容斥原理例题

学科：奥数

教学内容：第四讲容斥原理（二）

上一讲我们已经初步研究了简单的容斥原理，今天我们继续研究较复杂的容斥问题。

例1五年级一班有45名同学，每人都积极报名参加暑假体育训练班，其中报足球班的有25人，报篮球班的有20人，报游泳班的有30人，足球、篮球都报者有10人，足球、游泳都报者有10人，足球、篮球都报者有12人。请问：三项都报的有多少人分析：由于问题比较复杂，我们把它简化成下图.要计算阴影部分的面积，我们记A∩B 为圆A与圆B公共部分的面积，B∩C为圆B与圆C公共部分的面积，A∩C表示圆A与圆C 的公共部分的面积，x为阴影部分的面积则图形盖住的面积为：A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+X。请同学们注意：阴影部分的面积先加了3次，然后又被减了3次，最后又加了1次。

解答：设三项都报的有x人，由容斥原理有

30+25+20-10-10-12+x=45

解得 x=2。

答：三项都报名的有2人。

说明：在“A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+X”式中，A，B，C，A∩B，B∩C，A∩C，x和总量这8个数中，只要知道了7个数，就可通过列方程求出第8个数。

例2从1至1000这1000个自然数中，不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个

分析：第一步先求出：能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个第二步再求出：不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个能被3整除的自然数的个数+能被5整除的自然数的个数+能被7整除的自然数的个数－（既能被3整除又能被5整除的自然数的个数+既能被3整除又能被7整除的自然数的个数+既能被5整除又能被7整除的自然数的个数）+能同时被3、5、7整除的自然数的个数=能被3、5、7中任何一个自然数整除的数的个数。

解答：能被3整除的自然数有多少个

1000÷3=333……1 有333个。

能被5整除的自然数有多少个

1000÷5=200 有200个。

能被7整除的自然数有多少个

1000÷7=142……6 有142个。

既能被3整除又能被5整除的自然数有多少个

1000÷15=66……10 有66个。

既能被3整除又能被7整除的自然数有多少个

1000÷21=47……13 有47个。

既能被5整除又能被7整除的自然数有多少个

1000÷35=28……20 有28个。

能同时被3、5、7整除的自然数的个数有多少个

1000÷（3×5×7）=9……55 有9个。

能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有：

333+200+142－（66+47+28）+9=457个。

所以不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有：1000－543=457

例3 某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀。这部分达到优秀的项目、人

短跑游泳篮球短跑

游泳

游泳

篮球

篮球

短跑

短跑、游

泳、篮球

1718156652

请问：这个班有多少名学生

分析：本题是较复杂的容斥原理的题目，可以画一个长方形表示全班学生，再画三个相交的圆分别表示短跑、游泳、篮球得优秀的学生。注意计算短跑人数+游泳人数+篮球人数时，短跑游泳人数、游泳篮球人数、篮球短跑人数分别被算过两次，而短跑游泳篮球人数则被计算了3次。

解答：至少一项优秀人数=短跑人数+游泳人数+篮球人数-（短跑游泳人数+游泳篮球人数+篮球短跑人数）+短跑游泳篮球人数=17+18+15-（6+6+5）+2=35所以全班人数=至少一项优秀人数+未得优秀人数=39。

说明：本题解中的公式是三个不同集合相互相交而得的问题所用的容斥原理公式，本题也可依次计算图中每一小块所代表的集合的人数最后再求和。如图所示，图中分成8个部分：G=短跑游泳篮球三项优秀人数=2

D=只有短跑游泳两项优秀人数=短跑、游泳优秀人数-短跑游泳篮球三项优秀人数=6-2=4 E=只有游泳篮球两项优秀人数=游泳、篮球优秀人数-短跑游泳篮球三项优秀人数=6-2=4 F=只有篮球短跑两项优秀人数=篮球、短跑优秀人数-短跑游泳篮球三项优秀人数=5-2=3 A=只有短跑一项优秀人数=短跑优秀人数-（D+G+F）=17-（4+2+3）=8

B=只有游泳一项优秀人数=游泳优秀人数-（D+G+E）=18-（4+2+4）=8

C=只有篮球一项优秀人数=篮球优秀人数-（E+G+F）=15-（4+2+3）=6

H=三个项目均未达到优秀人数=4；

所以A+B+C+D+E+F+G+H=8+8+6+4+4+3+2+4=39

例4 如下图，在长方形ABCD中，AD=15厘米，AB=8厘米，四边形OEFG的面积是9平方厘米。请问：阴影部分的面积是多少平方厘米

分析：注意到三角形ABD、三角形ACD面积的和比所求的阴影部分多算了三角形AED与三角形DOG面积的和，而这两个三角形的面积和可由三角形AFD的面积减去四边形OEFG的面积得到，这样就可以求出阴影部分的总面积。

解答：三角形ABD、三角形AFD、三角形ACD都可以AD为底，AB为高，故它们的面积都等于AD×AB÷2=15×8÷2=60（平方厘米）。

阴影部分面积=（三角形ABD面积+三角形ACD面积）－

（三角形AFD面积-四边形DEFG面积）

=（60+60）-（60-9）=69（平方厘米）。

说明：本题还有其它（例3的第2中方法）的方法，请你想一想。

例5 某班同学参加期末测试，得优秀成绩的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科都是优秀成绩的有8人，数学、语文两科成绩都是优秀的有7人，语文、英语两科成绩都是优秀的有9人，三科都没得优秀成绩的有3人。请问：这个班最多有多少人最少有多少人

分析：如下图，数学、语文、英语得优秀成绩的的同学都包含在这个班中，设这个班有y人，用长方形表示.A、B、C分别表示数学、语文、英语得优秀成绩的的人，由已知有A∩C=8，A∩B=7，B∩C=9，A∩B∩C=X.

解答：由容斥原理有

Y=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+3

即y=20+20+20-7-8-9+x+3=39+x。

以下我们考虑如何求y的最大值与最小值。

由y=39+x可知，当x取最大值时，y也取最大值；当x取最小值时，y也取最小值。因为x是数学、语文、英语三科都得优秀成绩的人数，所以他们中的人数一定不超过两科得优秀成绩的人数，即x=7，x=8且x=9，由此我们得到x=7.另一方面数学得优秀成绩的的同学有可能语文都没得优秀成绩的，也就是说也有这种可能：没有三科都得优秀成绩的的同学，故x=0，故x =0或x=7。

当x取最大值7时，y有最大值39＋7=46，当x取最小值0时，y有最小值39＋0=39。

答：这个班最多有46人，最少有39人。

例6 五年级2班有46名学生参加三项课外兴趣活动，其中24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组又参加语文小组相当于三项活动都参加人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的学生有10人。请问：参加文艺小组的学生有多少人

分析：这里涉及了三个对象：数学小组、语文小组、文艺小组，然而从题目的叙述来

看，在容斥原理的等式中都涉及了一个关键的量，即三项活动都参加人数。因而必须先求出这个三项活动都参加人数。再利用参加文艺小组的人数与它的关系即可求解。

解答：设三项活动都参加人数为x ，根据题意得参加文艺小组的人数为7x ，既参加数学小组又参加文艺小组的人数为7x ÷=2x ，既参加文艺小组又参加语文小组的人数为2x 。根据容斥原理可以得到下面等式：

24+20+7x-（2x+2x+10）+x=46

4x=16

x=3人

所以：7x=21人。

所以：参加文艺小组的学生有21人。

说明：在很多问题中涉及一个基准量，经过分析找到这个基准量后，问题便可以解决。 阅读材料

“1名数学家=10个师”的由来

第二次世界大战中，美国曾经宣称：一名优秀的数学家的作用超过10个师的兵力。你可知这句话的由来吗

1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的"潜艇战"搞得盟军焦头烂额。

为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后发现，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，按数学角度来看这一问题，它有一定的规律。一定数量的船（如100艘）编队规模越小，编次就越多（如每次20艘，就要有5个编次）；编次越多，与敌人相遇的概率就越大。比如5位同学放学都回自己家里，老师要找一位同学的话，随便去哪家都行，但若这5位同学都在其中某一家的话，老师要找几家才能找到，一次找到的可能性只有20%。美国海军接受了数学家的建议，命令船队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口。结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%降低为1%，大大减少了损失，保证了物资的及时供应。

练习题

1．如下图，长方形长为4厘米，宽为3厘米，请你求出四边形GHEF 的面积。

分析与解答：所求四边形四条边的长都不知道，我们还不会直接求它的面积.由于所求四边形面积与4个三角形面积之和等于长方形面积，我们可以利用容斥原理把不规则图形HEFG 的面积转化为求规则图形的面积。

S HEFG =S ABCD -S △AHE -S △EBF -S △CFG -S △GDH

122113211221132143??-??-??-??-?=

=7（平方厘米）

2．在边长是10厘米的正方形纸片中间挖掉一个小正方形后，成为一个宽度为1厘米的方框，把5个这样的方框放在桌面上（如下图）。请你算一算：桌面被这些方框所盖住的面积是多少平方厘米

分析：观察图，可知重叠部分相当于8个边长1厘米的正方形。

解答：（102-82）×5-12×8=172（平方厘米）

3．张宏、王刚、李立三人练习投篮球，一共投了100次，有43次没投进，已知张宏和王刚一共投进了32次，王刚和李立一共投进了46次，王刚投进了多少次

分析与解答：三人投的总次数减去没投进的次数，就是三人共投进100-43=57次。张宏和王刚、王刚和李立共投进的次数为32+46=78次，这是三人共投进的次数，在加上王刚投进的次数，从中减去共投进的次数，就是王刚投进的次数，列式为78-57=21次，所以王刚投进了21次。

答：王刚投进了21次。

4．育新小学举行各年级学生画展，其中有18幅画不是六年级的，20幅画不是五年级的。现在知道五、六年级共展出22幅画，请问：其他年级共展出多少幅画分析与解答：其中18幅不是六年级的，换句话说，一至五年级共展出18幅，20幅不是五年级的，换句话说，就是一、二、三、四、六年级共展出20幅，从中可以看出一、二、三、四年级总张数的2倍加上五、六年级张数的和，一共是18+20=38幅，又因为五、六年级共展出22幅画，，因此一至四年级张数和的2倍是38-22=16张。从而可以求出一至四年级共展出16÷2=8张。

答：其它年级共展出8张。

5．在一根长木棍上，有三种刻度线，它们分别将木棍分成10等分、12等分、15等分。如果沿每条刻度线把木棍锯断，请问：木棍总共被锯成多少段

分析：由于木棍的端点处没有刻度线，所以，这三种刻度线分别有10-1=9（条），12-1=11（条），15-1=14（条），不妨设木棍长为60厘米。那么，与三种刻度线相对应的每一份长分别是：60÷10=6（厘米），60÷12=5（厘米），60÷15=4（厘米）。根据5和6的最小公倍数是30，可算出第一、第二种刻度线重复的条数是60÷30-1=1（条），用同样的方法可以求出：另两种重复的刻度线分别有2条、4条。

解答：（9＋11＋14-1-2-4）＋1=28（段）

想一想：（1）在计算刻度线条数时为什么都要减去1（2）为什么可以设木棍长是60厘米（3）最后为什么要用所有刻度线条数加1

6．某班45名同学参加了体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远均得优者7人，跳高、百米均得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达到优，请问：三项都是优的有多少人解答：设三项都达到优的有x人，由逐步排除法有：

20+18+22-7-8-6+x+1=45

解得x=5

7．“六一”儿童节，某校有25个小朋友得奖，学校为他们准备了甲、乙、丙三种奖品

让他们自由选择，有14人要甲种奖品，12人要乙种奖品，10人要丙种奖品，其中4人既要甲种又要乙种，但不要丙种奖品，2人既要甲种又要丙种，但不要乙种，只有1人三种都要。每个小朋友至少选择其中的一种，请问：有多少人要乙种和丙种而不要甲种奖品分析与解答：根据题意，可以画图表示已知量之间的关系，并用A、B、C表示图中的三个未知量。则

A+B=10-(2+1)=7

B+C=12-(4+1)=7

A+B+C=25-14=11

B=(A+B)+(B+C)-(A+B+C)=7+7-11=3(人)

8．如下图，在桌面上放置两两重叠，边长都相等的三个正方形纸片。已知盖住桌面的总面积是144平方厘米。三张纸片共同重叠部分的面积是42平方厘米，图中阴影面积为72平方厘米。请问：正方形的边长是多少厘米

解答：三个正方形总面积是：144+阴影面积×(2-1)+中间重叠面积×(3-1)=144+72×(2-1)+42×(3-1)=300(平方厘米)；每一个正方形的面积是：300÷3=100(平方厘米)；因为一个正方形面积是100平方厘米，所以正方形边长是10厘米。

9．某班四年级时、五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级六年级两年评上三好生的有5人，四、五、六三年没评过三好生的有20人，请问：这个班最多有多少名同学最少有多少名同学解答：设该班有y人，三年连续三好生有x人，由容斥原理有

y=10+10+10-3-4-5+x+20

y=38+x

由于三年都连续包含在三年连续中，故0≤x≤3。

y的最大值=38+3=41；

y的最小值=38+0=38。

答：该班最多有41人，最少有38人。

10．某校五年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人.老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，请问：你能求出既参加英语又参加数学小组的人数吗

分析与解答：根据已知条件可以画出集合图.根据已知三圆盖住的总体为49人，A=30，B=20，C=10，A∩B=X，B∩C=Y，A∩C=3，A、B、C的公共部分记为A∩B∩C=1，由逐步排除

法有49＝A＋B＋C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C，即：

49=30+20+10-x-y-3+1

故 x+y=9。

由于x，y都是质数，而它们的和为奇数9.因而这两个质数中必有一个偶质数2，另外由x+y=9知另一个质数为7。

答：既参加英语又参加数学小组的人为2个或7个。