2014-2017高考真题 第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ
第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ
考点1 函数的概念
1.(2015·浙江，7)存在函数f (x )满足：对任意x ∈R 都有( )
A.f (sin 2x )＝sin x
B.f (sin 2x )＝x 2＋x
C.f (x 2＋1)＝|x ＋1|
D.f (x 2＋2x )＝|x ＋1|
1.D [排除法，A 中，当x 1＝π2，x 2＝－π
2
时，f (sin 2x 1)＝f (sin 2x 2)＝f (0)，而sin x 1≠sin x 2，∴
A 不对；
B 同上；
C 中，当x 1＝－1，x 2＝1时，f (x 21＋1)＝f (x 2
2＋1)＝f (2)，而|x 1＋1|≠|x 2＋1|，
∴C 不对，故选D.]
2.(2015·新课标全国Ⅱ，5)设函数f (x )＝?
????
1＋log 2(2－x )，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )
A.3
B.6
C.9
D.12
2.C [因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 212×2－
1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C.]
3.(2014·山东，3)函数f (x )＝
1
(log 2x )2－1
的定义域为( )
A.????0，12
B.(2，＋∞)
C.????0，12∪(2，＋∞)
D.????0，1
2∪[2，＋∞) 3.C [(log 2x )2－1>0，即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0＜x <1
2，故所求的定义域是????0，12∪(2，＋∞).]
4.(2014·江西，2)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )
A.(0,1)
B.[0,1]
C.(－∞，0)∪(1，＋∞)
D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
4.C [由题意可得x 2－x >0，解得x >1或x <0，所以所求函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞).]
5.(2014·江西，3)已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R ).若f [g (1)]＝1，则a ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.－1
5.A [因为f [g (1)]＝1，且f (x )＝5|x |，所以g (1)＝0，即a ·12－1＝0，解得a ＝1.]
6.(2014·安徽，9)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A.5或8 B.－1或5 C.－1或－4 D.－4或8
6.D [当a ≥2时，f (x )＝?????
3x ＋a ＋1，x >－1，
x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，
－3x －a －1，x <－a 2
，
如图1可知，当x ＝－a
2
时，f (x )min ＝f ????－a 2＝a 2－1＝3，可得a ＝8； 当a <2时，f (x )＝????
?
3x ＋a ＋1，x >－a
2
，
－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2
，－3x －a －1，x <－1，
如图2可知，当x ＝－a 2时，f (x )min ＝f ????－a 2＝－a
2＋1＝3，可得a ＝－4. 综上可知，答案为D.]
图1 图2
7.(2014·上海，18)设f (x )＝????
?
(x －a )2
，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )
A.[－1,2]
B.[－1,0]
C.[1,2]
D.[0,2]
7.D [∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，又f (0)是f (x )的最小值，
∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1
x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”.要满足f (0)是f (x )的最
小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D.]
8.(2016·江苏，5)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________.
8. [-3,1] [要使原函数有意义，需且仅需3-2x -x 2≥0.解得-3≤x ≤1.故函数定义域为[-3，1].]
9.(2015·浙江，10)已知函数f (x )＝?????
x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值
是________.
9.0 22－3 [f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2
x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，
取等号；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，∴f (x )的最小值为22－3.]
考点2 函数的基本性质
1.（2017?北京,5）已知函数f （x ）=3x ﹣（ ）x ， 则f （x ）（ ）
A. 是奇函数，且在R 上是增函数
B. 是偶函数，且在R 上是增函数
C. 是奇函数，且在R 上是减函数
D. 是偶函数，且在R 上是减函数
1.A 显然，函数的定义域为全体实数，f （x ）=3x ﹣（
）x =3x ﹣3﹣
x ， ∴f （﹣x ）=3
﹣x
﹣3x =﹣f （x ），即函数f （x ）为奇函数，又由函数y=3x 为增函数，y=（ ）x 为减函数，故
函数f （x ）=3x ﹣（
）x 为增函数，故选A ．
2.（2017?新课标Ⅰ,5）函数f （x ）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f （1）=﹣1，
则满足﹣1≤f （x ﹣2）≤1的x 的取值范围是（ ） A.[﹣2，2] B.[﹣1，1] C.[0，4] D.[1，3]
2. D ∵函数f （x ）为奇函数．若f （1）=﹣1，则f （﹣1）=1，又∵函数f （x ）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f （x ﹣2）≤1，∴f （1）≤f （x ﹣2）≤f （﹣1），∴﹣1≤x ﹣2≤1，解得：x ∈[1，3]，故选D.
3.（2017?山东,10）已知当x ∈[0，1]时，函数y=（mx ﹣1）2 的图象与y= +m 的图象有
且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ） A 、（0，1]∪[2
，+∞）
B 、（0，1]∪[3，+∞）
C 、（0， ）∪[2
，+∞）
D 、（0，
]∪[3，+∞）
3. B 根据题意，由于m 为正数，y=（mx ﹣1）2 为二次函数，在区间（0， ）为减函
数，（
，+∞）为增函数，函数y=
+m 为增函数，
分2种情况讨论： ①当0＜m≤1时，有
≥1，
在区间[0，1]上，y=（mx ﹣1）2 为减函数，且其值域为[（m ﹣1）2 ， 1]，
函数y=
+m 为增函数，其值域为[m ，1+m]，
此时两个函数的图象有1个交点，符合题意； ②当m ＞1时，有
＜1，
y=（mx ﹣1）2 在区间（0， ）为减函数，（
，1）为增函数，
函数y=
+m 为增函数，其值域为[m ，1+m]，
若两个函数的图象有1个交点，则有（m ﹣1）2≥1+m ，
解可得m≤0或m≥3， 又由m 为正数，则m≥3；
综合可得：m 的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）； 故选B ．
4.(2016·山东，9)已知函数f (x )的定义域为R ,当x <0时,f (x )＝x 3-1；当-1≤x ≤1时，f (-x )＝－f (x )；当x >1
2时，f ????x ＋12＝f ????x －12，则f (6)＝( ) A.－2
B.－1
C.0
D.2
4.D [当x >1
2时，f ????x ＋12＝f ????x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1， ∴f (6)＝f (1).当x <0时，f (x )＝x 3－1且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )， ∴f (2)＝f (1)＝－f (－1)＝2，故选D.]
5.(2015·天津，7)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x
－m |
－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，
b ＝(log 25)，
c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.c ＜a ＜b D.c ＜b ＜a 5.C[因为函数f (x )＝2|x
－m |
－1为偶函数可知，m ＝0，
所以f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23， ∴log 25＞|－log 0.53|＞0，
∴b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )，故选C.]
6.(2015·福建，2)下列函数为奇函数的是( )
A.y ＝x
B.y ＝|sin x |
C.y ＝cos x
D.y ＝e x －e
－x
6.D [由奇函数定义易知y ＝e x －e －
x 为奇函数，故选D.]
7.(2015·广东，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A.y ＝x ＋e x B.y ＝x ＋1x C.y ＝2x ＋1
2
x D.y ＝1＋x 2
7.A [令f (x )＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －
1，即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以
y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而B 、C 、D 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A.]
8.(2015·安徽，2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A.y ＝cos x B.y ＝sin x C.y ＝ln x D.y ＝x 2＋1
8.A [由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点；只有y ＝cos x 是偶函数又有零点.]
9.(2014·北京，2)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A.y ＝x ＋1 B.y ＝(x －1)2 C.y ＝2
－x
D.y ＝log 0.5(x ＋1)
9.A [显然y ＝x ＋1是(0，＋∞)上的增函数;y ＝(x －1)2在(0，1)上是减函数,在(1，＋∞)上是增函数；y ＝2－x
＝????12x
在x ∈R 上是减函数；y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上是减函数.故选A.]
10.(2014·陕西，7)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( )
A.f (x )＝12
x B.f (x )＝x 3 C.f (x )＝x ?
?
? ??21
D.f (x )＝3x
10.D [根据各选项知，选项C 、D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y ).又f (x )＝3x 是增函数，
所以D 正确.]
11.(2014·山东，5)已知实数x ，y 满足a x 1
y 2＋1
B.ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)
C.sin x >sin y
D.x 3>y 3 11.D [根据指数函数的性质得x >y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A 、B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立.]
12.(2014·湖南，3)已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )
A.－3
B.－1
C.1
D.3
12.C [用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.]
13.(2014·新课标全国Ⅰ，3)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A.f (x )g (x )是偶函数
B.f (x )|g (x )|是奇函数
C.|f (x )|g (x )是奇函数
D.|f (x )g (x )|是奇函数 13.B [f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，|f (x )g (x )|为偶函数，故选B.]
14.(2014·湖北，10)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝1
2(|x －a 2|＋|x －2a 2|
－3a 2).若?x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( ) A.????－16，16 B.????－66，66 C.????－13，13 D.???
?－33，33 14.B [当x ≥0时，f (x )＝?????－x ，0≤x ≤a 2
－a 2，a 2
x －3a 2，x >2a 2，又f (x )为奇函数，可得f (x )的图象如图所示，由图 象可得，当x ≤2a 2时，f (x )max ＝a 2，当x >2a 2时，令x －3a 2＝a 2，得x ＝4a 2，又?x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，可知4a 2－(－2a 2)≤1?a ∈? ?? ? － 66， 66，选B.] 15.（2017?江苏,11）已知函数f （x ）=x 3﹣2x+e x ﹣ ，其中e 是自然对数的底数．若f （a ﹣1）+f （2a 2）≤0．则实数a 的取值范围是________． 15. [-1， ] 函数f （x ）=x 3 ﹣2x+e x ﹣ 的导数为：f ′（x ）=3x 2﹣2+e x + ≥﹣2+2 =0，可得f （x ）在R 上递增；又f （﹣x ）+f （x ）=（﹣x ）3 +2x+e ﹣x ﹣e x +x 3 ﹣2x+e x ﹣ =0，可得f （x ）为奇函数，则f （a ﹣1）+f （2a 2 ）≤0，即有f （2a 2 ）≤﹣f （a ﹣1） =f （1﹣a ），即有2a 2 ≤1﹣a ，解得﹣1≤a ≤ ． 16.（2017?山东,15）若函数e x f （x ）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f （x ）的定义域上 单调递增，则称函数f （x ）具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为________． ①f （x ）=2﹣x ②f （x ）=3﹣ x ③f （x ）=x 3④f （x ）=x 2+2． 16.①④ 对于①，f （x ）=2﹣x ， 则g （x ）=e x f （x ）= 为实数集上的增函数；对于②，f （x ）=3﹣x ， 则g （x ）=e x f （x ）= 为实数集上的减函数； 对于③，f （x ）=x 3 ， 则g （x ）=e x f （x ）=e x ?x 3 ， g ′（x ）=e x ?x 3 +3e x ?x 2 =e x （x 3 +3x 2 ）=e x ?x 2 （x+3），当x ＜﹣3时，g ′（x ）＜0，∴g （x ）=e x f （x ）在定义域R 上先减后增； 对于④，f （x ）=x 2 +2，则g （x ）=e x f （x ）=e x （x 2 +2），g ′（x ）=e x （x 2 +2）+2xe x =e x （x 2 +2x+2） ＞0在实数集R 上恒成立，∴g （x ）=e x f （x ）在定义域R 上是增函数．∴具有M 性质的函数的序号为①④． 17.(2016·四川，14)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0 ?－5 2＋f (1)＝________. 17.－2 [首先，f (x )是周期为2的函数，所以f (x )＝f (x ＋2)； 而f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )，所以f (1)＝f (－1)，f (1)＝－f (－1)，即f (1)＝0， 又f ????－52＝f ????－12＝－f ????12，f ????12＝41 2＝2，故f ????－52＝－2，从而f ????－52＋f (1)＝－2.] 18.(2016·北京，14)设函数f (x )＝? ????x 3 －3x ，x ≤a ， －2x ，x ＞a . (1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________； (2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________. 18.(1)2 (2)(－∞，－1) [ (1)当a ＝0时，f (x )＝? ????x 3 －3x ，x ≤0， －2x ，x ＞0. 若x ≤0，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x 2－1).由f ′(x )＞0得x ＜－1，由f ′(x )＜0得－1＜x ≤0. ∴f (x )在(－∞，－1)上单调递增；在(－1，0]上单调递减，∴f (x )最大值为f (－1)＝2. 若x ＞0，f (x )＝－2x 单调递减，所以f (x )＜f (0)＝0.所以f (x )最大值为2. (2)f (x )的两个函数在无限制条件时图象如图. 由(1)知，当a ≥－1时，f (x )取得最大值2. 当a ＜－1时，y ＝－2x 在x ＞a 时无最大值.且－2a ＞2.所以a ＜－1.] 19.(2015·新课标全国Ⅰ，13)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 19.1 [f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数， 所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1.] 20.(2014·新课标全国Ⅱ，15)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________. 20.(－1，3) [由题可知，当－2 21.(2014·四川,12)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[－1,1)时, f (x )＝? ???? －4x 2 ＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ????32＝________. 21.1 [f ????32＝f ????2－12＝f ????－12＝－4×????－122 ＋2＝1.] 考点3 二次函数与幂函数 1.(2016·全国Ⅲ，6)已知a ＝24 3，b ＝32 3，c ＝251 3，则( ) A.b ＜a ＜c B.a ＜b ＜c C.b ＜c ＜a D.c ＜a ＜b 1.A[a ＝24 3＝316，b ＝32 3＝39，c ＝2513＝3 25，所以b ＜a ＜c .] 2.(2015·四川，9)如果函数f (x )＝1 2(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间????12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( ) A ．16 B ．18 C ．25 D.812 2.B [令f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8＝0，∴x ＝－n －8m －2，当m ＞2时，对称轴x 0＝－n －8 m －2，由题 意，－n －8 m －2 ≥2，∴2m ＋n ≤12， ∵2mn ≤2m ＋n 2≤6，∴mn ≤18，由2m ＋n ＝12且2m ＝n 知m ＝3，n ＝6， 当m ＜2时，抛物线开口向下，由题意－n －8m －2≤1 2，即2n ＋m ≤18， ∵2mn ≤2n ＋m 2≤9，∴mn ≤81 2，由2n ＋m ＝18且2n ＝m ， 得m ＝9(舍去)，∴mn 最大值为18，选B.] 3.(2014·浙江，7)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( ) 3.D [当a >1时，函数f (x )＝x a (x >0)单调递增，函数g (x )＝log a x 单调递增，且过点(1，0)，由幂函数的图象性质可知C 错；当00)单调递增，函数g (x )＝log a x 单调递减，且过点(1，0)，排除A ，因此选D.] 4．(2014·辽宁，16)对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5 c 的最小值为________． 4.－2 [设2a ＋b ＝t ，则2a ＝t －b ，因为4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0，所以将2a ＝t －b 代入整理可得6b 2－3tb ＋t 2－c ＝0①，由Δ≥0解得－85 c ≤t ≤8 5 c ，当|2a ＋b |取最大值时t ＝85 c ，代入①式得b ＝ c 10，再由2a ＝t －b 得a ＝32 c 10，所以3a －4b ＋5c ＝210c －410c ＋5c ＝5 c －210c ＝? ???? 5c －22－2≥－2，当且仅当c ＝52时等号成立.] 考点4 指数与指数函数 1.（2017·天津,6）已知奇函数f （x ）在R 上是增函数，g （x ）=xf （x ）．若a=g （﹣log 25.1）， b=g （20.8），c=g （3），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A 、a ＜b ＜c B 、c ＜b ＜a C 、b ＜a ＜c D 、b ＜c ＜a 1.C 奇函数f （x ）在R 上是增函数，当x ＞0，f （x ）＞f （0）=0，且f′（x ）＞0， ∴g （x ）=xf （x ），则g′（x ）=f （x ）+xf′（x ）＞0，∴g （x ）在（0，+∞）单调递增，且g （x ）=xf （x ）偶函数，∴a=g （﹣log 25.1）=g （log 25.1），则2＜﹣log 25.1＜3，1＜20.8＜2，由g （x ）在（0，+∞）单调递增，则g （20.8）＜g （log 25.1）＜g （3），∴b ＜a ＜c ，故选C ． 2.（2017?北京,8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361 ， 而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080 ， 则下列各数中与 最接近的是（ ） （参考数据：lg3≈0.48） A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 2. D 由题意：M≈3361 ， N≈1080 ， 根据对数性质有：3=10lg3≈100.48 ， ∴M≈3361≈（100.48）361≈10173 ， ∴ ≈ =1093 ， 故选D ． 3.(2014·辽宁，3)已知a ＝1 3 2 -，b ＝log 21 3，c ＝12 1log 3 ，则( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >b D.c >b >a 3.C[a ＝2－13∈(0，1)，b ＝log 213∈(－∞，0)，c ＝log 121 3＝log 23∈(1，＋∞)，所以c >a >b .] 4.(2015·山东，14)已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1) 的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________. 4.－3 2 [当a ＞1时，f (x )＝a x ＋b 在定义域上为增函数， ∴? ????a － 1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，方程组无解； 当0＜a ＜1时，f (x )＝a x ＋b 在定义域上为减函数， ∴???a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得?????a ＝12，b ＝－2. ∴a ＋b ＝－32.] 5.(2014·上海，9)若f (x )＝23 x －12 x - ，则满足f (x )<0的x 的取值范围是________. 5.(0，1) [令y 1＝x 2 3 ，y 2＝12 x - ，f (x )<0即为y 1 ，y 2＝12 x - 的图象如图所示， 由图象知：当0 考点5 对数与对数函数 1.（2017?新课标Ⅰ,11）设x 、y 、z 为正数，且2x =3y =5z ， 则（ ） A.2x ＜3y ＜5z B.5z ＜2x ＜3y C.3y ＜5z ＜2x D.3y ＜2x ＜5z 1. D x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k ＞1．lgk ＞0．则x= ，y= ，z= ． ∴3y= ，2x= ，5z= ．∵ = = ， ＞ = ．∴ ＞lg ＞ ＞0．∴3y ＜2x ＜5z ．故选D ． 2. (2015·湖南，5)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数 D.偶函数，且在(0,1)上是减函数 2. A [易知函数定义域为(－1,1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数,又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ????－1－2x －1， 由复合函数单调性判断方法知,f (x )在(0,1)上是增函数,故选A.] 3.(2015·陕西，9)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ??? ?a ＋b 2，r ＝1 2(f (a )＋f (b ))，则下列 关系式中正确的是( ) A.q ＝r ＜p B.q ＝r ＞p C.p ＝r ＜q D.p ＝r ＞q 3.C[∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2 ＞ab ， 又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ?? ?? a ＋ b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋1 2 ln b ＝ln(ab )1 2＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C.] 4.(2014·福建，4)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( ) 4.B [因为函数y ＝log a x 过点(3,1),所以1＝log a 3,解得a ＝3,所以y ＝3－ x 不可能过点(1，3), 排除A ；y ＝(－x )3＝－x 3不可能过点(1，1)，排除C ；y ＝log 3(－x )不可能过点(－3，－1)，排除D.故选B.] 5.(2014·天津，4)函数f (x )＝12 log (x 2－4)的单调递增区间为( ) A.(0，＋∞) B.(-∞，0) C.(2，＋∞) D.(-∞，－2) 5.D [函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )是由y ＝log 12 t 与t ＝ g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12 t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减， 所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增.选D.] 6.(2014·四川，9)已知f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，x ∈(－1,1).现有下列命题： ①f (－x )＝－f (x )；②f ??? ?2x 1＋x 2＝2f (x )；③|f (x )|≥2|x |. 其中的所有正确命题的序号是( ) A.①②③ B.②③ C.①③ D.①② 6.A [f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故①正确；因为f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )＝ln 1＋x 1－x ， 又当x ∈(－1，1)时，2x 1＋x 2∈(－1，1)，所以f ????2x 1＋x 2＝ln 1＋ 2x 1＋x 21－ 2x 1＋x 2＝ln ? ????1＋x 1－x 2＝2ln 1＋x 1－x ＝2f (x )，故②正确；当x ∈[0，1)时，|f (x )|≥2|x |?f (x )－2x ≥0，令g (x )＝f (x )－2x ＝ln(1＋x )－ln(1－x )－2x (x ∈[0，1))，因为g ′(x )＝11＋x ＋11－x －2＝2x 2 1－x 2>0，所以g (x )在区间[0，1)上单调递增， g (x )＝f (x )－2x ≥g (0)＝0，即f (x )≥2x ，又f (x )与y ＝2x 都为奇函数，所以|f (x )|≥2|x |成立，故③正确，故选A.] 7.(2016·浙江,12)已知a ＞b ＞1.若log a b ＋log b a ＝5 2,a b ＝b a ,则a ＝______，b ＝______. 7.4 2 [设log b a ＝t ，则t ＞1，因为t ＋1t ＝5 2，解得t ＝2，所以a ＝b 2①，因此a b ＝b a ?a 2b ＝ab 2②，解得b ＝2，a ＝4.联立①②结合b ＞1，解得b ＝2，a ＝4.] 8.(2015·浙江,12)若a ＝log 43，则2a ＋2－ a ＝________. 8.433 [2a ＋2－ a ＝2log 43＋2－log 43＝2log23＋2log 233＝3＋33＝43 3.] 9.(2015·福建，14)若函数f (x )＝? ???? －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实 数a 的取值范围是________. 9.(1，2] [由题意f (x )的图象如图，则?????a ＞1， 3＋log a 2≥4， ∴1＜a ≤2.] 10.(2014·重庆，12)函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________. 10.－14 [依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝????log 2x ＋122－14≥－14，当且仅 当log 2x ＝－12，即x ＝12时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.] 考点6 函数与方程 1.（2017?新课标Ⅲ,11）已知函数f （x ）=x 2﹣2x+a （e x ﹣ 1+e ﹣x+1 ）有唯一零点，则a=（ ） A.﹣ B. C. D. 1 1. C 因为f （x ）=x 2﹣2x+a （e x ﹣ 1+e ﹣x+1 ）=﹣1+（x ﹣1）2+a （e x ﹣1+ ）=0， 所以函数f （x ）有唯一零点等价于方程1﹣（x ﹣1）2=a （e x ﹣ 1+ ）有唯一解， 等价于函数y=1﹣（x ﹣1）2的图象与y=a （e x ﹣ 1+ ）的图象只有一个交点． ①当a=0时，f （x ）=x 2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾； ②当a ＜0时，由于y=1﹣（x ﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a （e x ﹣ 1+ ）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 所以函数y=1﹣（x ﹣1）2的图象的最高点为A （1，1），y=a （e x ﹣ 1+ ）的图象的最高点 为B （1，2a ）， 由于2a ＜0＜1，此时函数y=1﹣（x ﹣1）2的图象与y=a （e x ﹣ 1+ ）的图象有两个交点， 矛盾； ③当a ＞0时，由于y=1﹣（x ﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a （e x ﹣ 1+ ）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增， 所以函数y=1﹣（x ﹣1）2的图象的最高点为A （1，1），y=a （e x ﹣ 1+ ）的图象的最低点 为B （1，2a ）， 由题可知点A 与点B 重合时满足条件，即2a=1，即a= ，符合条件； 综上所述，a= ，故选C ． 2.(2015·山东，10)设函数f (x )＝? ???? 3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 取值范围是( ) A.????23，1 B.[0,1] C.????2 3，＋∞ D.[1, ＋∞) 2.C[当a ＝2时，f (a )＝f (2)＝22＝4＞1，f (f (a ))＝2f (a )， ∴a ＝2满足题意，排除A ，B 选项；当a ＝23时，f (a )＝f ????23＝3×23－1＝1，f (f (a ))＝2f (a )，∴a ＝2 3满足题意，排除D 选项，故答案为C.] 3.(2015·天津，8)已知函数f (x )＝? ???? 2－|x |，x ≤2， x －2 ，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A.????74，＋∞ B.????－∞，74 C.????0，74 D.??? ?7 4，2 3.D [记h (x )＝－f (2－x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图，直线AB ：y ＝x －4，当 直线l ∥AB 且与f (x )的图象相切时，由? ????y ＝x ＋b ′，y ＝（x －2）2， 解得b ′＝－94，－94－(－4)＝74 ， 所以曲线h (x )向上平移7 4个单位后，所得图象与f (x )的图象有四个公共点，平移2个单位后， 两图象有无数个公共点，因此，当7 4＜b ＜2时，f (x )与g (x )的图象有四个不同的交点，即y ＝ f (x )－ g (x )恰有4个零点.选D.] 4.(2014·湖南，10)已知函数f (x )＝x 2＋e x －1 2(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴 对称的点，则a 的取值范围是( ) A.? ???－∞， 1e B.()－∞，e C.????－1e ，e D.? ???－e ，1e 4.B [由题意可得，当x >0时，y ＝f (－x )与y ＝g (x )的图象有交点，即g (x )＝f (－x )有正解，即x 2＋ln(x ＋a )＝(－x )2＋e －x －12有正解，即e －x －ln(x ＋a )－12＝0有正解，令F (x )＝e － x －ln(x ＋a )－12，则F ′(x )＝－e －x －1x ＋a <0，故函数F (x )＝e － x －ln(x ＋a )－12在(0，＋∞)上是单调递减 的，要使方程g (x )＝f (－x )有正解，则存在正数x 使得F (x )≥0，即e － x －ln(x ＋a )－12≥0，所以 a ≤1 e 2 e x x -- -，又y ＝1e 2 e x x -- -在(0，＋∞)上单调递减，所以a <1e 02 e 0-- -＝12 e ，选B.] 5.(2016·山东，15)已知函数f (x )＝? ????|x |，x ≤m ， x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0，若存在实数b ，使得关于 x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________. 5.(3，＋∞) [如图,当x ≤m 时，f (x )＝|x |;当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ，在(m ，＋∞)为增函 数，若存在实数b ,使方程f (x )＝b 有三个不同的根,则m 2－2m ·m ＋4m <|m |. ∵m >0，∴m 2－3m >0，解得m >3. 6.(2015·湖南，15)已知函数f (x )＝? ???? x 3 ，x ≤a ， x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零 点，则a 的取值范围是________. 6.(－∞，0)∪(1，＋∞) [若0≤a ≤1时，函数f (x )＝? ????x 3 （x ≤a ）， x 2 （x ＞a ）在R 上递增，若a ＞1或a ＜0时， 由图象知y ＝f (x )－b 存在b 使之有两个零点，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞).] 7.(2015·安徽，15)设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号). ①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；③a ＝－3，b >2；④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2. 7 .①③④⑤ [令f (x )＝x 3＋ax ＋b ，f ′(x )＝3x 2＋a ， 当a ≥0时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，必有一个实根，④⑤正确； 当a <0时，由于选项当中a ＝－3，∴只考虑a ＝－3这一种情况，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∴f (x )极大＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2，f (x )极小＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2，要有一根，f (x )极 大 <0或f (x )极小>0，∴b <－2或b >2，①③正确，所有正确条件为①③④⑤.] 8.(2015·江苏，13)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝? ???? 0，0＜x ≤1， |x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根 的个数为________. 8.4 [令h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝?????－ln x ，0＜x ≤1，－x 2 ＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2， 当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋ 1x ＝1－2x 2 x ＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示. 由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4.] 9.(2015·北京，14)设函数f (x )＝? ?? ? ? 2x －a ，x ＜1，x －a x －2a ，x ≥1. (1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________； (2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 9.(1)－1 (2)????1 2，1∪[2，＋∞)[(1)当a ＝1时，f (x )＝?????2x －1，x <1，4（x －1）（x －2），x ≥1. 当x <1时，2x －1>－1. 当x ≥1时，且当x ＝3 2时，f (x )min ＝f ????32＝－1，∴f (x )最小值为－1. (2)1°当a ≤0时，2x －a >0， 由4(x －a )(x －2a )＝0得x ＝a 或x ＝2a .a ?[1，＋∞)， 2a ?[1，＋∞)， ∴此时f (x )无零点.