无穷级数
无穷级数
用解析的形式来逼近函数，一般就是利用比较简单的函数形式，逼近比较复杂的函数，最为简单的逼近途径就是通过加法，即通过加法运算来决定逼近的程度，或者说控制逼近的过程，这就是无穷级数的思想出发点。
目录
概述
历史
判断
数项级数的性质
幂级数
泰勒展开式
Fourier级数
收敛与发散性质
概述
历史
判断
数项级数的性质
幂级数
泰勒展开式
Fourier级数
收敛与发散性质
判别法
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无穷级数是研究有次序的可数或者无穷个数函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。只有无穷级数收敛时有一个和；发散的无穷级数没有和。算术的加法可以对有限个数求和，但无法对无限个数求和，有些数列可以用无穷级数方法求和。包括数项级数、函数项级数（又包括幂级数、Fourier级数；复变函数中的泰勒级数、Laurent(洛朗)级数）。
英国曼彻斯特大学和埃克塞特大学的研究小组指出，喀拉拉学校也曾发现可用于计算圆周率的无穷级数，并利用它将圆周率的值精确到小数点后第9位和第10位，后来又精确到第17位。研究人员说，一个极有说服
力的间接证据是，15世纪，印度人曾经将他们的发现告知造访印度的精通数学的耶稣会传教士。?无穷级数?可能最终摆到了牛顿本人的书桌上。
约瑟夫是在通读字迹模糊的印度文字材料时得出这些发现的，他的畅销著作《孔雀之冠：非欧洲的数学之根》(The Crest of the Peacock: the Non-European Roots of Mathematics)的第3版将刊登此次发现，该书由普林斯顿大学出版社负责出版。他说：?现代数学的起源通常被视为欧洲人取得的一项成就，但中世纪(14至16世纪)印度的这些发现却被人们忽视或者遗忘了。17世纪末期，牛顿的工作取得了辉煌的成就。他所做的贡献是不容人们抹杀的，尤其在提到微积分的运算法则时更是如此。但喀拉拉学校的学者——特别是马德哈瓦(Madhava)和尼拉坎特哈(Nilakantha)的
名字也同样不能忘记，他们取得的成就足以和牛顿平起平坐，因为正是他们发现了微积分的另一个重要组成部分——无穷级数。?
约瑟夫表示：?喀拉拉学校所做的贡献未能获得世人的承认有很多原因，其中一个最重要的原因便是对非欧洲世界的科学发现漠然视之的态度，这种做法无疑是对欧洲殖民主义在科学领域的一种延续。此外，对于中世纪的喀拉拉语、马拉雅拉姆语等印度当地语言的形态，外人可以说是知之甚少，而诸如《Yuktibhasa》等一些最具有开创性的著作却又偏偏使用了这些语言。《Yuktibhasa》的大部分篇幅都用来阐述产生重要影响的无穷级数。?他指出：?我们真的无法想象，西方社会能够抛弃奉行了500年之久的传统，从印度和伊斯兰世界‘进口’学识和著作。但我们还是发现了强有力的证据，例如，由于当时的欧洲耶稣会士曾造访这一地区，所以他们有很多收集相关信息的机会。更为重要的是，这些耶稣会士不但精通数学，同时也精通当地的语言。
约瑟夫说：?他们之所以这么做实际上有很大的动机：教皇格雷戈里八世组建了一个委员会，专门负责为罗马的儒略历实现现代化。这个委员会的成员包括德国耶稣会士、天文学家兼数学家克拉维乌斯，他曾多次要求获得世界其它地区的人如何打造历法的信息，而喀拉拉学校无疑在这一领域扮演着领导者的角色。?他表示：?类似地，人们对更有效的导航方式的需求也变得越发强烈，包括在探险之旅中如何保持时间的准确性。此外，致力于天文学研究的数学家也可凭借自己的努力获得大奖。因此，欧洲重要的耶稣会研究人员的足迹便开始遍布全世界，以获得相关的知识和信息，而喀拉拉学校的数学家无疑是这一领域的大师。?
如假定有一个无穷数列：
u1,u2,u3,...un,...
其前n项的和为：
sn = u1 + u2 + u3 + ... + un
由此得出另一个无穷数列：
s1,s2,s3,...sn,...
它是由上一个无穷数列持续相加造成的。
例如，如果u是任意的：
u1=1，u2=3，u3=5，...un ...
但s不会是任意的，它是和任意数列有逐级加和关系的：
s1=1，s2=4，s3=9，...sn，...
当n无限增加时，sn趋向一个极限
如果极限存在，这个无穷数列就叫做是收敛的无穷级数，如果极限不
存在，这个数列就是发散的。只有收敛的无穷级数存在一个和s。
s = u1 + u2 + u3 + ... + un + ...
I. 若有一个无穷级数： u1 + u2 + u3 + ... + un + ... 如果每一
项乘以一个常数a，则和等于as。 as = au1 + au2 + au3 + ... + aun + ...
II. 收敛级数可以逐项相加或相减，如有两个无穷级数：
s = u1 + u2 + u3 + ... + un + ...和 t = v1 + v2 + v3 + ... + vn + ...则s+t=(u1+v1)+(u2+v2)+
无穷级数
(u3+v3)+...+(un+vn)+...
III. 级数前面加上有限项或减去有限项不影响其收敛性，如： s = u1 + u2 + u3 + ... + u9和
无穷级数
s = u15 + u16 + u17 + ... + u50 这两个级数的收敛性是一样的。
一个任意项级数，如果由它的各项的绝对值所得到的级数收敛，则原
来的级数也收敛，如果发散，则原来的级数不一定也发散，如果反而是收敛，则称这种级数为条件收敛的。实际上，条件收敛的级数，可以通过变
换级数各项的顺序而使得这个级数收敛于任意实数，包括无穷大。
幂级数。以及幂级数的收敛半径和收敛区间。
级数的每一项也可以是函数，这种级数称为函数项级数。
这里我们讨论一种特定的函数项级数，即由如下形式的幂函数组成的
级数，称为幂级数。
也可以直接写成。幂级数的敛散性具有很好的特征，即所谓阿贝尔定理：如果幂级数在点x=k 处收敛，那么它在区间内的每一点处都绝对收敛；反之，如果幂级数在点x=k 处发散，那么对于不属于的所有x都发散。上
面的定理使得幂函数的收敛域只能是一个开区间，称为幂级数的收敛区间。收敛区间的长度的一半称为收敛半径。应用对于正项级数的比值判别法和
根值判别法的极限形式，可以求出幂级数的收敛半径。
设对于幂级数的系数，有，其中K为有限数值或者是无穷大。进一步，就有，则得到：
（1）如果K大于0，则在L小于1时，幂级数绝对收敛，而L大于1时，幂级数发散，因此此时幂级数的收敛半径为1/K。
（2）如果K=0，则对于任意的x幂级数都是绝对收敛的，因为此时
L=0，小于1
无穷级数
，这时可以认为幂级数的收敛半径为无穷大。
（3）如果K为无穷大，则幂级数只在x=0处收敛，而取任意非零的数值时，级数都是发散的，因此可以认为幂级数的收敛半径为0。
类似地，也可以根据根值判别法的极限形式，得到相同的结论。求出幂级数的收敛半径以后，
无穷级数
即可得到相应的收敛区间和收敛区域。
幂级数的微分，积分，连续性。
对于一个幂级数，如果它的收敛半径大于0，那么在它的收敛区域内，就得到了一个确定的以
无穷级数
这个收敛区域为定义域的函数，为这个幂级数的和函数，自然，对于这个和函数也应该能够应用微积分的方法加以研究。
首先是对和函数的求导：
如果幂级数的收敛半径r大于0，则它的和函数S（x）在（-r，r）上必定可微，并且导函
无穷级数
数为。和函数的可微区间是开区间，因为即使和函数在这个区间的端点可能有定义，这个定理也不能保证和函数在端点处具有可微性。
和函数还具有连续性：如果幂级数的收敛半径r大于0，则它的和函数S（x）在其定义域上连
无穷级数
续。对于连续性，定理强调的是在它的定义域上，也就是包括有定义的端点。连续性也就意味着可以对幂级数逐项求极限。
幂级数展开法
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+. ..
无穷级数
实用幂级数
e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...
ln(1+x)= x-x^2/3+x^3/3-...(-1)^(k-1)*x^k/k+... (|x|<1)
sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-∞ 无穷级数 <∞) cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)k*x^(2k)/(2k)!+... (-∞ arccos x = π - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... ) (|x|<1) arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1) sinh x = x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞ 无穷级数 ∞) cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞ arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - ... (|x|<1) arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1) Fourier级数 三角级数 (傅立叶级数、三角级数) 无穷级数 f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx) a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx) 无穷级数 dx bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx 洛朗级数 洛朗（Laurent）级数复变函数内解析函数的洛朗展开 泰勒级数是洛朗级数的特殊形式 收敛与发散性质 首先我们只是考虑级数的敛散性的问题，也就是存在性问题，而不是 无穷级数 如何求极限的问题。关于无穷级数的敛散性，有如下的基本性质：1．任意改变一个级数的任意有限项的值，都不影响这个级数的敛散性。 原因很显然，只要对一个级数所作的改变是有限的，就不能使得这个级数，由趋向于无穷而变得趋向于有限，也不能使得这个级数由趋向于有限而变得趋向于无穷，或者是由根本不存在任何极限，而变得出现极限。 2．如果任意有限个无穷级数都是收敛的，那么它们任意的线性组合也必定是收敛的。 注意对于都是发散的级数，则不存在类似的结论。 3．在一个收敛级数的各个项之间任意地填加括号，得到一个新的级数，收敛于同样的和。 4．级数收敛的一个必要条件是它的通项以0为极限。 即 收敛。 判别法 正项级数及其敛散性判别法 如果一个无穷级数的每一项都大于或等于0，则这个级数就是所谓的正项级数。 正项级数的主要特征就是如果考虑级数的部分和数列，就得到了一个单调上升数列。而对于单调上升数列是很容易判断其敛散性的：正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界。 有界性可以通过许多途径来进行判断，由此我们可以得到一系列的敛散性判别法。 比较判别法： （1）一个正项级数，如果从某个有限的项以后，所有的项都小于或等于一个已知收敛的级数的相应项，那么这个正项级数也肯定收敛。 （2）而如果用来作比较的级数已知是发散的话，在同样条件之下，这个正项级数同样也是发散的。 如果说逐项的比较还有些麻烦的话，可以采用如下的极限形式：对于正项级数 和，如果，即它们的通项的比趋向于一个非0的有限值，那么这两个级数具有相同的敛散性。 积分判别法 对于正项级数如果存在一个单调下降连续函数f（x），有f（n）=un，那么级数与广义积分具有相同的敛散性。 比值判别法 设正项级数从一个确定的项以后，每一项都严格大于0，并且如果有，那么这个级数收敛，反之，如果从一个确定的项以后，每一项都严格大于0，并且有，则级数发散。同样这种比较也可以采用极限形式：设正项级数从一个确定的项以后，每一项都严格大于0，并且如果有，那么当C大于1，则级数发散，当C小于1，则级数收敛，如果等于1，则本判别法无法进行判断。 根值判别法 对于正项级数，如果从某一个确定的项开始，都有，则级数收敛，反之，如果从一个确定的项以后，每一项都满足，则级数发散。同样这种比较也可以采用极限形式：设正项级数从一个确定的项以后，那么当C大于1，则级数发散，当C小于1，则级数收敛，如果等于1，则本判别法无法进行判断。绝对收敛级数。 实际上针对正项级数的敛散性判别法的有效范围还可以扩大，也就是说，还可以用于判断更多的级数是收敛的。这是通过引入绝对收敛的概念而得到的。 如果我们把一个任意项的级数的每一项都取绝对值，那么就得到了一个正项级数，如果这个正项级数是收敛的，那么这个任意项级数就被称为是绝对收敛的。给出绝对收敛这么一类任意项级数的好处，就在于一个任意项级数如果是绝对收敛的，那么也就一定是收敛的。 绝对收敛级数不仅具有可以应用针对正项级数的敛散性的判别法的特性，还具有如下的性质： （1）如果把任意项级数的所有正项都保持不变，而所有负项都更换为0，那么就得到一个正项级数；如果把它的所有负项都改变符号，而正项都更换为0，则得到另一个正项级数，然后就得到一个任意项级数的绝对收敛的充要条件，为正项级数与都收敛。从这个性质能够得到一个推论，即：如果任意项级数绝对收敛，就有。 作为加法交换律的一个推广，对于正项级数，如果任意改变它的各项的相加顺序，不会改变它的敛散性，同样，对于绝对收敛级数也有这样的性质。 （2）对绝对收敛的任意项级数，任意改变它的各项的相加顺序，不会改变它的敛散性，并且是收敛于同样的极限。 不只是对于加法的交换律，对于绝对收敛级数的乘积也有性质： （3）如果两个任意项级数都绝对收敛，那么它们的各项的乘积，按照任意方法排列而得到的级数同样绝对收敛，并且和为两个任意项级数的和的乘积。 考虑一种特别的级数形式，即相邻两项的符号相反，称为交错级数。交错级数具有一个简单的性质： 如果为一个单调递减数列，并且以0为极限，那么通过改变这个数列相邻两项的符号而构造的两个交错级数都收敛。 这种级数称为莱布尼兹级数。 目录 摘要 (2) 1无穷级数求和问题的几种方法 (2) 1.1利用级数和的定义求和 (2) 1.2利用函数的幂级数展开式求和 (3) 1.3利用逐项求积和逐项求导定理求和 (4) 1.4逐项求极限 (5) 1.5利用Flourier级数求和 (7) 1.6构建微分方程 (9) 1.7拆项法 (9) 1.8将一般项写成某数列相邻项之差 (10) 2总结 (12) 3参考文献 (12) 无穷级数求和问题的几种方法 摘要：无穷级数是数学分析中的一个重要内容，同时无穷级数求和问题，也是学生学习级数过程中较难掌握的部分.然而，无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子，根据无穷级数的不同特点，介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧. 关键词：数项级数；幂级数；级数求和 无穷级数是数学分析中的一个重要内容，它是以极限理论为基础，用以表示函数，研究函数的性质以及进行数值计算的一种重要工具.然而数学分析中注重函数的敛散问题，却对无穷级数求和问题的方法介绍的比较少，所以求和问题是学生学习级数过程中较难掌握的部分.无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子，根据不同的无穷级数的不同特点，介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧. 1利用级数和的定义求和 定义[1] 若级数1 n n u ∞ =∑的部分和数列{}n S 收敛于有限值S ，即1 l i m l i m n n n n n S u S ∞ →∞ →∞ == =∑, 则称级数1 n n u ∞ =∑收敛，记为1 n n u S ∞ ==∑，此时S 称为级数的和数；若部分和数数列 {}n S 发散，则称级数1 n n u ∞ =∑发散. 例1 求级数()∑∞ =--1 112n n q n ，1≤q 的和 . 解： 2311357(21)n n S q q q n q -=+++++- (1) 2341357(23)(21)n n n qS q q q q n q n q -=+++++-+- (2) （1）-（2）得： 1 1(1)12(21)1n n n q q S q n q q ---=+--- 12 112(21)1(1)1n n n q q S q n q q q --=+----- 2 12lim 1(1)n n q S q q →∞ = +-- 即级数和 2 121(1) q S q q = +--. 无穷级数整理 一、数项级数 （一）数项级数的基本性质 1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0. 2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛） 3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散. 4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变. 5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法 （1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和 ∑∞ =1 n n v 之间自某项以后成立着关系： 存在常数0>c ，使),2,1(Λ=≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1n n u 亦收敛； （ii ）当级数 ∑∞ =1 n n u 发散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. 推论：设两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v ，且自某项以后有 n n n n v v u u 1 1++≤，那么 （i ）当级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1n n u 亦收敛； （ii ）当级数 ∑∞ =1 n n u 发散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. （3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v ， 若0lim >=∞→l v u n n n ， 那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0=l ，则当级数 ∑∞ =1 n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1 n n u 亦收敛；若∞=l ，则当级数 ∑∞ =1 n n u 发 散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. 2016考研数学数项级数敛散性判定解题思路总结 数项级数敛散性判定是考研数学一数三考试的重点题型，而且是考试的难点，为了便于同学们解题，文都考研高端数学老师帮大家总结了此种题型的解题思路和常用结论，希望对大家的学习有帮助。 1.解题思路 若有两个收敛，则第三个收敛; 若其中一个收敛，另一个发散，则第三个发散; 若有两个发散，则第三个敛散性不确定; 若有两个绝对收敛，则第三个绝对收敛; 若其中一个绝对收敛，另一个条件收敛，则第三个条件收敛; 若有两个条件收敛，则第三个收敛，但不能判断它是绝对收敛还是条件收敛。 1.林黛玉：三生石畔，灵河岸边，甘露延未绝，得汝日日倾泽。离恨天外，芙蓉潇湘，稿焚情不断，报汝夜夜苦泪。 2.薛宝钗：原以为金玉良缘已成，只待良辰，奈何君只念木石前盟，纵然艳冠群芳牡丹姿，一心只怜芙蓉雪。 3.贾元春：贤孝才德，雍容大度，一朝宫墙春不再，一夕省亲泪婆娑。昙花瞬息，红颜无罪，到底无常。 4.贾探春：虽为女流，大将之风，文采诗华，见之荡俗。诗社杏花蕉下客，末世悲剧挽狂澜，抱负未展已远嫁。 5.史湘云：醉酒卧石，坦荡若英豪，私情若风絮，嫁与夫婿博长安，终是烟销和云散，海棠花眠乐中悲。 6.妙玉：剔透玲珑心，奈何落泥淖，青灯古佛苦修行，高洁厌俗袅亭亭。可惜不测之风云，玉碎冰裂，不瓦全。 7.贾迎春：沉默良善，见之可亲，深宅冷暖，累遭人欺，腹中无诗情风骚，膺内缺气概魄力。空得金黄迎春名，可怜一载赴黄泉。 8.贾惜春：高墙白曼陀，冷水伴空门。孤寒寂立一如霜，如何能得自全法？狠心舍弃近身人。侯门金簪冰雪埋，海灯僻冷长弃世。 9.王熙凤：毒酒甘醇，罂粟灿艳，锦绣华衣桃花眼，眼明刀锋吊梢眉。何幸七窍玲珑心，只惜冷硬霜凝集。千机算尽，反误性命。 无穷级数总结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 无穷级数总结 一、概念与性质 1. 定义：对数列12,, ,n u u u ，1 n n u ∞ =∑称为无穷级数，n u 称为一般项；若部分 和 数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞ =，称级数收敛，否则称为发散. 2. 性质 ①设常数0≠c ，则∑∞ =1 n n u 与∑∞ =1 n n cu 有相同的敛散性； ②设有两个级数∑∞=1 n n u 与∑∞=1 n n v ，若∑∞==1 n n s u ，σ=∑∞=1 n n v ，则∑∞ =±=±1 )(n n n s v u σ； 若∑∞=1n n u 收敛，∑∞=1 n n v 发散，则∑∞ =±1 )(n n n v u 发散； 若∑∞ =1 n n u ，∑∞=1 n n v 均发散，则∑∞ =±1 )(n n n v u 敛散性不确定； ③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性； ④设级数∑∞ =1n n u 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的 和． 注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散； ②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定． ⑤级数∑∞ =1n n u 收敛的必要条件：0lim =∞ →n n u ； 注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散； ②若0lim =∞ →n n u ，则∑∞ =1n n u 未必收敛； ③若∑∞ =1 n n u 发散，则0lim =∞ →n n u 未必成立． 二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法 ① 定义：若0n u ≥，则∑∞ =1n n u 称为正项级数. ② 审敛法： （i ） 充要条件：正项级数∑∞ =1n n u 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界. （ii ） 比较审敛法：设∑∞=1 n n u ①与∑∞ =1 n n v ②都是正项级数，且 (1,2,)n n u v n ≤=，则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散. A. 若②收敛，且存在自然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≤>成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≥>成立，则①发散； B. 设∑∞ =1n n u 为正项级数，若有1p >使得1 (1,2,)n p u n n ≤=，则∑∞ =1 n n u 收敛；若 1 (1,2,)n u n n ≥=，则∑∞ =1 n n u 发散. C. 极限形式：设∑∞ =1 n n u ①与∑∞ =1 n n v ②都是正项级数，若lim (0)n n n u l l v →∞=<<+∞，则 ∑∞ =1 n n u 与∑∞ =1 n n v 有相同的敛散性. 注：常用的比较级数： ①几何级数：∑∞ =-?? ???≥<-=11 1 11n n r r r a ar 发散； ②-p 级数：∑ ∞ =???≤>1 111n p p p n 时 发散 时收敛； 第十一讲 无穷级数 一、考试要求 1、 理解（了解）级数的收敛、发散以及收 敛级数的和的概念。 2、 掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数与P 级数的收敛与发散 的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 3、 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系，掌 握交错级数的莱布尼茨判别法。 4、 掌握（会求）幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 5、 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项 积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 6、 掌握e x ,sinx,cosx,ln(1+x)与（1+x)α的麦克劳林展开式，会用它们将简单函 数间接展开成幂级数。 7、 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在 [-L ，L]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，L]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 二、内容提要 1 数项级数 (1) 定义 (2) 性质：1）若∑∞ =1n n u 加括号发散? u n n =∞ ∑1 发散; 2）若u n n =∞∑1 收敛?lim n n u →∞ =0 2 正项级数 (1) 定义 (2) 判敛：1) {}S n 有界；2) 比较法；3) 比值法；4) 根值法 3 交错级数 ()--=∞ ∑111n n n u 4 一般项级数 绝对收敛，条件收敛 5 函数项级数 幂级数: (1) 收敛半径、收敛区间、收敛域 (2) Abel 定理：若已知a x x n n n =∞ ∑-00()在x=a 点收敛（发散），则 无穷级数 1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：1lim n k n k S u ∞ →∞ ==∑存在，称级数收敛。 2.若任意项级数1 n n u ∞=∑收敛，1 n n u ∞=∑发散，则称1 n n u ∞=∑条件收敛，若1 n n u ∞=∑收敛，则称级数1 n n u ∞ =∑绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。. 2. 任何级数收敛的必要条件是lim 0n n u →∞ = 3.若有两个级数1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞=∑，1 1 ,n n n n u s v σ∞∞ ====∑∑ 则 ①1()n n n u v s σ∞ =±=±∑，11n n n n u v s σ∞∞==???? ?=? ? ????? ∑∑。 ②1 n n u ∞=∑收敛，1 n n v ∞=∑发散，则1 ()n n n u v ∞ =+∑发散。 ③若二者都发散，则1 ()n n n u v ∞=+∑不确定，如()1 1 1, 1k k ∞∞==-∑∑发散，而()1 110k ∞ =-=∑收敛。 4．三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数： a) b) P 级数： c) 对数级数： 5.三个重要结论 6．常用收敛快慢 正整数 由慢到快 连续型由慢到快 7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧 1. 11,lim 1,lim 0) 1,n n n n n n l u l l u l μμ+→∞→+∞ ?≠?? =??收发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时） 2. 1,1,1,n n l l l n l μ??=? 收发（当为某次方时）单独讨论 3. ① 代数式 1 1 1 1 n n n n n n n n n n u v v u u v ∞∞∞∞ ====≤???∑∑∑∑收敛收敛，发散发散 ② 极限式 lim n n n u A v →∞=，其中：1n n u ∞=∑和1n n v ∞ =∑都是正项级数。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 0 ? 0 ? n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n A u v u v v u u v A u v u kv u v A v u v u u v v u ∞ ∞ ∞ ∞ ====∞∞ ==∞ ∞ ∞ ∞ =====→→ 八、 无穷级数（数学一和数学三） 引 言 所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同。历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如 +-++-+-+1 ) 1(1111n 历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和”， 第一种 0)11()11()11(=+-++-+- 第二种 1)11()11()11(1=-------- 第三种 设S n =+-++-+-+ 1 )1(1111 则[]S =+-+-- 11111 S S =-1， 12=S ， 2 1 = S 这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识， （1）什么是无穷多项相加？如何考虑？ （2）无穷多项相加，是否一定有“和”？ （3）无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概念和性质需要作详细的讨论。 §8．1 常数项级数 A 内容要点 一．基本概念与性质 1．基本概念 无穷多个数 ,,,,,321n u u u u ，依次相加所得到的表达式 +++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211 () ,3,2,13211 =++++== ∑=n u u u u u S n n k k n 称为级数的前n 项的部分和。 {}),3,2,1( =n S n 称为部分和数列。 若() S S n n =∞ →存在lim ，则称级数 ∑∞ =1n n u 是收敛的，且其和为S ，记以 S u n n =∑∞ =1 若n n S ∞ →lim 不存在，则称级数 ∑∞ =1 n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。 （注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中，不作这种要求。） 2．基本性质 （1）如果 ∑∞ =1 n n u 和 ∑∞ =1 n n v 皆收敛，b a ,为常数，则 ()∑∞ =+1 n n n bv au 收敛，且等于∑∑∞ =∞ =+1 1 n n n n v b u a （2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。 （3）收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。 发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。 （4）级数 ∑∞ =1 n n u 收敛的必要条件是0lim =∞ →n n u 。 （注：引言中提到的级数 ()∑∞ =+-1 11n n ，具有1)1(lim +∞→-n n 不存在，因此收敛级数的必要条件不满足，故 () ∑∞ =+-1 1 1n n 发散。调和级数∑∞ =11n n 满足01 lim =∞→n n ，但∑∞ =11n n 却是分散的。所以 满足收敛级数的必要条件0lim =∞ →n n u ，而 ∑∞ =1 n n u 收敛性尚不能确定。） 3．两类重要的级数无穷级数求和问题的几种方法
(完整版)无穷级数整理
考研数学数项级数敛散性判定解题思路总结
无穷级数总结
第十一讲 无穷级数分解
无穷级数知识点
无穷级数(数学一和数学
第十二章无穷级数(解题方法归纳)