2013年四川高考数学理科试卷(带详解)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数 学（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B = （ ） A.{2}- B.{2} C.{2,2}- D.? 【测量目标】集合的基本运算.

【考查方式】通过解不等式再考查集合间的运算. 【难易程度】容易. 【参考答案】A 【试题解析】

{+2=0}{2}.A x x A =∴=- ，2{40},{2,2}.B x x B =-=∴=- {2}.A B ∴=- 故选

A.

2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是 （ ）

第2题图

A.A

B.B

C.C

D.D 【测量目标】复平面.

【考查方式】利用共轭复数考查点在复平面上的位置. 【难易程度】容易 【参考答案】B

【试题解析】设+i(,)z a b a b =∈R ，且0,0a b <>，则z 的共轭复数为i a b -,其中

0,0a b <-<，故选B.

3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 （ ）

第3题图

A B C D

第3题图

【测量目标】平图形的直观图和三视图. 【考查方式】给出三视图判断其直观图. 【难易程度】容易. 【参考答案】D

【试题解析】由俯视图的圆环可排除A,B,进一步将已知三视图还原为几何体，故选D. 4．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ?∈∈，则（ ） A.:,2p x A x B ???∈? B.:,2p x A x B ????

C.:,2p x A x B ???∈

D.:,2p x A x B ??∈∈ 【测量目标】全称量词与存在量词. 【考查方式】给出全称命题求存在命题. 【难易程度】容易. 【参考答案】D

【试题解析】命题p 是全称命题：,2x A x B ?∈∈，则p ?是特称命题：,2x A x B ?∈∈.故选D.

5．函数ππ

()2sin(),(0,)22

f x x ω?ω?=+>-

<<的部分图象如图所示，则,ω?的值分别是 （ ）

第5题图

A.π2,3-

B.π2,6-

C.π4,6-

D.π4,3

【测量目标】函数sin()y A x ω?=+的图象及其变化. 【考查方式】给出三角函数图象求解析式中的未知参数. 【难易程度】中等. 【参考答案】A

【试题解析】3

5π3π()π4

1234T =

--= ,πT ∴=2ππω∴=2ω∴=.由图象知当5

π12

x =时，5π2π+=2π+122k k ??∈Z （）,即π2π()3k k ?=-∈Z .π

3

?∴=-.故选A.

6．抛物线2

4y x =的焦点到双曲线2

2

13

y

x -=的渐近线的距离是 （ ）

A.

12

B.2

C.1

【测量目标】双曲线和抛物线的基本性质. 【考查方式】给出抛物线和双曲线的方程，求距离. 【难易程度】中等. 【参考答案】B

【试题解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为（1,0），则焦点到渐近线的距

离

1d ==

2d ==

. 7．函数3

31

x x y =-的图象大致是 （ ）

A B C D

第7题图

【测量目标】函数图象的判断.

【考查方式】给出函数解析式判断函数图象. 【难易程度】中等. 【参考答案】C

【试题解析】由3100,x

x -≠≠∴得函数3

31

x x y =-的定义域{0},x x ≠可排除A ，当2

x =时，y =1，当x=4时，64

80

y =，但从选项D 的函数图象可以看出函数在(0,)+∞上是单调增

函数，两者矛盾，故选C.

8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是 （ ） A.9 B.10 C.18 D.20 【测量目标】排列组合及其应用.

【考查方式】通过数字组合的对数差不同来考查排列组合. 【难易程度】中等. 【参考答案】C

【试题解析】从1，3,5，7,9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数2

5A 20,=但

lg1lg3lg3lg9,lg3lg1lg9lg3-=--=-，所以不同值的个数为20-2=18，故选C.

9．节日里某家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （ ） A.

14 B.12 C.34 D.7

8

【测量目标】几何概型.

【考查方式】给出实际案例求现实生活中的几何概型. 【难易程度】较难. 【参考答案】A

【试题解析】设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为,x y ,则

04,04x y 剟剟，而事件发生的概率为2x y -…，可行域如图阴影部分所示，有几

何概型得22

1

42(22)

3244

P -???==.

第9题图

10．设函数()f x =a ∈R ，e 为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是 （ ） A.[1,e] B.1[e 1]--1， C.[1,e 1]+ D.1[e 1,e 1]--+ 【测量目标】函数零点的应用.

【考查方式】给出函数解析式以及等式方程判断参数范围. 【难易程度】较难. 【参考答案】A 【试题解析】

由已知点00(,)

x y 在曲线

000sin sin ,[0,1],y x y x y ==∈上，得即存在

000[0,1](())y f f y y ∈=，使成立，则点0000(,()),((),)A y f y A f y y '都在的图象上，又

()f x =[0,1]上单调递增，所以

0000()()0,[()][()]0,A A A A x x y y f y y y f y ''--∴--厖200[()]0f y y ∴-…∴00()f y y =，所以()f x x =在[0,1]上有解，2e ,[0,1]x a x x x ∴=+-∈，令

2

()e ,[0,1],()x

x x x x x ??=

+-

∈在[0,1]上

单调递增，又

(0)1,(1)e,()[1,e],x ???==∴∈即[1,e]a ∈.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．二项式5

()x y +的展开式中，含2

3

x y 的项的系数是_________．（用数字作答） 【测量目标】二项式展开式.

【考查方式】求二项式展开式中的某一项. 【难易程度】简单. 【参考答案】10

【试题解析】32

3

2

3

45C 10,T x y x y ==故填10.

12．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=

，则λ=_________．

【测量目标】平面向量的四则运算.

【考查方式】给出平面向量的等式求未知参数. 【难易程度】简单. 【参考答案】2

【试题解析】由向量加法的平行四边形法则，得.AB AD AC +=

又O 是AC 的中点，

2,2,, 2.AC AO AC AO AB AD AO λλ∴=∴=∴+=∴=

13．设sin 2sin αα=-，π(,π)2

α∈，则tan 2α的值是_________． 【测量目标】二倍角公式.

【考查方式】给出关系式求特殊角的正切值. 【难易程度】中等.

【

试

题

解

析

】

由

题

意

得

1

c o s

2

α=-而

π(,π)

2

α∈

，

24π

π,tan2=tan π=tan 333

αα∴=

∴=14．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当x …0时，2()4f x x x =-，那么，不等式

(2)5f x +<的解集是________ ．

【测量目标】解不等式.

【考查方式】给出函数的部分区间的解析式，求函数在整个区间的不等式的解集. 【难易程度】较难. 【参考答案】73x -<<

【试题解析】220,0.0()4()4x x x f x x x f x x x <->=-∴-=- 设则当时，…故()

f x 为在定义域上的偶函数224,0(),+4,0x x x f x x x x ?-∴=?

…由()555f x x x ===-得或，所以

()555,(2)5,73

f x x f x x <-<<+<-<<得由得,所以不等式的解集为73x -<<. 15．设12,,,n P P P 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到12,,,n P P P 点

的距离之和最小，则称点P 为12,,,n P P P 点的一个“中位点”．例如，线段

AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点．则有下列命题：

①若,,A B C 三个点共线，C 在线AB 上，则C 是,,A B C 的中位点； ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号） 【测量目标】考查新定义.

【考查方式】给出新定义的含义，根据新定义解题. 【难易程度】较难. 【参考答案】①④

【试题解析】+CA CB AB =当且仅当点C 在线段AB 上等号成立，所以点C 是中位点，故①为真命题. ②③为假命题，若P 为点A ，C ,则点P 在线段AC 上，若点P 是B ,D 的中位点，则点P 在线段BD 上，所以若点P 是A,B,C,D 的中位点，则p 是AC ，BD 的交点.所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．故④是真命题.

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 在等差数列{}n a 中，318a a +=，且4a 为2a 和9a 的等比中项，求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和． 【测量目标】等差数列的性质.

【考查方式】给出等差数列的项与项之间的关系，求通项和前n 项和. 【难易程度】中等.

【试题解析】设该数列公差为d ,前n 项和为n S .由已知,可得

()()()2

1111228,38a d a d a d a d +=+=++.

所以()114,30a d d d a +=-=,（步骤1）

解得14,0a d ==,或11,3a d ==,即数列{}n a 的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.

所以数列的前n 项和4n S n =或232

n n n

S -=（步骤2）.

17．(本小题满分12分) 在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2

3

2cos cos sin()sin cos()25

A B B A B B A C ---++=-． （Ⅰ）求cos A 的值；

（Ⅱ）若a =5b =，求向量BA 在BC

方向上的投影． 【测量目标】正弦定理和余弦定理.

【考查方式】给出三角形中角的关系通过投影考查余弦定理. 【难易程度】中等.

【试题解析】()I 由()()2

3

2cos

cos sin sin cos 25

A B B A B B A C ---++=-,得 ()()3

cos 1cos sin sin cos 5

A B B A B B B -+---=-????, 即()()3

cos cos sin sin 5

A B B A B B ---=-,

则()3cos 5A B B -+=-,即3

cos 5A =-. (步骤1)

()II 由3cos ,0π5A A =-<<,得4

sin 5A =,

由正弦定理,有sin sin a b A B =,所以,sin sin b A B a ==. 由题知a b >,则A B >,故π

4B =.

根据余弦定理,有(222

35255c c ??=+-??- ???

,

解得1c =或7c =-(舍去). （步骤2）

故向量BA 在BC 方向上的投影为cos 2

BA B = . （步骤3）

18．(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3,,24???这24

个整数中等可能随机产生．

（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =； （Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．

甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分）

当2100n =时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i(i 1,2,3)=的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大； （Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．

第18题图

【测量目标】选择结构的程序框图.

【考查方式】通过实际案列来考查对框图的识别。 【难易程度】较难

【试题解析】()I .变量x 是在1,2,3，……24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能.

当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故11

2

P =； 当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故213

P =; 当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故31

6

P =

. （步骤1） ()II 当n =2100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i =1,2,3)的频率如下：

为

比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. （步骤2） （3）随机变量ξ可能饿取值为0,1,2,3. 00311

20313

128124C ()(),C ()()3327339

P P =?==?=2

21330

2333122121C ()(),C ()()3393327

P P =?===

故ξ的分布列为

所以8421()01+2+3=1279927

E ξ=?

+??? 即ξ的数学期望为1. （步骤3）

19．(本小题满分12分) 如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，

12AB AC AA ==，120BAC ∠= ，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，P 是线段AD 的

中点．

（Ⅰ）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角1A A M N --的余弦值．

第19题图

【测量目标】二面角平面角的基本知识. 【考查方式】给出几何体的相关性质求相关知识. 【难易程度】较难.

【试题解析】()I 如图,在平面ABC 内,过点P 做直线l //BC ,因为l 在平面1

ABC 外,

第19题图

BC 在平面1ABC 内,由直线与平面平行的判定定理可知, l //平面1

ABC . 由已知,AB AC =,D 是BC 的中点,所以,BC AD ⊥,则直线l AD ⊥.

因为1AA ⊥平面ABC ,所以1AA ⊥直线l .又因为1,AD AA 在平面11ADD A 内,且AD 与1AA 相交,所以直线l ⊥平面11ADD A . （步骤1）

()II 解法一:

连接1A P ,过A 作1AE A P ⊥于E ,过E 作1

EF AM ⊥于F ,连接AF . 由()I 知,MN ⊥平面1AEA ,所以平面1AEA ⊥平面1A MN . 所以AE ⊥平面1A MN ,则1AM AE ⊥. 所以1A M ⊥平面AEF ,则1A M ⊥AF .

故AFE ∠为二面角1

A AM N --的平面角(设为θ). （步骤2） 设11AA =,则由12A

B A

C AA ==,120BAC ∠=

,有60BAD ∠=

,2,1AB AD ==. 又P 为AD 的中点,所以M 为AB 的中点,且1

,12

AP AM ==, 在1Rt AA P △中

, 1A P =

;在1Rt A AM △中

, 1AM =从而

,11AA AP AE A P ==

11AA AM AF A M ==

,

所以sin AE AF θ=

=

.

所以cos θ==. 故二面角1A AM N --

（步骤3） 解法二:

设11AA =.如图,过1A 作1A E 平行于11B C ,以1A 为坐标原点,分别以111,AE AD ,1AA

的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz (点O 与点1A 重合

).

第19题图

则()10,0,0A ,()0,0,1A .

因为P 为AD 的中点,所以,M N 分别为,AB AC 的中点,

故11,1,,122M N ???

? ?? ?????

,

所以11,12A M ?=????

,()10,0,1A A =

,)

NM = . （步骤1）

设平面1AA M 的一个法向量为()1111,,x y z =n ,则

1111,,A M A A ?⊥??

⊥?? n n 即11110

0A M A A ?=??=?? ，n n 故有 (

)()()1111111,,,102,,0,0,10x y z x y z ??

=???????

=?

，

从而11111

0,22

0.x y z z ++=???=?

取11x =,

则1y =,

所以()

11,=n . （步骤2） 设平面1A MN 的一个法向量为()2222,,x y z =n ,则

212,,A M NM ?⊥??

⊥?? n n 即2120,0,

A M NM ?=??=??

n n 故有(

)(

))

222222

1,,,10,2,,0,x y z x y z ??=????????=??

从而22221

022

0x y z ++=?

??=?

， 取22y =,则21z =-,所以()20,2,1n =-.（步骤3）

设二面角1

A AM N --的平面角为θ,又θ为锐角, 则

12

12cos θ=== n n n n 故二面角

1

A AM N --（步骤4） 20．(本小题满分13分) 已知椭圆C ：22

221,(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为

12(1,0),(1,0)F F -，且椭圆C 经过点41

(,)33

P ．

（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；

（Ⅱ）设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且

222

211

||||||AQ AM AN =+

，求点Q 的轨迹方程． 【测量目标】圆锥曲线中的轨迹问题. 【考查方式】给出椭圆方程求动点的轨迹方程. 【难易程度】较难.

【试题解析】122a PF PF =+==

所以，a =又由已知，1, 所以椭圆C

的离心率2

c e a =

=

(步骤1) ()II 由()I 知椭圆C 的方程为2

212

x y +=.

设点Q 的坐标为(x,y ).

(1)当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0,1),(0,1)-两点，此时Q

点坐标为

(0,2 （步骤2） (2) 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为2y kx =+.

因为M,N 在直线l 上，可设点M,N 的坐标分别为1122(,2),(,2),x kx x kx ++，则 2

2

2222

12(1),(1)AM k x AN k x =+=+. 又

2

22

22+2(1)AQ x y k x ==+（-）

由

2

2

2

211AQ

AM

AN

=

+

，得

222222

12

211

(1)(1)(1)k x k x k x =++++，即 21212

22222

1211()2212x x x x x x x x x +-=+=

① 将2y kx =+代入2

212

x y +=中，得 22(21)860k x kx +++= ② （步骤3）

由()()22

842160,k k ?=-?+?>得232

k >.

由②可知12122286

,2121

k x x x x k k +=-=++

代入①中并化简，得2

218103

x k =- ③

因为点Q 在直线2y kx =+上，所以2y k x

-=，代入③中并化简，得22

10(2)318y x --=.

由③及2

32k >，可知302x <<,

即(x ∈ .

又(0,25

-满足2210(2)318y x --=，故

.()22x ∈-

由题意，(,)Q x y 在椭圆C 内部，所以1-…y … 1 （步骤4）

又由22210(2)3183y x x --=+有

299(2)[,)54y -∈且1-...y (1)

，则1(,22y ∈.

所以点Q 的轨迹方程是2210(2)318y x --=

，其中1(,225

y ∈-

（步骤5）

21．(本小题满分14分)已知函数22,0

()ln ,0

x x a x f x x x ?++<=?>?，其中a 是实数．设

11(,())A x f x ，22(,())B x f x 为该函数图象上的两点，且12x x <．

（Ⅰ）指出函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，求21x x -的最小值； （Ⅲ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围． 【测量目标】不等式的综合应用.

【考查方式】给出函数解析式回答在各种条件下的问题. 【难易程度】较难.

【试题解析】()I 函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，单调递增区间为[1,0),(0,)-+∞（步骤1）

()II 由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为1()f x '，点B 处的切线斜率为2()f x '，

故当点A 处的切线与点B 处的切垂直时，有12()()1f x f x ''=-.（步骤2） 当0x <时，对函数()f x 求导，得()22f x x '=+. 因为120x x <<，所以12(22)(22)1x x ++=-， 所以12(22)0,(22)0x x +<+>.

因此21121

[(22)(22)]12

x x x x -=

-+++ （步骤3） 当且仅当12(22)(22)1x x ++=-，即1231

=22

x x =-且时等号成立.

所以函数()f x 的图象在点A,B 处的切线互相垂直时，21x x -的最小值为1（步骤4）

()III 当120x x <<或210x x >>时，12()(),f x f x ''≠，故.120x x <<

当10x <时，函数()

f x 的图象在点11(,())x f x 处的切线方程为

()()()21111222y x x a x x x -++=+-，即()21122y x x x a =+-+

当20x >时，函数()f x 的图象在点22(,())x f x 处的切线方程为

2221ln ()y x x x x -=

-，即22

1

ln 1y x x x =+- . （步骤5） 两切线重合的充要条件是12221

1

22ln 1x x x x a ?=+?

??-=-+?①②

由①及120x x <<知，110x -<<.

由①②得，2

211111+ln 1ln(22)122

a x x x x =-=-+-+.

设

211111

()ln

1(10)22

h x x x x =+--<<+，

（步骤6） 则1111

()201

h x x x '=-

<+. 所以11()(10)h x x -<<是减函数. 则1()(0)ln 21h x h >=--， 所以ln 21a >--.

又当1(1,0)x ∈-且趋近于1-时，1()h x 无限增大，所以a 的取值范围是(ln 21,)--+∞. 故当函数()f x 的图像在点A,B 处的切线重合时，a 的取值范围是(ln 21,)--+∞.（步骤7）