第六章习题答案

1、已知调制信号u Ω（t ）由1 kHz 和2 kHz 两个频率组成, 振幅分别是1.5 V 和0.5 V, 若载波信号u c (t) =5 cos2π×108t V, 且单位调制电压产生的频偏和相偏分别为4 kHz ／V 和0.2 rad ／V, 试分别写出调频信号和调相信号的表达式。解：

331122u =1.5cos 2100.5cos 2210cos cos t t u t u t

ππΩΩΩ?+??=Ω+Ω=

120

1211

cos[()]

cos[(cos cos )]

cos[sin cos ]

15cos[210cos 210cos 410]

c f

cm c f f f cm c FM U

t k u

t dt U t k u

t u t dt k u k u U t t t tV t t u ωωωππππ

ΩΩΩΩ+=+Ω+Ω=+

Ω+ΩΩΩ?+

?==??

1122833

cos ()cos (cos cos )5cos 2100.3cos 2100.1cos 410PM cm c p cm c p u u t k u t u t k u t u t t t t ωωπππΩΩΩ??=+??

??=+Ω+Ω??

??=?+?+???

2、已知调角信号

u(t)=10 cos(2π×108t+cos4π×103t) V 。

(1) 若u(t)是调频信号, 试写出载波频率f c 、调制频率F 、调频指数M f 和最大频偏Δf m 。 (2) 若u(t)是调相信号, 试写出载波频率f c 、调制频率F 、调相指数M p 和最大频偏Δf m 。解：

883

33u cos[sin ]21010221

41021022210f m

FM cm c c c f m

m f k U U t t f Hz

k U M

F Hz

f M F Hz ωωπππ

πππ

ΩΩ=+

ΩΩ

?====

=ΩΩ?===??==?(1)由得

u cos[k sin ]2101022k 141021022210PM cm c p m c

p p m m p U t U t f Hz

M U F Hz

f M F Hz

ωωππ

πππ

ΩΩ=+Ω?=

===Ω?=

==??==?(2)由得

3、对于单频调频信号u FM (t), 若其调制信号振幅不变, 频率F 增大一倍, 试问u FM (t)的最大

频偏Δf m 和带宽BW 有何变化?若调制信号频率不变, 振幅U Ωm 增大一倍, 试问u FM (t)的最大频偏和带宽有何变化?若同时将调制信号的振幅和频率加倍, 则u FM (t)的最大频偏和带宽又有何变化?

解：

f k =2m f m

f m m U k u BW ωΩΩ?Ω=Ω?+ΩΩ

由及（M +1）F=2(

+1)=2()

可知：

（1）调制信号振幅不变，频率F 增大1倍，则m f ? 不变、带宽BW 增加;

（2）调制信号频率不变，振幅增大1倍，则

m f ? 增加1倍、带宽BW 增加;

（3）同时将调制信号频率和振幅增大1倍，则

m f ?增加1倍、带宽BW 增加1 倍。

4、若调制信号振幅不变而频率改变, 试比较相应的调幅信号、调频信号和调相信号的频谱

和带宽如何变化。

解：设调制信号为单频正弦波 c ()cos ,()cos m cm c u t U t u t U t ωΩΩ=Ω=载波为

（1）调幅信号（AM ）：频谱中只有c ω和（c ω±Ω）。带宽为 BW =2 ?；当频率 Ω增加1 倍，

频谱成份没有变化，边带功率不变（2

2114

8m av a c U P M P R

Ω==

），带宽增加2倍。（2）调频信号：频谱成份为（c ω±n Ω）。带宽为BW=m 2f m ωΩ?ΩΩ（+）=2(k U +)；当频率 Ω 增加 1 倍，由f m

f k U M Ω=

知f M 减小，根据贝塞尔函数的性质知，边频成份减少、边频

功率减小，带宽增加。

（3）调相信号：频谱成份为（c ω±n Ω）。带宽为：

m 2p m BW ωΩ=?ΩΩ（+）=2(k U +)；当频率Ω增加1倍，由p f m M k U Ω=知p M 不变，根据

贝塞尔函数的性质知边频成份不变、边频功率不变，带宽增加。

5、已知调频信号u FM (t)和调相信号u PM (t)所对应的单频调制信号频率均为0.5 kHz,M f 和M p 分别为3 rad 。

(1) 试求u FM (t)和u PM (t)的最大频偏Δf m 和带宽BW ；

(2) 若调制系数k f （k p ）不变，调制信号振幅不变, 频率改为1 kHz ，试求这两种调角信号的Δf m 和BW ；

(3) 若调制系数k f （kp ）不变，调制信号频率不变, 仍为0.5 kHz, 而振幅降低为原来的1/2, 试求这两种调角信号的Δf m 和BW 。

解：

33(1):

30.510 1.52(1)4:

30.510 1.52(1)4m f f m p p FM f M F Hz kHz BW M F kHz PM f M F Hz kHz BW M F kHz

?==??==+=?==??==+=

3m 3(2)1: 1.51: 1.5110 1.513311032(1)8f f m f f f f m m f p p p m p p kHz FM kHz M k U M M kHz M k U f M F Hz kHz kHz M M k U M rad f M F Hz kHz BW M F kHz

ΩΩΩΩ=?

Ω?

'?==?''Ω'Ω=?

?==??='===?==??==+=对于的信号

0.5对于的P 信号

m m m f 3m m m 31(3)0.5212 1.52

1.50.5100.752(1)

2.510.52

1.522

1.50.5100.752(1)

2.5f f f

m f f p

p p p m p p kHz U FM U k k U M M rad f M F Hz kHz BW M F kHz

kHz U M M U M k U k rad

f M F Hz kHz BW M F kHz

ΩΩΩ

ΩΩΩ''====ΩΩ?==??==+=''====?==??==+=对，的信号

对，的P 信号

6、已知调频信号最大频偏Δf m =50 kHz, 试求调制信号频率为300 Hz 、1 kHz 、3 kHz 、10 kHz 时分别对应的频带宽度。

解：由 50m f m f k u KHz Ω?==

得50

f m f k u m Ω=

2(1)f BW m =+Ω 300Hz 时 50

1670.3

m f f m ?=

==Ω 2(1)1680.6100.8f BW m kHz =+Ω=?= 1kHz 时

50501

m f f m ?=

==Ω 2(1)2(501)1102f BW m kHz =+Ω=+?=

3kHz 时

50173

m f f m ?=

=Ω 2(1)2(171)3108f BW m kHz =+Ω=+?=

10kHz 时

50510

m f f m ?=

==Ω 2(1)2(51)10120f BW m kHz =+Ω=+?=

7、在小信号谐振放大器、正弦波振荡器和斜率鉴频器(或相位鉴频器)中都要用到LC 并联回路, 试比较在以上不同电路里选择LC 回路的目的和性能指标有何不同。解：略

8、在如图6-33所示晶振变容二极管调频电路中, 若石英谐振器的串联谐振频率f q =10 MHz,串联电容C q 与未加调制信号时变容管的静态结电容C jQ 之比为2×10-3, 并联电容C 0可以忽略, 又变容二极管参数n=2, U B =0.6 V, 加在变容管上的反向偏压U Q =2V,调制电压振幅为U Ωm =1.5 V 。

(1) 分别画出变容二极管直流通路、低频交流通路和高频等效电路, 并说明这是哪一种振荡电路；

(2) 求出最大线性频偏Δf m 。

图6-33 题8图

解：

（1）变容二极管直流通路、低频交流通路和高频等效电路：此电路为电容三点式振荡电路。

（2）最大线性频偏m f ?：

2j 2j j 1

1.5

m =

=0.577

+2+0.6

510(1cos )(1cos )1

12(1cos )10m

B Q

q n

q q

U U U C C C m t m t C C C C C c c c c C m Ω

-∑=?=

+Ω+Ω=

≈++++=

++Ω?

()t ωω=

102021

0 1.0001789131.0024838440.00230493111.5252

m m m m m f f f f f f f f f f kHz ====-?=

== 9、在如图6-34所示变容管调频电路中, 变容管结电容, 调制信号u Ω=U Ωm cos2π×104t （V ）, M f =5 rad, 载频f c =5 MHz 。

(1) 分别画出变容二极管直流通路、低频交流通路和高频等效电路； (2) 试求直流偏压U Q ；

(3) 试求调制电压振幅U Ωm 和最大频偏Δf m 。

图2 题9图

解：振荡电路简化交流通路、变容二极管的直流通路及调制信号通路分别如图(a)、(b)、(c)所示。（1）

（2）变容二极管的直流偏压为：212

Q U R R R =

?+ （3）根据：5f m

f k U m Ω==Ω

得：4

5510f m k U Ω=Ω=?

10m

U k Ω=

4510m f m f f k U m Hz Ω?==Ω=?

10、在如图6-35所示的间接调频电路方框图中, u Ω(t)是调制信号, 输出u o (t)是调相信号, 试写出u o (t)的表达式, 并且说明在什么条件下此电路可以实现间接调频。

图6-35 题10图

解：

{}

{

}

{}{}00cm cm 00cm 0

cm 0

u ()u ()=sin u ()=sin [sin cos sin ]

sin t

c p c t

c p t t

c p c p t

p p t

p t t u t u u u u u u ωωωωωπ

ΩΩΩΩΩ

++≈≈???????（1）的输出表达式为：

U cos t[k (t)dt]+U t

(2)设间接调频输出表达式为：

U [t k (t)dt

=U tcos k (t)dt t k (t)dt 当k (t)dt<时，cos k (t)dt k (t)dt 0

0cm cm 0

u ()sin +cos t

p t c c p u t u ωωΩ

Ω≈??k (t)dt

所以有：U t U t[k (t)dt]

11、在如图6-36所示变容管调相电路中, 加在变容管上的调制信号u Ω=U Ωm cosΩt, 变容管参数n=2, U B =1V, LC 回路有载品质因数Q e =20。若U Ωm =0.1 V, Ω=2π×103 rad ／s,试求调相指数M p 和最大频偏Δf m 。

图6-36 题11图

解：

20.120

0.419

0.41000400m e p c T B Q m p nU Q m nm Q rad U U f m F Hz

Ω??==

==++?==?=由调相指数的计算公式知

12、在如图6-37所示的调频电路方框中, 已知调制信号频率F=100 Hz ～15 kHz, 载频fc=100 M Hz, 要求最大线性频偏Δf m =75 kHz, 若调相器的调相指数M p =0.2 rad, 混频器输出频率f 3=f L -f 2, 试求：

(1) 倍频次数n 1和n 2；

(2) 各单元输出频率f 1(t)、 f 2(t)和f 3(t)的表达式。

图6-37 题12图

解：

0p u ()cos u ()=cos sin u u cos[u ()]cos[sin ]

u cm m cm p m

PM cm c p cm c p m

t U t U

t U tdt t

k U t k t U t t k M ωωΩΩΩΩΩΩ=ΩI 'Ω=ΩΩ

II '=+=+ΩΩ

III =

?令、积分：

、调相：

、调相指数：

100

1510015p 100331515u 200u 10300.2,0.2

u 2000.240u 4

1010303

p m P p m P k

P P k

P p m P p m P k kHz k M k M M M M M k M k M ππ

πππ

ΩΩ-ΩΩ--==

?>>≤∴==Ω=?=∴=

?则100Hz 调制信号调制信号：显然又要求：：，

IV 、频偏：

10010010033

1515150.2100204101510203

m P m k P k k

f M F Hz f M F Hz -?==?=?==???= V 、倍频数：

21111163223

23121275103750

0.1()9.5100.1100()3750()a =7550

c L c

n f n f n f n a f f f n

f n f n f MHz b n n n c n n ?===?=?=?---------∴=-=?-=?∴?=---------------?==----------------=要求；要求：由（）（b ）（c ）得：，

VI 、频率表达式：

由II 得：

1611166321166326632cos cos cos 0.11020cos 2=

2750.11075cos 7.510 1.510cos 9.510(750.11075cos )21075cos 210 1.510c p m P c c p p L p p d f k U t dt

M f f t f M F t t

F f n f M F t t f f f M F t M F t ωπππ

ΩΦ

=+ΩΩ

∴=+Ω=+Ω=?+ΩΩ

=?=??+Ω=?+?Ω=-=?-??+Ω=?-Ω=?-?其中，8432cos 1003750cos 1107.510cos c p t

f f n MHz M F t t

Ω=?=-Ω=?-?Ω

13、已知鉴频电路输入调频信号

u FM (t)=5 cos(ωc t+4 cos4π×103t) V, 鉴频灵敏度

S d =10 mV ／kHz, 求鉴频电路的输出解调电压u o (t)。 (假定在线性鉴频范围内) 解：因为()()

35cos 4cos 410FM c u t ωt πt =+?，则有

()338210sin 410C t t ωωππ=-???，

()()33810sin 410C f t f t f t π?=-=-??

输出电压为：

()()t f S t v D ?=0

3331010810sin 410t π-=-???? 380sin 410t π=-?（V ）

14、在如图6-38所示的两个平衡二极管电路中, 哪个电路能实现包络检波?哪个电路能实现斜率鉴频?相应的回路中心频率f 01和f 02应如何设置?

图6-38 题14图

u s

u o

解：在电路(a)中，输入调幅波时，若0102c f f f ==，则由于上、下两检波器输出反映同一包络的解调电压，结果两输出电压相互抵消，输出为零。故不能实现包络检波。但当输入调频波时，若0102c c f f f f -=-，则利用两回路幅频特性在c f 两边的正、负斜率得到包络相反的调频调幅波，经检波后，得到叠加的解调电压，故能实现斜率鉴频。在（b ）图电路中，由于上、下两路检波器的输出解调电压叠加，因此，用同样的分析方法可知，它不能实现斜率鉴频，但当0102c f f f ==时，它能实现包络检波。

第六章 习题答案

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