a
【答案】A
【解析】
【分析】
利用所给数据，计算出每个出水口分别的放水时间，比较大小即可.
【详解】
由题易解得a，b，c，d放水时间分别为70，100，90，50，所以d出水速度最快.故选：A.
【点睛】
本题考查了方程的思想，属于基础题.