高三数学理科测试题

高三数学理科测试题

2013.4

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集，集合，那么集合为

（A）（B）（C）（D）

（2）已知为平行四边形，若向量，，则向量为

（A）（B）

（C）（D）

（3）已知圆的方程为，那么该圆圆心到直线（为参数）的距离为

（A）（B）（C）（D）

（4）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于且小于，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为

（A）（B）（C）（D）

（5）已知数列中，，，，那么数列的前项和等于

（A）（B）（C）（D）

（6）已知，分别是双曲线：的两个焦点，双曲线和圆：的一个交点为，且，那么双曲线的离心率为

（A）（B）（C）（D）

（7）已知定义在上的函数的对称轴为，且当时，.若函数在区间（）上有零点，则的值为

（A）或（B）或（C）或（D）或

（8）已知向量，，是坐标原点，若，且方向是沿的方向绕着点按逆时针方向旋转角得到的，则称经过一次变换得到.现有向量经过一次变换后得到，经过一次变换后得到，…，如此下去，经过一次变换后得到.设，，，则等于

（A）（B）

（C）（D）

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）复数的虚部是.

（10）的展开式中的系数是．

（11）如图是甲、乙两名同学进入高中以来次体育测试成绩的茎叶图，则甲次测试成绩的平均数是，乙次测试成绩的平均数与中位数之差是．

（12）如图，已知与圆相切于，半径，交

于，若, ，则，．

（13）有甲、乙、丙在内的6个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，

丙不排在两头，则这样的排法共有种．

（14）数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一

行增加两项，若，则位于第10行的第8列的项

等于，在图中位于．（填第几行的第几列）

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）

在△中，三个内角，，的对边分别为，，，且．

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，求的最大值．

（16）（本小题共14分）

如图，已知是直角梯形，且，平面平面，，，，是的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角大小的余弦值．

（17）（本小题共13分）

某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1，2，3，4，5，6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次.

（Ⅰ）求所得奖品个数达到最大时的概率；

（Ⅱ）记奖品个数为随机变量，求的分布列及数学期望.

（18）（本小题共14分）

已知函数，（为常数，为自然对数的底）．

（Ⅰ）当时，求；

（Ⅱ）若在时取得极小值，试确定的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设由的极大值构成的函数为，将换元为，试判断曲线是否能与直线（为确定的常数）相切，并说明理由．

（19）（本小题共13分）

已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，且△的周长为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过原点的两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点，证明：点到直线的距离为定值，并求出这个定值．

（20）（本小题共13分）

设是由个有序实数构成的一个数组，记作：.其中称为数组的“元”，称为的下标. 如果数组中的每个“元”都是来自数组中不同下标的“元”，则称为的子数组. 定义两个数组，的关系数为.

（Ⅰ）若，，设是的含有两个“元”的子数组，求的最大值；

（Ⅱ）若，，且，为的含有三个“元”的子数组，求的最大值；

（Ⅲ）若数组中的“元”满足.设数组含有四个“元”，且，求与的所有含有三个“元”

的子数组的关系数的最大值.

北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（一）

数学参考答案（理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B （2）C （3）C （4）A

（5）C （6）D （7）A（8）B

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）（10）（11）

（12）（13）（14）第行的第列

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）因为，

由正弦定理可得，

因为在△中，，

所以.

又，

所以.

（Ⅱ）由余弦定理，

因为，，

所以.

因为，

所以.

当且仅当时，取得最大值.

（16）（共14分）

证明（Ⅰ）取的中点，连结，．

因为是的中点，

所以，．

因为，且，

所以，且，

所以四边形是平行四边形．

所以．

因为平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）因为，平面平面，

所以以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则轴在平面内．

由已知可得，，，．

所以，，

设平面的法向量为．

由

所以

取，

所以．

又因为平面的一个法向量为

．

所以．

即平面与平面所成锐二面角大小的余弦值为．

（17）（共13分）

（Ⅰ）由题意可知所得奖品个数最大为10，概率为：

．

（Ⅱ）的可能取值是：．

0 2 4 6 8 10

所以．

（18）（共14分）

解：（Ⅰ）当时，．

．

所以．

（Ⅱ）

．

令，得或．

当，即时，

恒成立，

此时在区间上单调递减，没有极小值；

当，即时，

若，则．

若，则．

所以是函数的极小值点．

当，即时，

若，则．

若，则．

此时是函数的极大值点．

综上所述，使函数在时取得极小值的的取值范围是．（Ⅲ）由（Ⅱ）知当，且时，，

因此是的极大值点，极大值为．

所以．

．

令．

则恒成立，即在区间上是增函数．

所以当时，，即恒有．

又直线的斜率为，

所以曲线不能与直线相切．

（19）（共13分）

解：（I）由题意知，，所以．

因为

所以，

所以．

所以椭圆的方程为．

（II）由题意,当直线的斜率不存在，此时可设，.

又，两点在椭圆上，

所以，．

所以点到直线的距离．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为．

由消去得

．

由已知．

设，．

所以，．

因为，

所以．

所以．

即．

所以．

整理得，满足．

所以点到直线的距离

为定值．

（20）（共13分）

解：（Ⅰ）依据题意，当时，取得最大值为2．

（Ⅱ）①当是中的“元”时，由于的三个“元”都相等及中三个“元”的对称性，可以只计算的最大值，其中．

由，

得．

当且仅当，且时，达到最大值，

于是．

②当不是中的“元”时，计算的最大值，

由于，

所以．

，

当且仅当时，等号成立．

即当时，取得最大值，此时．

综上所述，的最大值为1．

（Ⅲ）因为满足．

由关系的对称性，只需考虑与的关系数的情况．

当时，有．

．

即，且，，时，

的最大值为．

当时，，

得最大值小于．

所以的最大值为．