北京市10区2020概率与统计

北京市10区2020届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编

概率与统计

一、填空、选择题 1、（朝阳区2020届高三上学期期末考试）春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p ，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X 为其中成活的株数，若X 的方差 2.1DX =，(3)(7)P X P X =<=，则p =________．

2、（房山区2020届高三上学期期末考试）从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3

门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A 、B 、C 、D 、E ，各等级人数所占比例依次为：A 等级15%，

B 等级40%，

C 等级30%，

D 等级14%，

E 等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历

史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生人数为 （A ）55 （B ）80

（C ）90 （D ）110 3、（石景山区2020届高三上学期期末考试）艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数B. 平均数 C. 方差 D. 极差

参考答案：

1、0.7

2、D

3、A

二、解答题

1、（昌平区2020届高三上学期期末考试）为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）：

（1）求高一、高二两个年级各有多少人？

（2）设某学生跳绳m 个/分钟，踢毽n 个/分钟.当175m ≥，且75n ≥时，称该学生为“运动达人”. ①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；

②从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数ξ的

分布列和数学期望.

2、（朝阳区2020届高三上学期期末考试）某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100]分组，绘成频率分布直方图如下：

（Ⅰ）分别求出所抽取的20人中得分落在组[0,20]和(20,40]内的人数；

（Ⅱ）从所抽取的20人中得分落在组[0,40]的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？

请说明理由．

3、（东城区2020届高三上学期期末考试）2019年6月，国内的5G运营牌照开始发放.从2G到5G，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：

用户分类预计升级到5G的时段人数

早期体验用户2019年8月至209年12月270人

中期跟随用户2020年1月至20121年12月530人

后期用户2022年1月及以后200人我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系(例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%).

（I）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率；

（II）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G 多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；

（III）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.

4、（房山区2020届高三上学期期末考试）某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养茶业．该县农科所为了

对比A，B两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了A，B两种茶叶各20亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：

A：41.3，47.3，48.1，49.2，51.2，51.3，52.7，53.3，54.2，55.3，56.4，57.6，58.9，59.3，59.6，59.7，60.6，60.7，61.1，62.2；

B：46.3，48.2，48.3，48.9，49.2，50.1，50.2，50.3，50.7，51.5，52.3，52.5，52.6，

52.7，53.4，54.9，55.6，56.7，56.9，58.7；

（Ⅰ）从A，B两种茶叶亩产数据中各任取1个，求这两个数据都不低于55的概率；

（Ⅱ）从B品种茶叶的亩产数据中任取2个，记这两个数据中不低于55的个数为X，求X的分布列及数学期望；

（Ⅲ）根据以上数据，你认为选择该县应种植茶叶A还是茶叶B？说明理由．

5、（丰台区2020届高三上学期期末考试）目前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境. 我国的垃圾处理多采用填埋的方式，占用上万亩土地，并且严重污染环境. 垃圾分类把不易降解的物

质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失. 2020年5月1日起，北京市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类 .生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源. 如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75％，节省造纸能源消耗40％～50％.

现调查了北京市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：

A 小区

B 小区

C 小区

D 小区

E 小区 废纸投放量（吨） 5 5.1 5.2 4.8 4.9 塑料品投放量（吨）

3.5

3.6

3.7

3.4

3.3

（Ⅰ）从A ，B ，C ，D ，E 这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放

量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；

（Ⅱ）从A ，B ，C ，D ，E 这5个小区中任取2个小区，记X 为12月份投放的废纸可再造好纸超过4

吨的小区个数，求X 的分布列及期望．

6、（海淀区2020届高三上学期期末考试）某市《城市总体规划（2016—2035年）》提出到

2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建 “15分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区（指数为0.6~1）、良好小区（指数为0.4~0.6）、中等小区（指数为0.2~0.4）以及待改进小区（指数为0 ~0.2）4个等级. 下面是三个小区4个方面指标的调查数据：

小区

指标值 权重 A 小区 B 小区 C 小区 教育与文化（0.20） 0.7 0.9 0.1 医疗与养老（0.20） 0.7 0.6 0.3 交通与购物（0.32） 0.5 0.7 0.2 休闲与健身（0.28）

0.5

0.6

0.1

注：每个小区“15分钟社区生活圈”指数11

223344T wT w T w T w T =+++，其中1234,,,w w w w 为该小区四个方面的权重，1234,,,T T T T 为该小区四个方面的指标值（小区每一个方面的指标值为0~1之间的一个数值）.

现有100个小区的“15分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：

分组

[0,0.2）

[0.2,0.4）

[0.4,0.6）

[0.6,0.8）

[0.8,1]

频数 10 20 30 30 10

（Ⅰ）分别判断A ，B ，C 三个小区是否是优质小区，并说明理由；

（Ⅱ）对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取

10个小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.

7、（石景山区2020届高三上学期期末考试）一款小游戏的规则如下：每盘游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6点”获得15分，出现三次“6点”获得120分，没有出现“6点”则扣除12分(即获得－12分)．

（Ⅰ）设每盘游戏中出现“6点”的次数为X ，求X 的分布列； （Ⅱ）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得15分的概率；

（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．

8、（通州区2020届高三上学期期末考试）为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格. 良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校.各等级学生人数占该校学生总人数的比例如下表：

(Ⅰ)从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；

(Ⅱ)从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X ，求X 的分布列；

(Ⅲ)设8所学校优秀比例的方差为S 12，良好及其以下比例之和的方差为S 22，比较S 12与S 22的大小.（只写出结果）

9、（西城区2020届高三上学期期末考试）高铁和航空

飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了

我国经济的巨大发展.据统 计,在2018年这一年内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为

50万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取100人次作为样本,得到下表(单位:人次):

满意度

老年人

中年人

青年人

乘坐高铁

乘坐飞机

乘坐高铁

乘坐飞机

乘坐高铁

乘坐飞机

比例 学校 等级 学校A 学校B 学校C 学校D 学校E 学校F 学校G 学校H 优秀 8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3%

良好 37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35%

及格 22% 30% 33% 26% 22% 17% 23% 38%

不及格 33% 17% 42% 35% 32% 15% 38% 24%

[键

入

10分(满意) 12 1 20 2 20 1 5分(一般)

2

3 6 2

4 9 0分(不满意) 1 0

6

3

4

4

（1）在样本中任取1个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;

（2）在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取2人次,记其中老年人出行的人次为

X .以频率作为概率,求X 的分布列和数学期望;

（3）如果甲将要从A 市出发到B 市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由.

参考答案：

1、（1）设高一年级有a 人，高二年级有b 人. 采用分层抽样，有

75

,3361233612

a b ==. 所以高一年级有196人，高二年级有140人.

（2）从上表可知，从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”. 故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为3

5

. （3）ξ的所有可能取值为1,2,3.

1232353(1)10C C P C ξ===,2132353(2)5C C P C ξ===,333

5(3)1

10

C P C ξ===. 所以ξ的分布列为

ξ

1

2

3

P

310

3

5

110

故ξ的期望3319()123105105

E ξ=?

+?+?=. 2、解：（Ⅰ）由题意知，所抽取的20人中得分落在组[0,20]的人数有0.005020202??=（人），

得分落在组(20,40]的人数有0.007520203??=（人）．

所以所抽取的20人中得分落在组[0,20]的人数有2人，得分落在组(20,40]的人数有3

人． ………4分

（Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2．

33351(0)10C P X C ===， 1223356

(1)10C C P X C ===， 21

233

53(2)10

C C P X C ===． 所以X 的分布列为

所以X 的期望163

012 1.2101010

EX =?

+?+?=． ………10分 （Ⅲ）答案不唯一．

答案示例1：可以认为该选手不会得到100分．理由如下：

该选手获得100分的概率是201

()4

，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分． 答案示例2：不能认为该同学不可能得到100分．理由如下：

该选手获得100分的概率是201()4

，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到100分． ……………14分

3、解：（Ⅰ）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到

5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即

270530

0.810001000

+=. ..............................3分 （II ）由题意X 的所有可能值为0,1,2.

记事件A 为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10

元以上”，

事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以

上”，

由题意可知，事件，A B 相互独立，且

()140%0.6P A =-=，()145%0.55P B =-=，

所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P X=P AB ==--=，

(1)()()()()(1())(1()()

0.610.5510.6)0.550.49P X P AB+AB P AB P AB P A P B P A P B ===+=-+-=?-+-?=（）（，

()()0.60.550.33.P X=2P AB ==?=

所以X 的分布列为

X 0 1 2

P

0.18 0.49 0.33

故X 的数学期望00.1810.4920.33 1.15（）E X =?+?+?=. …………10分 （III ）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，那么

3

270

31000

()0.02.C P D C =≈

回答一：事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有

发生变化.

回答二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加. ……………

13分

4、解：

（Ⅰ）从A 种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有11个，

从B 种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有4个，

设“所取两个数据都不低于55”为事件A ，则

11411

()=

=

2020100

P A ? （Ⅱ）X 的所有可能取值为0,1,2

2016422060

(0)==95C C P X C =，

1116422032

(1)==95C C P X C =，

021642203

(2)==95

C C P X C =，

∴X 的分布列为

X

0 1 2

P

1219

32

95 395

∴期望123232

()0121995955

E X =?+?+?=

（Ⅲ）如果选择A ，可以从A 的亩产数据的中位数或平均值比B 高等方面叙述理由．

如果选择B ，可以从B 的亩产数据比A 的方差小，比较稳定等方面叙述理由．

5、解：（Ⅰ）记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件A .

由题意，有B ，C 两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过

3.5吨， 所以2()5

P A =

. (4)

分

（Ⅱ）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，

所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有B ，C ，共2个小区. X 的所有可能取值为0，1，2. 2

325

3(0)10C P X C ==

=

；

11322563(1)10

5

C C P X C ?==

==

；

2225

1(2)10

C P X C ===

.

所以X 的分布列为:

X 0 1

2

P

310

35

110

3

314

()012105105

E X =?

+?+?=． ……………….13分

6、解：（Ⅰ）方法1:

A 小区的指数0.70.20.70.20.50.320.50.280.58T =?+?+?+?=， 0.580.60<,所以A 小区不是优质小区;

B 小区的指数0.90.20.60.20.70.320.60.280.692T =?+?+?+?=， 0.6920.60>,所以B 小区是优质小区;

C 小区的指数0.10.20.30.20.20.320.10.280.172T =?+?+?+?=， 0.1720.60<,所以C 小区不是优质小区. 方法2:

A 小区的指数0.70.20.70.20.50.320.50.280.58T =?+?+?+?= 0.580.60<,所以A 小区不是优质小区;

B 小区的指数0.90.20.60.20.70.320.60.28T =?+?+?+?

0.60.20.60.20.60.320.60.280.6>?+?+?+?=.

B 小区是优质小区;

C 小区的指数0.10.20.30.20.20.320.10.28T =?+?+?+?

0.60.20.60.20.60.320.60.280.6

C 小区不是优质小区.

（在对A 、B 、C 小区做说明时必须出现与0.6比较的说明.每一项中结论1分，计算和说明理由1分）

（Ⅱ）依题意，抽取10个小区中，共有优质小区3010

104100

+?

=个，

其它小区1046-=个. 依题意ξ的所有可能取值为0，1，2.

2

6210C 151

(0)C 453P ξ====；

1146

210C C 248(1)C 4515

P ξ====；

24210C 62

(2)C 4515

P ξ====.

则ξ的分布列为：

ξ 0

1

2

P

13

815

215

1824

012315155

E ξ=?+?+?= .

7、解：（Ⅰ）X 可能的取值为0，1，2，3. ……………1分

每次抛掷骰子，出现“6点”的概率为16

p =

. 0331125(0)(1)6216P X C ==-=， 1231175(1)(1)66216P X C ==?-=， 2231115(2)()(1)66216P X C ==?-=，33

311(3)()6216

P X C ===，

……………5分

所以X 的分布列为：

……………6分

（Ⅱ）设“第i 盘游戏获得15分”为事件A i (i ＝1，2)，则

12905

()()(1)(2)21612

P A P A P X P X ===+==

=. ……………8分 所以“两盘游戏中至少有一次获得15分”的概率为12951()()144

P A P A -= 因此，玩两盘游戏至少有一次获得15分的概率为95

144

. ……………10分 （Ⅲ）设每盘游戏得分为Y .

由（Ⅰ）知，Y 的分布列为：

Y

12- 15 120 P

125216 512 1

216 Y 的数学期望为125515

12151202161221636

EY =-?+?+?=-. ……12分 这表明，获得分数Y 的期望为负．

因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大． ……………13分

8、解：（Ⅰ）8所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40% ， ……………1分

所以从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率为

1

2

. ……………3分 （Ⅱ）8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B 、F 、H 三所，所以X 的取值为0，1，2. ……………4分

145)0(2825===C C X P 2851)1(281

315===C C C X P 28

3

)2(2823=

==C C X P 所以随机变量X 的分布列为

X 0 1 2

P

514 1528

3

28

……………10分

（Ⅲ）S 12=S 22 ……………13分

X

0 1 2 3 P

125

216 2572 572 1216

9、（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42， 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929

()10050

P M +==． （2）由题意，X 的所有可能取值为：012.，，

因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人

为老年人概率是

151

755

=， 所以022

116(0)C (1)525

P X ==?-=， 12

118

(1)C (1)5525P X ==??-=， 22211

(2)C ()525

P X ==?=

， 所以随机变量X 的分布列为：

1

2

16

25

8

25

125

故16812()0122525255

E X =?

+?+?=． （3）答案不唯一，言之有理即可．

如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：

由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：5210125110116

52121115

?+?+?=++

乘坐飞机的人满意度均值为：4101457022

41475

?+?+?=++

因为

11622

155

>， 所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市．