I复数的四种表示形式
第八讲 复数
知识、方法、技能
I ．复数的四种表示形式 代数形式：∈+=b a bi a z ,(R ）
几何形式：复平面上的点Z （b a ,）或由原点出发的向量OZ . 三角形式：∈≥+=0,0),sin (cos r i r z θθR . 指数形式：θ
i re z =.
复数的以上几种形式，沟通了代数、三角、几何等学科间的联系，使人们应用复数解决相关问题成为现实.
II ．复数的运算法则
加、减法：;)()()()(i d b c a di c bi a ±+±=+±+ 乘法：;)()())((i ad bc bd ac di c bi a ++-=++
)];sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222111θθθθθθθθ+++=+?+i r r i r i r
除法：
).0(2
222≠++-+++=++di c i d
c ad
bc d c bd ac bi c bi a
)].sin()[cos()sin (cos )sin (cos 21212
1
222111θθθθθθθθ-+-=++i r r i r i r
乘方：∈+=+n n i n r i r n
n
)(sin (cos )]sin (cos [θθθθN ）；
开方：复数n i r 的)sin (cos θθ+次方根是).1,,1,0)(2sin 2(cos -=+++n k n
k i n
k r n πθπθ
III ．复数的模与共轭复数 复数的模的性质
①|;)Im(|||,)Re(|||z z z z ≥≥ ②|;|||||||2121n n z z z z z z ?=? ③);0(|
||
|||
22121≠=z z z z z
④12121|,|||||||z z z z z 与复数+≤-、2z 对应的向量1OZ 、2OZ 反向时取等号； ⑤||||||||2121n n z z z z z z +++≤+++ ，与复数n z z z ,,,21 对应的向量
n OZ OZ OZ ,,21 同时取等号.
共轭复数的性质 ①22||||z z z z ==?；
②)Im(2),Re(2z z z z z z =-=+； ③z z =
④2121z z z z ±=±； ⑤1121z z z z ?=?； ⑥);0()(
22
12
1≠=
z z z z z
⑦z 是实数的充要条件是z z z ,=是纯虚的充要条件是).0(≠-=z z z
Ⅳ．复数解题的常用方法与思想
（1）两个复数相等的充要条件是它们的实部、虚部对应相等，或者它们的模与辐角主 值相等（辐角相差2π的整数倍）. 利用复数相等的充要条件，可以把复数问题转化为实数问题，从而获得解决问题的一种途径.
（2）复数的模也是将复数问题实数化的有效方法之一.善于利用模的性质，是模运算中的一个突出方面.
赛 题 精 讲 例1：设m 、n 为非零实数，i 为虚单位，∈z C ，则方程n mi z ni z =-++||||①与
m mi z ni z -=--+||||②
如图I —1—8—1，在同一复平面内的图形（F 1、F 2是焦点）是（ ）
【思路分析】可根据复平面内点的轨迹的定义；也可根据m 、n 的取值讨论进行求解. 【略解】由复平面内点的轨迹的定义，得
方程①在复平面上表示以点mi ni ,-为焦点的椭圆，0,0<->n n 故.这表明，至少有
一焦点在下半虚轴上，可见（A ）不真. 又由方程①，椭圆的长轴之长为n ，
∴|F 1F 2| 又因椭圆与双曲线共焦点，必有椭圆的长轴长大于双曲线的实轴长，即.||||m n > 故在图（B ）与（D ）中，均有F 1 : －ni ，F 2 : mi ，且0 【别解】仿上得n >0. （1）若.0,0>>m n 这时，在坐标平面上，F 1（0，－n ），F 2（0，m ），只可能为图象（C ）， 但与|F 1F 2|<长轴n ，而|OF 1|=n 矛盾. （2）若),0(),,0(,.0,021m F n F m n -<>这时均在y 轴的下半轴下，故只能为图象（B ） 与（D ）. 又因椭圆与双曲线共焦点，必有椭圆的长轴长大于双曲线的实轴长，即|n |>|m |. 故在（B ）与（D ）中，均有F 1 : －ni ；F 2 : mi ，且m <0. 由方程②，双曲线上的点应满足到F 2点的距离小于该点到F 1点的距离. 答案：（B ） 【评述】（1）本题涉及的知识点：复数的几何意义，复平面上的曲线与方程，椭圆，双曲线， 共焦点的椭圆与双曲线，讨论法. （2）本题属于读图题型. 两种解法均为基本方法：解法中前者为定义法；后者为分类讨论法. 例2：若z z z C z 则,3 )4arg(,65)4arg(,22 π π=+= -∈的值是 . 【思路分析】本题可由已知条件入手求出复数z 的模，继而求出复数；也可由几何意义入手 来求复数z. 【略解】令),6 5sin 65(cos 412 π πρi z +=- ① ),3sin 3(cos 422π πρi z +=+ ② ) 0,0(21>>ρρ图I —1—8—1 ①—②得 ),2 1 23()2321(81212ρρρρ-++ =i ???????=+=-∴, 8232 1,021 2 31212ρρρρ 解得,34,412==ρρ代入后， ①+②得 ),31(422 i z +-= ).31()3 sin 3(cos 2i i z +±=+±=∴π π 【别解】如图I —1—8—2，2 z OD =. 过D 作与实轴平行的直线AB ，取AD=BD=4， ) 31()3 sin 3(cos 2),3 2sin 32(cos 4,3 22,4||||||,. 2 .3 ,65. 4,4222i i z i z xOB BOD xOB xOD OD DB AD AOB Rt BOA xOB xOA z OB z OA +±=+±=∴+=∴= ∠=∠+∠=∠===?= ∠=∠= ∠+=-=π πππππ ππ中在从而则 【评述】本题的两种解法中，前者应用了复数的三角形式；后者应用了复数的几何意义，数 形结合，形象直观. 例3：x 的二次方程1212 ,0z m z x z x 中=+++、2z 、m 均是复数，且i z z 2016422 1+=-. 设这个方程的两个根为α、β，且满足72||=-βα. 求|m |的最大值和最小值. 【解法1】根据韦达定理有 ? ??+=-=+.,21m z z αββα ,444)()(22 1 2 2 m z z --=-+=-αββαβα . 7|)54(|, 7|)4(4 1 |. 28|)4(4|||2212212=+-=--∴=--=-∴i m z z m z z m 即βα 这表明复数m 在以A （4，5）为圆心，以7为半径的圆周上如图I —1—8—3所示. ,74154||22<=+=OA 故原点O 在⊙A 之内. 连接OA ， 延长交⊙A 于两点B 与C ，则|OB|=|OA|+|AB|=||741m 为+最大值. |OC|=|CA|－|AO|=7－||41m 为最小值. ∴|m |的最大值是||,741m +的最小值是7－41. 【解法2】同解法1，得 ,7|)54(|=+-i m ∈+=y x yi x m ,(令R ）. ? ? ?+=+=.5sin 7, 4cos 7ααy x 则 ααsin 70cos 5690||222++=+=∴y x m ), sin(411490) sin 41 5cos 41 4( 411490?ααα++=+ += 其中.41 4 sin = ? ∴ |m |的最大值=,417411490+=+ |m |的最小值=.417411490-=+ 【解法3】根据韦达定理，有?? ?+=-=+. 21m z z αββα图I —1—8—3 m z z 444)()(22 122--=-+=-αββαβα， ∴ .28|)2016(4||)4(4|||22 12 =+-=--=-i m z z m βα | 54||)54(||)54()54(|||. 7|)54(|i i m i i m m i m +++-≤+++-=∴=+-即 .417+= 等号成立的充要条件是)54()54(i i m ++-与的辐角主值相差π，即 ||,)41 5 414 )( 417(),415 414 ( 7)54(m i m i i m 时所以当+ +-=+ -=+-取最小值.417- 【评述】三种解法，各有千秋. 解法1运用数形结合法，揭示复数m 的几何意义，直观清晰； 解法2则活用三角知识，把ααsin 70cos 56+化为角“?α+”的正弦；解法3运用不等式中等号成立的条件获得答案；三种解法从不同侧面刻面了本题的内在结构特征. 例4：若∈+++==t t t i t t z z M ,11|{R ，2|{},0,1==≠-≠z z N t t ∈+t t i t )],cos(arccos )n [cos(arcsi R ，N M t 则},1||≤中元素的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 解法同本章一的练习第4题. 例5：设复数则满足,33||,3||||,2121121=-=+=z z z z z z z =+|)()(|log 2000212000212z z z z . 【思路分析】应先设法求出2000212000 1)()(z z z z +的值. 【评述】由题设知 ). (||||||29,||||||921212 22 12 2121212221221z z z z z z z z z z z z z z z z +-+=-=+++=+= 因为.9||||,9,3||,3||2121212121=+-=+==z z z z z z z z z z 并且故 ). sin (cos 9),sin (cos 92121θθθθi z z i z z -=+=则设 . 2 3 2199. 21 cos ,cos 189221212121i z z z z z z z z +-===-==+=-ωωωθθ这里或者于是得由 . 4000|) () (|log ,9)()(,92000 212000 212200020002120002121=+-=+=z z z z z z z z z z 故可得时当ω 当时2 219ω=z z ，可得同样结果，故答案4000. 【评述】此题属填空题中的难题，故解题时应仔细. 例6：设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为,,,,2021z z z 则复 数199520199521995 1 ,,,z z z 所对应的不同的点的个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．10 D ．20 【思路分析】如题设可知，应设120 =k z .故解题中应注意分解因式. 【解法1】因为我们只关心不同的点的个数，所以不失一般性可设120=k z .由160 =k z ，有 . ,,1,1), )()(1)(1(1015151515 15 15151560i z i z z z i z i z z z z k k k k k k k k k -==-==∴+-+-=-= 【答案】A. 【解法2】由),)()(1)(1(10,15 5552020i z i z z z z z k k k k k k +-+-=-==则 可知5k z 只有4个取值，而15k z =（5 k z ）3 的取值不会增加，则B 、C 、D 均应排除，故应选 A. 【评述】上述两个解法均为基本方法.思维的起点是不失一般性设120 =k z ，于是可用直接法 （解法1）和排除法（解法2）. 针对性训练题 1．设x 是模为1的复数，则函数31 )(2 2 ++=x x x f 的最小值为 （ ） A ．5 B ．1 C ．2 D ．3 2．若复数z 满足关系z i z z 则,12|4||2|2 2=-++对应的复平面的点Z 的轨迹是 （ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．直线 3．已知复数z 满足关系式3|2|≤-z ，则复数z 的辐角主值的范围是 （ ） A ．]3 ,0[π B ．]2,35[ ππ C ．]2,3 5[ ]3, 0[ππ π D ．]2,3 5[]3,0[πππ 4．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为,,,,2021z z z 则复数 199520199521995 1,,,z z z 所对应的不同的点的个数是 （ ） A ．4 B ．5 C ．10 D ．20 5．设n=2001，则 =++-+-)33331(2 12000 100063422n n n n n C C C C . 6．若虚数z 满足22,82 3 3 +++=z z z z 那么的值是 . 7．若关于x 的方程0422 2 =-+-a a ax x 至少有一个模为3的根，则实数a 的值是 . 8．给正方体的8个顶点染上k 个红点，k -8个蓝点（81<≤k ）.凡两端为红色的棱记上 数字 ,231i +-凡两端为蓝色的棱记上数字,2 31i --凡两端异色的棱记上数字1，这12个数字之积的所有可取值为 . . 名词的复数构成的几种形式 名词复数的构成可分为规则变化和不规则变化两种。 I 名词复数的规则变化 1.一般在名词词尾加-s。如： pear---pears hamburger---hamburgers desk---desks tree---trees 2.以字母-s, -sh, -ch, -x结尾的名词，词尾加-es。如： class---classes dish---dishes watch---watches box---boxes 3.以字母-o结尾的某些名词，词尾加-es。如： potato---potatoes tomato---tomatoes Negro---Negroes hero---heroes 4.以辅音字母加-y结尾的名词，将-y变为-i,再加-es。如： family---families dictionary---dictionaries city---cities country---countries 5.以字母-f或-fe结尾的名词，将-f或-fe变为-v，再加-es。如： half---halves leaf---leaves thief---thieves knife---knives self---selves wife---wives life---lives wolf---wolves shelf---shelves loaf---loaves 但是： scarf---scarves(fes) roof---roofs serf---serfs gulf---gulfs chief---chiefs proof---proofs belief---beliefs II 名词复数的不规则变化 1.将-oo改为--ee。如： 基数词用复数的三种情况 ▲将数词当作名词看待，当表示多个某一数字时，基数词可用复数形式。如： Four twos make eight. 4乘以?2等于?8。 ▲某些惯用表达中，基数词习惯上用复数形式，如?o n all fours（在地上爬），?i n twos and threes （三三两两），?a t sixes and sevens（乱七八糟）等。如： She crawled on all fours over to the window. 她爬到窗边。 Applications for the job are coming in slowly in twos and threes. 申请这份工作的信件三三两两来得很慢。 ▲逢整“十”的基数词若用复数形式，可以表示某人的大约年岁和世纪中的年代。如： Long hair for men came in in the sixties. 男子留长发在?20世纪?60年代很流行。 He was in and out of jail for most of his twenties. 他二十几岁时几乎一直频繁进出监狱。 注：若表示“十几岁”，则用?t eens。如： His parents divorced during his teens. 他父母在他十几岁时离婚了。 英语微信群是目前学习英语最有效的方法，群里都是说英语，没有半个中文，而且规则非常严格，是一个超级不错的英语学习环境，群里有好多英语超好的超牛逼的人，还有鬼佬和外国美眉。其实坦白说，如果自己一个人学习英语太孤独，太寂寞，没有办法坚持，好几次都会半途而废。只要你加入到那个群里以后，自己就会每天都能在群里坚持学，坚持不停地说和练，由于是付费群，群里的成员学习氛围非常强，每天的训练度都非常猛，本来很懒惰的你一下子就被感染了，不由自主地被带动起来参与操练，不好意思偷懒，别人的刻苦学习精神会不知不觉影响你，EYC英语微信群（群主VX 601332975）可以彻底治好你的拖延症，里面学员都非常友好，总是给你不断的帮助和鼓励，让你学英语的路上重新燃起了斗志，因为每天都在运用，你的英语口语就能得到了迅猛的提升，现在可以随便给一个话题，都能用英文滔滔不绝的发表5分钟以上对这个话题的看法和观点，想提高英语口语的可以加入进来，It really works very well. 名词变复数规则变化 1．一般名词复数是在名词后面加上“s”， 如map→maps，bag→bags等； 读音变化：结尾是清辅音读[s]，结尾是浊辅音或元音读[z]。 例：friend→friends; cat→cats; style→styles; sport→sports; 2．以s，x , ch，sh 等结尾的词加“es”， 如bus→buses，watch→watches等； 统一加读[iz]。 3．以辅音字母＋y结尾的词，变y为i加es， 如baby→babies等； 加读[z]。 以元音字母＋y结尾的名词变复数时，直接加s变复数， 如monkey→monkeys，holiday→holidays， 4．以o 结尾的名词变复数时： a）加s的名词有：photo→photos ，piano→pianos，radio→radios，zoo→zoos b）加es的名词有： potato→potatoes tomato→tomatoes 5．以f或fe结尾的名词变复数时： a）加s的名词有： roof→roofs b）去掉f，fe 加ves的名词有： half→hal ves knife→knives leaf→leaves wolf→wolves(狼) wife→wives（妻子）life→lives（生命） 尾音[f]改读[vz]。 名词复数的不规则变化 1）child---children foot---feet tooth---teeth mouse---mice man---men woman---women 注意：与man 和woman构成的合成词，其复数形式也是-men 和-women。 如：an Englishman，two Englishmen. 但German不是合成词，故复数形式为Germans； 2）单复同形如： deer，sheep，fish，Chinese，Japanese li，jin，yuan，two li，three mu，four jin 但除人民币元、角、分外，美元、英镑、法郎等都有复数形式。如: a dollar, two dollars; a meter, two meters 3）集体名词，以单数形式出现，但实为复数。 如：people police cattle 等本身就是复数，不能说a people，a police，a cattle， 4）以s结尾，仍为单数的名词，如： a. maths，politics，physics等学科名词，为不可数名词，是单数。 b. news 是不可数名词。 c. the United States，the United Nations 应视为单数。 英语名词复数 1. 名词复数的构成方法 (1) 在一般情况下，加词尾-s： book / books pen / pens face / faces 清辅音后读/s/map-maps 浊辅音和元音后读/z/bag-bags car-cars (2) 以s, x, sh, ch 等结尾的名词，通常加词尾-es读/iz/： bus/buses watch/watches box / boxes dish / dishes 注：有些以ch 结尾的名词，由于其发音不是[k] 而是[tF]，那么其复数形式应加词尾–s，如stomach / stomachs 胃。 (3) 以y 结尾的名词，其复数构成要分两种情况： 以“辅音字母+y”结尾的名词，将y 改为ies；读/z/ baby / babies city / cities 以“元音字母＋y”结尾的名词，直接加词尾y”s： boy / boys key / keys 注：以y 结尾的专有名词，若在某些特殊情况下需要复数，通常加s 构成：Mary / Marys 玛丽Germany / Germanys 德国 (4) 以o 结尾的名词，有些加词尾-s，有些加-es，有些加-es -s 或-es 均可：在中学英语范围内，加词尾es 的主要有以下4个： tomato 西红柿，potato 土豆，hero 英雄，Negro 黑人Negro 这样记“黑人英雄他妈偷土豆”， (5) 以f 或fe 结尾的名词，也有两种可能：即有些直接加词尾-s，有些则把 f / fe 改为ves：chief / chiefs 首领roof / roofs 屋顶knife / knives 小刀 注：在中学英语范围内，要改 f / fe 为 ves 的只有以下10个词： thief 小偷wife妻子leaf 树叶knife 小刀half 一半 wolf 狼shelf 架子self 自己life 生命loaf 面包 名词复变及动词单三规则 1,绝大多数的可数名词的复数形式，是在该词末尾加上后辍-s。 读音变化：结尾是清辅音读[s]，结尾是浊辅音或元音读[z]。 例：friend→friends; cat→cats; style→styles; sport→sports; piece→pieces 二、凡是以s、z、x、ch、sh结尾的词，在该词末尾加上后辍-es构成复数。 读音变化：统一加读[iz]。 例：bus→buses; quiz→quizzes; fox→foxes; match→matches; flash→flashes 三、以辅音字母+y结尾的名词，将y改变为i，再加-es。 读音变化：加读[z]。 例：candy→candies; daisy→daisies; fairy→fairies; lady→ladies; story→stories 四、以-o结尾的名词，如果不是外来词或缩写，就加-es，否则加-s构成复数。读音变化：加读[z]。 例：tomato→tomatoes; potato→potatoes; torpedo→torpedoes; bingo→bingoes 反例：silo→silos; piano→pianos（外来词）; photo→photos; macro→macros（缩写词） 五、以-f或-fe结尾的名词，多为将-f或-fe改变为-ves，但有例外。 读音变化：尾音[f]改读[vz]。 例：knife→knives; life→lives; leaf→leaves; staff→staves; scarf→scarves 反例：roof→roofs 六、以-us结尾的名词（多为外来词），通常将-us改变为-i构成复数。 读音变化：尾音[Es]改读[ai]，其中[kEs]要改读为[sai]，[gEs]要改读为[dVai]。例：fungus→fungi; abacus→abaci; focus→foci; cactus→cacti; cestus→cesti 七、以-is结尾的名词，通常将-is改变为-es。 读音变化：尾音[is]改读[i:z]。 例：axis→axes; basis→bases; naris→nares; hypothesis→hypotheses; restis→restes 八、以-ix结尾的名词，通常将-ix改变为-ices，但有例外。 读音变化：尾音[iks]改读[isi:z]。 例：matrix→matrices; directrix→directrices; calix→calices; appendix→appendices 反例：affix→affixes 九、以-um结尾的名词，将-um改变为-a。 读音变化：去掉鼻尾音[m]。 例：forum→fora; stadium→stadia; aquarium→aquaria; datum→data; vacuum→vacua 十、以-a结尾的名词，在该词末尾加上后辍-e。 读音变化：尾音[E]改读[i:]。 复数的几种表示形式 Prepared on 22 November 2020 复数主要有三种表示形式：坐标式，三角式，指数式。 坐标形式：z=a+bi。这个就非常简单了，它是复数的定义。 自从i这个数产生以后，我们就规定了a+bi是复数，并且b=0时就是我们以前的实数。 （a,b）对应复数在复平面上的坐标。 三角形式：z=r(cosθ+isinθ) 这个结合几何意义容易看出来： 记复数z的模为r，幅角为θ， 显然有a=rcosθ,b=rsinθ 代入坐标形式里即有： Z1z2=r1r2(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2+i(sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2)) )） =r1r2（cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ 2 通过三角形式我们不难发现，两个复数积的模等于两个复数的模的积，而且一个复数乘以另一个复数相当于将这个复数拉长另一个复数的模的倍数，在旋转一个角度（这个角是另一个复数的幅角），特别地，如果乘以的复数的模为1，则该复数只起到旋转的效果，例如： 在旋转的几何背景下，我们还容易发现： Z n=r n(cos(nθ)+isin(nθ)) 特别地，令r=1，可以得到着名的王陆杰公式： （cosθ+isinθ）n=cos(nθ)+isin(nθ) 这个公式很有用，我们下一次再谈。 指数形式：z=re iθ 因此有e iθ=cosθ+isinθ 从而有z=r(cosθ+isinθ)=re iθ 借助指数形式我们更容易看出复数旋转的性质，以及刚才的王陆杰公式 e i(nθ)=cosnθ+isinnθ=(e iθ)n=(cosθ+isinθ)n 这里面还藏着一个号称数学最美的式子： 特别地，令θ=π，则e iπ=-1。 我们不得不惊叹复数的形式看似简朴，但真正是藏龙卧虎，以往数学中的各种看似没有瓜葛的对象都被联系起来了，关于复数这些形式的进一步研究，我们以后再说。 英语名词变复数的几 种形式 英语名词复数 1. 名词复数的构成方法 (1) 在一般情况下，加词尾 -s： book / books pen / pens face / faces 清辅音后读/s/ map-maps 浊辅音和元音后读 /z/ bag-bags car-cars (2) 以 s, x, sh, ch 等结尾的名词，通常加词尾 -es读 /iz/： bus/buses watch/watches box / boxes dish / dishes 注：有些以 ch 结尾的名词，由于其发音不是 [k] 而是 [tF]，那么其复数形式应加词尾–s，如stomach / stomachs 胃。 (3) 以y 结尾的名词，其复数构成要分两种情况： 以“辅音字母+y”结尾的名词，将 y 改为 ies；读 /z/ baby / babies city / cities 以“元音字母＋y”结尾的名词，直接加词尾y”s： boy / boys key / keys 注：以 y 结尾的专有名词，若在某些特殊情况下需要复数，通常加 s 构成：Mary / Marys 玛丽 Germany / Germanys 德国 (4) 以o 结尾的名词，有些加词尾 -s，有些加 -es，有些加 -es -s 或 -es 均可：在中学英语范围内，加词尾 es 的主要有以下4个： tomato 西红柿，potato 土豆，hero 英雄，Negro 黑人Negro 这样记“黑人英雄他妈偷土豆”， (5) 以 f 或 fe 结尾的名词，也有两种可能：即有些直接加词尾-s，有些则把 f / fe 改为 ves：chief / chiefs 首领 roof / roofs 屋顶 knife / knives 小刀 注：在中学英语范围内，要改 f / fe 为 ves 的只有以下10个词： thief 小偷 wife妻子 leaf 树叶 knife 小刀 half 一半 wolf 狼 shelf 架子 self 自己 life 生命 loaf 面包 s h c h S X e s hero Negro potato tomato + s + es photo radio piano zoo bamboo 名词概念： 表示人或事物名字的词。 （了解可数名词和不可数名词并举例） （了解单数和复数并举例） 单数名词变成复数形式主要六种规则：（第一，二种） 如遇到一下词，可数名词要变复数： EG: two five ten … some many （1） 直接+“s ” 例：student → 2 students apple → 3 apples （2） 以s, x, ch, sh 结尾的名词，+“es ” 例：class → 5 classes box → 3 boxes church → 4 churches brush → 2 brushes 单数名词变成复数形式主要六种规则：（第三种） （1）以辅音字母+y 结尾的名词，去“y ”，加“ies ” 例：baby → 2 babies puppy → 3 puppies （2）以元音字母+y 结尾的名词，直接+“s ” 例：boy → some boys toy → many toys 单数名词变成复数形式主要六种规则：（第四种） 以f, fe 结尾的名词,变f, fe 为“ves ” 例：knife → 10 knives thief → 2 thieves 单数名词变成复数形式主要六种规则：（第五种） 以O 结尾的名词+“s ”或“es ” Chant:photo, radio, piano, zoo, bamboo ，s*3 Chant: tomato, potato, hero, Negro, es*2 认读单词 了解含义 复数主要有三种表示形式：坐标式，三角式，指数式。 坐标形式：z=a+bi。这个就非常简单了，它是复数的定义。 自从i这个数产生以后，我们就规定了a+bi是复数，并且b=0时就是我们以前的实数。 （a,b）对应复数在复平面上的坐标。 三角形式：z=r(cosθ+isinθ) 这个结合几何意义容易看出来： 记复数z的模为r，幅角为θ， 显然有a=rcosθ,b=rsinθ 代入坐标形式里即有： Z1z2=r1r2(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2+i(sinθ1 cosθ2+ cosθ1 sinθ2)) = r1r2（cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)） 通过三角形式我们不难发现，两个复数积的模等于两个复数的模的积，而且一个复数乘以另一个复数相当于将这个复数拉长另一个复数的模的倍数，在旋转一个角度（这个角是另一个复数的幅角），特别地，如果乘以的复数的模为1，则该复数只起到旋转的效果，例如： 在旋转的几何背景下，我们还容易发现： Z n=r n(cos(nθ)+isin(nθ)) 特别地，令r=1，可以得到著名的王陆杰公式： （cosθ+isinθ）n=cos(nθ)+isin(nθ) 这个公式很有用，我们下一次再谈。 指数形式：z=re iθ 因此有e iθ= cosθ+isinθ 从而有z=r(cosθ+isinθ)=re iθ 借助指数形式我们更容易看出复数旋转的性质，以及刚才的王陆杰公式 e i(nθ)= cosnθ+isinnθ= (e iθ)n=( cosθ+isinθ)n 这里面还藏着一个号称数学最美的式子： 特别地，令θ=π，则e iπ=-1。 我们不得不惊叹复数的形式看似简朴，但真正是藏龙卧虎，以往数学中的各种看似没有瓜葛的对象都被联系起来了，关于复数这些形式的进一步研究，我们以后再说。 复数的几种表示形式标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N] 复数主要有三种表示形式：坐标式，三角式，指数式。 坐标形式：z=a+bi。这个就非常简单了，它是复数的定义。 自从i这个数产生以后，我们就规定了a+bi是复数，并且b=0时就是我们以前的实数。 （a,b）对应复数在复平面上的坐标。 三角形式：z=r(cosθ+isinθ) 这个结合几何意义容易看出来： 记复数z的模为r，幅角为θ， 显然有a=rcosθ,b=rsinθ 代入坐标形式里即有： Z 1z 2 =r 1 r 2 (cosθ 1 cosθ 2 -sinθ 1 sinθ 2 +i(sinθ 1 cosθ 2 +cosθ 1 sinθ 2 )) =r 1r 2 （cos(θ 1 +θ 2 )+isin(θ 1 +θ 2 )） 通过三角形式我们不难发现，两个复数积的模等于两个复数的模的积，而且一个复数乘以另一个复数相当于将这个复数拉长另一个复数的模的倍数，在旋转一个角度（这个角是另一个复数的幅角），特别地，如果乘以的复数的模为1，则该复数只起到旋转的效果，例如： 在旋转的几何背景下，我们还容易发现： Z n=r n(cos(nθ)+isin(nθ)) 特别地，令r=1，可以得到着名的王陆杰公式： （cosθ+isinθ）n=cos(nθ)+isin(nθ) 这个公式很有用，我们下一次再谈。 指数形式：z=re iθ 因此有e iθ=cosθ+isinθ 从而有z=r(cosθ+isinθ)=re iθ 借助指数形式我们更容易看出复数旋转的性质，以及刚才的王陆杰公式 e i(nθ)=cosnθ+isinnθ=(e iθ)n=(cosθ+isinθ)n 这里面还藏着一个号称数学最美的式子： 特别地，令θ=π，则e iπ=-1。 我们不得不惊叹复数的形式看似简朴，但真正是藏龙卧虎，以往数学中的各种看似没有瓜葛的对象都被联系起来了，关于复数这些形式的进一步研究，我们以后再说。名词的复数构成的几种形式
基数词用复数的三种情况
名词变复数以及动词的几种形式的变法
(完整版)英语名词变复数的几种形式
复数及单三变化规则
复数的几种表示形式
英语名词变复数的几种形式知识讲解
单数名词变成复数形式主要六种规则
复数的几种表示形式
复数的几种表示形式精修订