高中物理竞赛辅导热学导学

热学

一、竞赛要求：

1、温度与气体分子运动论

2、气体的性质

3、热力学第一定律

4、热、功和物态变化

二、重点知识

气体的性质

三、难点突破：

1、玻意耳定律

一定质量的气体，当温度保持不变时，它的压强和体积的乘积是一个常数C PV =，式中常数C 由气体的种类、质量和温度决定。

抽气与打气问题的讨论。

简单抽气机的构造由图1-2-1示意，它由一个活塞和两个阀门组成。当活塞向上提升时，a 阀门打开，贮气筒与抽气机相通，气体膨胀减压，此时b 阀门被关闭。当活塞向下压缩时，b 阀门打开，a 阀门关闭，抽气机内的气体被压出抽气机，完成一次抽气。贮气筒被抽气的过程，贮气筒内气体质量不断在减小，气体压强也不断减小。设第一次抽气后贮气筒内气压1p ，第n 次抽气后贮气筒内气压n p ，则有：)(1

V V p pV ?+= )(21V V p V p ?+= )(1V V p p n

n ?+=- 整理得 p V V V p n n )(?+=

简单压气机与抽气机的结构相似，但作用相反。图1-2-2示意，当活 塞上提时，a 阀门打开，b 阀门关闭，外界

图 1-2-1

图1-2-2

空气进入压气机中，活塞下压时，压气机内空气被压入贮气筒，而此时阀门a 是关闭的，这就完成了一次压气过程。每次压气机压入贮气筒的气体是

V p ??0，故

0p V V n p p n ??+= 2、盖—吕萨克定律

一定质量的气体，当压强保持不变时，温度每升高1℃，其体积的增加量等

于0℃时体积的2731

。若用0V 表示0℃时气体的体积，V 表示t ℃的体积，则)2731(0l V V +=。若采用热力学温标，则273+t 为摄氏温度t ℃。所对应的热力学温度T ，273为0℃所对应的热力学温度0T 。于是，盖—吕萨克定律可写成00T T V V =。若温度为T 时，体积为1V ；温度为2T 时，体积为2V ，则有

2211T V T V =或C T V =。

故盖—吕萨克定律也可表达为：一定质量的气体，当压强保持不变时，它的体积与热力学温标成正比。

3、查理定律

一定质量的气体，当体积保持不变时，它的压强与热力学温度成正比

C T P =

式中常数C 由气体的种类、质量和体积决定。

汞柱移动问题的讨论：

一根两端封闭、粗细均匀的石英管，竖直放置。内有一段水银柱，将管隔成上下两部分。下方为空气，上方为一种可分解的双原子分子气体。该双原子分子气体的性质为：当T ＞0T 时，其分子开始分解为单原子分子(仍为气体)。用0n 表

示0T 时的双原子分子数，n ?表示T T ?+0时分解了的双原子分子数，其分解规律

为当△T 很小时，有如下关系：00

T T n n ?=?。已知初始温度为0T ，此时下方的气柱长度为02l ，上方气柱长度为0l ，水银柱产生的压强为下方气压的α倍()10<<α。试讨论当温度由0T 开始缓慢上升时，水银柱将上升还是下降。

假设水银柱不动。当温度为0T 时，下方气体压强为0p ，温度升至T T ?+0，气体压强

)1(001T T p p ?+=。水银柱压强为0ap ，故当T=0T 时，上方气体压强为0)1(p α-，当温度升至T T ?+0，有n ?个双原子气体分子分解为n ?2个单原子气体分子，故气体分子数由0n 增至n n ?+0个。令此时压强为2p ，管横截面积为S ，则有：

0000)1(RT N n S l p Λ=α-

)(0002T T R N n n S l p ?+?+=Λ

解得 20002)1()1()1()1()1(T T p T T n n p p ?+α-=?+??+

α-= 00011T T p p p p ??=-?=?，0002)2()1(T T T T p p ??+-=?α

2000012)()1()21(T T p T T p p p p ???-+??

?-=?-?=?αα 因△T 很小，故0T T ?项起主导作用，而2

0)(T T ?项的影响较之第一项要小得多，

故从分析如下：①当α＞21时，p ?＜0时，水银柱上升，②当α＜21

时，p ?＞0

水银柱下降。③当α=21

时，p ?＞0水银柱下降。

4、理想气体状态方程

反映气体在平衡态下状态参量之间规律性联系的关系式称为气态方程。我们知道，理想气体状态方程可在气体实验定律的基础上得到，一定质量的理想气体的两平衡参量之间的关系式为

222111T V P T V P = （1）

在标准状态Iatm P =0(，)15.2730K T =，1mol 任何气体的体积

30104.22-?=v m 3mol -1。

因此v mol 气体在标准状态下的体积为00υv V =，由(1)式可以得出：

vR T v P v T V P T PV ===000000

由此得到理想气体状态方程或称克拉珀龙方程：

RT M m vRT PV ==

1、1混合理想气体状态方程

1、道尔顿分压定律指出：混合气体的压强等于各组分的分压强之和。这条实验定律也只适用于理想气体。即

∑=i i

P P (12)

其中每一部分的气态方程为 RT M m V P i i i i = (13)

混合理想体气状态方程与单一成分的理想气体状态方程形式相同，但M 为平均摩尔质量。

RT M m PV = (14)

由于混合气体的摩尔数应是各组分的摩尔数之和。因此混合气体的平均摩尔质量M 有

i i i M m m M 11∑= (15)

由(1-20)式和(1-19)式可得混合气体的分压强：

P M M m m P i i i = (16)

1、2混合气体的状态方程

如果有n 种理想气体，分开时的状态分别为(1P 、1V 、1T )，(2P 、2V 、2T )，…，(n P 、n V 、n T )，将它们混合起来后的状态为P 、V 、T ，那么，有

T PV T V P T V P T V P n n n =+++Λ22211

如果是两部分气体混合后再分成的部分，则有

'''+'''=+22211122211

1T V P T V P T V P T V P

例1、一个质量m=200.0kg 、长0l =2.00m 的薄底大金属桶倒扣在宽旷的水池

底部(图1-2-3)桶内的横截面积2500.0m S =(桶的容积为S l 0)，桶本身(桶壁与桶底)的体积

3301050.2m V -?=，桶内封有高度m l 200.0=的空气，池深m H 00.200=，大气压强m P 00.100=水柱高，水

的密度33/1000.1m kg ?=ρ，重力加速度g 取2/00.10s m 。若用图中所示吊绳将桶上提，使桶底能

到达水面处，则绳拉力所需做的功有一最小值，试求

从开始到绳拉力刚完成此功的过程中，桶和水(包括

池水和桶内水)的机械能改变了多少(结果要保留三

位有效数字)。不计水阻力，设水温很低，不计其饱

和蒸气压的影响，并设水温上下均匀且保持不变。

解：在上提过程中，桶内空气压强减小，体积将增大，从而对桶和桶内空气(空气质量不计)这一整体的浮力将增大。本题若存在桶所受浮力等于重力的位置，则此位置是桶的不稳定平衡点，再稍上提，浮力将大于重力，桶就会上浮。从这时起，绳不必再拉桶，桶会在浮力作用下，上浮到桶底到达水面并冒出。因此绳对桶的拉力所需做的最小功的过程，就是缓慢地将桶由池底提高到浮力等于重力的位置所历的过程。

下面先看这一位置是否存在。如果存在的话，如图1-2-4所示，设在此位置时桶内空气的高度为l '，因浮力等于重力，应有

g V s l mg )(0+'=ρ (1)

图1-2-4

图1-2-3

n 0

代入已知数据可得

m l 350.0=' (2)

设此时桶的下边缘距池底的高度H ，由玻——马定律可知

[][]l l l H H P l l l H P ''---+=-+)()(000000 (3)

由(2)、(3)式得到

H=12.24m (4)

因为H ＜)(00l H -，即整个桶仍浸在水中，可知存在上述浮力等于重力的位置。

现在要求将桶由池底缓慢地提高到H 处桶及水的机械能的增量△E 。△E 包括三部分：(1)桶势能的增量1E ?；(2)在H 高时桶本身排开的水可看作下降去填充在池底时桶本身所占空间而引起水势能的增量2E ?；(3)在H 高度时桶内空气所排开的水，可看作一部分下降去填充在池底时空气所占的空间，由于空气膨胀的那部分上升到水池表面，由此引起水势的增量3E ?。则

mgH E =?1；

gH V E 02ρ-=?；

)2/g(l )()2/(0003l l H S gH l l S L L sLg E '-+'--'+-=?ρρρ。

321E E E E ?+?+?=?

[][]2/)())(()(2000l l l H l l Sg gH l s v m +'+--'ρ+'+ρ-=

[]

2/)())((2200l l l H l l Sg -'+--'ρ= J 41037.1?=

例：有一体积22.4L 的密闭容器，充有温度1T 、压强3atm 的空气和饱和水汽，并有少量的水；今保持温度1T 不变，将体积加倍，压强变为2atm ，底部的水恰好消失，试问1T 是多少？若保持温度1T 不变，体积增为最多体积的4倍，试问这时容器内的压强是多少？容

器内水和空气的质量各是多少？设饱和水汽可看作是理想气体。

解:设初态、中态和末态中空气分压强分别为321,,p p p ；初态、中态中的水汽均为温度1T 的饱和汽，设饱和水汽压为x p ；末态中的水汽为温度1T 的未饱和汽，水汽分压为p '。若末态气体的压强为p ，则有

p p p atm p p atm p p x x ='+=+=+321,2,3

从初态变为中态的过程中，空气质量未变而水汽质量增加，对空气分压可用玻意尔定律 8.44)2(4.22)3(?-=?-x x p p

得x p =1atm ，故1T =373K,1p =2atm ，2p =1atm 。从中态变为末态的过程，水汽和空气的总质量不变，应用玻意耳定律

44.228.442??=?p

p=1atm 容器内空气的摩尔数mol RT V p n 46.11311==

，末态时空气和水汽的总摩尔数

mol RT V p n 92.2131==

故容器内水和水汽的总摩尔数 mol n n n 46.112=-=。

2、(第17届复赛第一题20分）在一大水银槽中竖直插有一根玻璃管，管上端封闭，下端开口．已知槽中水银液面以上的那部分玻璃管的长度76cm l =，管内封闭有31.010mol n =?－的空气，保持水银槽与玻璃管都不动而设法使玻璃管内空气的温度缓慢地降低10℃，问在此过程中管内空气放出的热量为多少？已知管外大气的压强为76cm 汞柱高，每摩尔空气的内能V U C T =，其中T 为绝对温度，常量1V 20.5J (mol K)C =??－，普适气体常量18.31J (mol K)R =??－

参考解答

设玻璃管内空气柱的长度为h ，大气压强为0p ，管内空气的压

强为p ，水银密度为ρ，重力加速度为g ，由图复解17-1-1可知

0()p l h g p ρ+-= （1）

根据题给的数据，可知0p l g ρ=，得

p gh ρ= （2）

若玻璃管的横截面积为S ，则管内空气的体积为

V Sh =

（3）

由（2）、（3）式得

V p g S

ρ=

（4）

即管内空气的压强与其体积成正比，由克拉珀龙方程pV nRT =得 2V g nRT S ρ= （5） 由（5）式可知，随着温度降低，管内空气的体积变小，根据（4）式可知管内空气的压强也变小，压强随体积的变化关系为p V -图上过原点的直线，如图复解17-1-2所示．在管内气体的温度由1T 降到2T 的过程中，气体的体积由1V 变到2V ，体积缩小，外界对气体做正功，功的数值可用图中划有斜线的梯形面积来表示，即有

221212121()22V V V W g V V g S S S V ρρ????=+-= ? ?????

- （6） 管内空气内能的变化

V 21()U nC T T ?=- （7） 设Q 为外界传给气体的热量，则由热力学第一定律W Q U +=?，有

Q U W =?- （8） 由（5）、（6）、（7）、（8）式代入得

V 211()2Q n T T C R ??=-+ ??

? （9） 代入有关数据得

0.247J Q =-

0Q <表示管内空气放出热量，故空气放出的热量为

0.247J Q Q '=-= （10

5、(第21届复赛第二题15分）U 形管的两支管 A 、B 和水平管C 都

是由内径均匀的细玻璃管做成的，它们的内径与管长相比都可忽略不

计．己知三部分的截面积分别为 2A 1.010S -=?cm 2，2B 3.010S -=?cm 2，

2C 2.010S -=?cm 2，在 C 管中有一段空气柱，两侧被水银封闭．当温度为

127t =℃时，空气柱长为l ＝30 cm （如图所示）

，C 中气柱两侧的水银柱长分别为 a ＝2.0cm ，b ＝3.0cm ，A 、B 两支管都很长，其中的水银柱高

均为h ＝12 cm ．大气压强保持为 0p ＝76 cmHg 不变．不考虑温度变化时管和水银的热膨胀．试求气柱中空气温度缓慢升高到 t ＝97℃时空气的体积．

解：在温度为1(27273)K=300K T =+时，气柱中的空气的压强和体积分别为

10p p h =+， （1） 1C V lS = （2）

当气柱中空气的温度升高时，气柱两侧的水银将被缓慢压入A 管和B 管。设温度升高到2T 时，气柱右侧水银刚好全部压到B 管中，使管中水银高度增大C B

bS h S ?=

（3）

由此造成气柱中空气体积的增大量为C V bS '?= （4）

与此同时，气柱左侧的水银也有一部分进入A 管，进入A 管的水银使A 管中的水银高度也应增大h ?，使两支管的压强平衡，由此造成气柱空气体积增大量为A V hS ''?=?

（5）

所以，当温度为2T 时空气的体积和压强分别为21V V V V '''=+?+? （6） 21p p h =+? （7） 由状态方程知112212

p V p V T T = （8） 由以上各式，代入数据可得2347.7T =K （9）

此值小于题给的最终温度273370T t =+=K ，所以温度将继续升高。从这时起，气柱中的空气作等压变化。当温度到达T 时，气柱体积为22

T V V T = （10） 代入数据可得30.72cm V = （11）

评分标准：本题15分。求得式（6）给6分，式（7）1分，式（9）2分，式（10）5分，式（11）1分。