高等数学教学设计_导数

3.1导数概念单元教学设计

一、教案头

二、教学设计

3.2求导法则单元教学设计

一、教案头

二、教学设计

3.3微分单元教学设计

3 （任务2）微分的近似计算

学生总结近似计算

（1）首先要搞清楚设计的关系式，自变量和因变量

（2）x

(

)

)(

(

)

(

(x)

≈

例假设一机械正方形薄片，边长是x厘米，现在机

械薄片边长从2

x增加到2.2

x，求薄片面积的

增加。设s=2x是薄片面积，则s?=2.0)2(s'=0.8平

方厘米

例（膨胀问题）设一个铜质正方体，边长是20厘米，

因为热胀冷缩，到了夏天，经测量他的边长有20厘

米增加了0.1厘米，试问这个铜质正方体的体积膨胀

了多少？

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4 （任务3）案例应用

案例1有一个球体机械加工零件，要使他的体积从

972π立方厘米增加到973π立方厘米，试估计其半径

的增加了月多少？

案例2有一个机械零件长是365，现在要加工边

长，但是不知道将具体近似值，请计算出来。

案例3求100

)1-

3(x

y=的微分。并计算)2(f的近似

值

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作业

66页3 4

高等数学常用导数和积分公式

高等数学常用导数和积分公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：（一）含有的积分() 1.＝ 2.＝（） 3.＝ 4.＝ 5.＝ 6.＝ 7.＝ 8.＝ 9.＝（二）含有的积分10.＝11.＝12.＝13.＝14.＝15.＝16.＝17.＝18.＝（三）含有的积分19.=20.=21.= （四）含有的积分22.＝23.＝24.＝25.＝26.＝27.＝28.＝（五）含有的积分29.＝30.＝（六）含有的积分31.＝＝32.＝33.＝34.＝35.＝36.＝37.＝38.＝39.＝40.＝41.＝42.＝43.＝44.＝（七）含有的积分45.＝=46.＝47.＝48.＝49.＝50.＝51.＝52.＝53.＝54.＝55.＝56.＝57.＝58.＝

（八）含有的积分59.＝60.＝61.＝62.＝63.＝64.＝65.＝66.＝67.＝68.＝69.＝70.＝71.＝72.＝（九）含有的积分73.＝74.＝75.＝76.＝77.＝78.＝（）含有或的积分79.＝80.＝81.＝82.＝（一）含有三角函数的积分83.＝84.＝85.＝86.＝87.＝＝88.＝＝89.＝90.＝91.＝92.＝93.＝94.＝95.＝96.＝97.＝98.＝99.＝＝100.＝101.＝102.＝103.＝104.＝105.＝106.＝107.＝108.＝109.＝110.＝111.＝112.＝（二）含有反三角函数的积分（其中）113.＝114.＝115.＝116.＝117.＝118.＝119.＝120.＝121. ＝（三）含有指数函数的积分122.＝123.＝124.＝125.＝126.＝127.＝128.＝129.＝130.＝131.＝（四）含有对数函数的积分132.＝133.＝134.＝135.＝136.＝（五）含有双曲函数的积分137.＝138.＝139.＝140.＝141.＝（六）定积分142.＝＝0143.＝0144.＝145.＝146.＝＝147. ＝＝＝（为大于1的正奇数），＝1 （为正偶数），＝

高等数学-导数的概念-教案

例4求 f (x ) = sin x 的导函数 (),(+∞-∞∈x ). 解：x x f x x f x y x f x x ?????)()(lim lim )(00-+=='→?→ x x x x x ?-?+=→?sin )sin(lim 0x x x x x ????? ?? ?+=→?2sin 2cos 2lim 0 x x x x x x cos 2 2sin 2cos lim 0=???? ? ???+=→?，即： x.cos (sin x)'= 类似可得：sin x. - x)'(cos = 定义如果x x f x x f x ???) ()(lim 000-+-→存在，则称此极限值为f (x ) 在点 x 0 处的左导数，记作 f’ (x 0)；同样，如果x x f x x f x ???) ()(lim 000 -++→存在，则称此极限值为 f (x ) 在点 x 0 处的右导数，记作 f’ +(x 0) . 显然，f (x ) 在 x 0 处可导的充要条件是 f’ -(x 0) 及 f ‘ +(x 0) 存在且相等 . 定义如果函数 f (x ) 在区间 I 上每一点可导，则称 f (x ) 在区间 I 上可导. 如果 I 是闭区间[a , b ]，则端点处可导是指 f’+(a )、 f’-(b ) 存在 . 六、可导与连续的关系定理如果函数 y = f (x ) 在点 x 0 处可导, 则 f (x ) 在点 x 0 处连续，其逆不真.。 D.课堂小结一、导数的定义二、导数的几何意义三、可导与连续的关系 E.布置作业

高等数学公式导数基本公式

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 2 222122an 11cos 12sin u du dx x t u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x x x x a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin x x arc x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx x x )ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x a x a dx C x x xdx C x x xdx C x xdx C x xdx t +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln an 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

高等数学公式总结(绝对完整版).

高等数学公式大全导数公式：基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

高数导数的应用习题及答案

一、是非题：１．函数 ()x f 在 []b a , 上连续，且()()b f a f =，则至少存在一点 ()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ．错误 ∵不满足罗尔定理的条件。２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得极值．错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3 x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平行于x 轴的切线．错误 ∵曲线3 x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值．正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹．正确二、填空：１．设()x bx x a x f ++=2 ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a （ 23- ），=b （ 16 - ）． ∵()12++='bx x a x f ，当2,121==x x 时， 012=++b a ，0142=++b a ，解之得6 1 ,32-=-=b a ２．函数()() 1ln 2 +=x x f 的极值点是（ 0=x ）． ∵()x x x f 211 2 ?+= '，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0x ，()0>''x f ；0

高等数学中的导数公式和等价无穷小公式

声明：第一次弄这些，花了本人好些时间，o(∩_∩)o ，版权所有，严禁将本人的劳动成果用于商业用途。导数公式 (1) (C)'=0 (2) (x μ )'=μ1 x μ- (3) (sinX)'=cosX (4) (cosX)'=-sinX (5) (tanA)'=2 sec A (6) (cotA)'=-2 csc A (7) (secA)'=secAtanA (8) (cscA)'=-cscAcotA (9) (x a )'=x a ln a (10) (x e )'=x e (11) (㏒a x)'= 1 ln x a (12)(lnx)'= 1x (13) (arcsinX)' (14) (arccosX)'= - (15) (arctanX)'= 2 1 1X + (16) (arccotX)'=- 2 11X +10 2 2 33331lim(1)1~ (1) 123 (4) n x x x n n n n →+-+++++=

等价公式 10 1lim(1)1~ n x x x n →+- 当0x →时,ln(1+x)~x 201cos 1 lim 2 x x x →-= 当0x →时,1~x e x - 0sin lim 1x x x →= 当0x →时,1~ln x a x a - 1 lim(1)x x e x →∞+= 22221 123...(1)(21)6 n n n n ++++=++ 0tan lim 1x x x →= 22 3 3 3 3 (1)123 (4) n n n +++++= 0arcsin lim 1x x x →= 220 sin cos n n xdx xdx π π =?? 0ln(1) lim 1x x x →+= 01lim 1ln x x a x a →-=

高等数学中的求导公式

基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则设)(x u u =， )(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1=

复合函数求导法则设 ) (u f y= ，而 ) (x u? = 且 ) (u f 及 ) (x ? 都可导，则复合函数 )] ( [x f y? = 的导数为 dy dy du dx du dx = 或 ()() y f u x ? ''' =

高等数学求导公式

I.基本函数的导数 01.()0C '=； 02.()1x x μμμ-'=； 03.()sin cos x x '=； 04.()cos sin x x '=-； 05. ()2tan sec x x '=； 06.()2 cot csc x x '=-； 07.()sec sec tan x x x '=； 08.()csc csc cot x x x '=-； 09.() ln x x a a a '=； 10.()x x e e '=； 11.()1 log ln a x x a '=； 12.()1ln x x ' =； 13. ( )1 arcsin x '= ； 14.( )arccos x ' =-； 15.()2 1 arctan 1x x ' = +； 16. ()2 1 arc cot 1x x '=-+。 II.和、差、积、商的导数 01.()u v u v '''±=±； 02.()Cu Cu ''=； 03.()uv u v uv '''=+； 04.2(0)u u v uv v v v ''' -??=≠ ??? 。 III 复合函数的导数若()(),y f u u x ?==，则 dy dy du dx du dx = 或 ()()()y x f u x ?'''=。

● 计算极限时常用的等价无穷小 0lim sin x x x → 0lim tan x x x → ()2 01lim 1cos 2 x x x →- ()0 lim 1x x e x →- ()0lim ln 1x x x →+ 01 1x x n →- ● 两个重要极限: 0 sin lim 1x x x →= 1lim 1x x e x →∞?? += ??? ● 若 ()()lim 0, lim f x A g x B =>=，则 () () lim g x B f x A = ● 罗尔定理：()0F x '≠若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则存在一(),a b ξ∈，使()0f ξ'=。 ● 拉格朗日中值定理：若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则存在一 (),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-。 ● 柯西中值定理：若()f x 、()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0 F x '≠则存在一(),a b ξ∈，使得0x x δ-<，则()()()()() () f b f a f F b F a F ξξ'-= '-。 ● 罗必达法则：若（1）()()()() lim lim 0()x a x a f x F x →∞→∞==∞或或或，（2）()f x '及()F x '在00x x δ<-<（或x X >）处存在，且()0F x '≠，（3）() () lim () x a f x F x →∞''或存在（或∞），则()() ()()lim lim ()() x a x a f x f x F x F x →∞→∞'='或或。 ● 泰勒公式： ()()()()()()()()()()200000001!2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ 其中：()()()()()11 01! n n n f R x x x n ξ++=-+ ,()0,x x ξ∈。

高等数学中导数的求解及应用

高等数学中导数的求解及应用摘要：高等数学是一门方法学科，因此可以说是许多专业课程的基础。然而导数这一章节在高等数学中是尤为重要的，在高等数学的整个学习过程中，它起着承前启后的作用，是学习高等数学非常重要的任务。本文详细地阐述了导数的求解方法和在实际中的应用。关键词：高等数学导数求解应用导数的基本概念在高等数学中地位很高，是高等数学的核心灵魂，因此学习导数的重要性是不言而喻的。然而这种重要性很多同学没有意识到，更不懂得如何求解导数以及运用导数来解决有关的问题。我通过自己的学习和认识，举例子说明了几种导数的求解方法以及导数在实际中的应用。一、导数的定义 1.导数的定义设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果自变量x在x0的改变量为△x（x0≠0，且x0±△x仍在该邻域内）时，相应的函数有增量△y=f（x0+△x）- f（x0）。若△y与△x之比，当△x→0时，有极限lim ＝lim存在，就称此极限为该函数y=f(x)在点x0的导数，且有函数y=f(x)在点x=x0处可导，记为f`(x0)。 2.导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数在几何上表示曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处的切线斜率，即f`（x0）=tan，其中是切线的倾角。如果y=f(x)在点x0处的导数为无穷大，这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置，即曲线 y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处具有垂直于x轴的切线x=x0。根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可知曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处的切线方程。二、导数的应用 1.实际应用假设某一公司每个月生产的产品固定的成本是1000元，关于生产数量x的可变成本函数是0.01x2+10x元，若每个产品的销售价格是30元，求：总成本的函数，总收入的函数，总利润的函数，边际收入，边际成本及边际利润等为零时的产量。解：总的成本函数是可变成本函数和固定成本函数之和：总成本的函数C(x)=0.01x2+10x+1000 总收入的函数R(x)=px=30x（常数p是产品数量）总利润的函数I(x)=R(x)-C(x)=30x-0.01x2-10x-1000=-0.01x2+20x-1000 边际收入R(x)Γ=30 边际成本C(x)=0.02x+20 边际利润I(x)=-0.02x+20 令I(x)=0得-0.02x+20=0，x=1000。也就是每月的生产数量为1000个时，边际利润是零。这也就表明了，当每月生产数目为1000个时，利润也不会再增加了。 2.洛必达法则的应用如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f（x）与F（x）都趋于零或都趋于无穷大，那么极限lim可能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式，分别简记为或。对于这类极限，即使它存在也不能用“商的极限等于极限的商”

《高等数学》训练题：导数的应用及答案

1、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（）． ]1,1[,)()](2 ,23[,sin )()](4,2[,)4()()](0,2[,1)()(2-=-=--=-= x x f D x x f C x x f B x x f A π π 2、函数f(x)=sinx 在[0，π]上满足罗尔定理结论的ξ=（）．（A ） 0（B ） 2 π（C ）π （D ）23π 3、下列函数在[1，e]上满足拉格朗日定理条件的是（）．（A ）)ln(ln x （B ） x ln （C ）)2ln(x - （D ） x ln 1 4、函数f(x)=2x 2-x+1在区间[-1，3]上满足拉格朗日定理的ξ等于（）． (A) 4 3- (B)0 (C) 43 (D) 1 5、函数x x y 4 + =的单调减区间为（）． (A)(,2),(2,)-∞-+∞ (B) )2,2(- (C) (,0),(0,)-∞+∞ (D) (2,0),(0,2)- 6、若x 0为f(x)的极小点，则下列命题正确的是（）． (A) 0)(0='x f (B) 0)(0≠'x f (C) )(0x f '不存在 (D)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 7、若在（a ，b ）内，0)(,0)(<''<'x f x f ，则f(x)在（a ，b ）内为（）． (A)单调上升而且是凸的(B) 单调上升而且是凹的(C) 单调下降而且是凸的(D) 单调下降而且是凹的 8、曲线29623++-=x x x y 的拐点是（）．（A ）（1，6）（B ）（2，3）（C ）（2，4）（D ）（3，2） 9、()y f x =在(a,b)内可导，且12a x x b <<<，则下列式子正确的是（）．（A ）在12(,)x x 内只有一点ξ，使 2121 ()() ()f x f x f x x ξ-'=-成立；（B ）在12(,)x x 内任一点ξ处均有2121()()()f x f x f x x ξ-'=-成立；（C ）在1(,)a x 内至少有一点ξ，使 11()() ()f x f a f x a ξ-'=-成立；（D ）在12(,)x x 内至少有一点ξ，使 2121 ()() ()f x f x f x x ξ-'=-成立． 10、求下列极限时，（）可用罗必达法则得出结果．（A ）sin lim sin x x x x x →∞- +；（B ）22sin lim x x x →∞；（C ）lim x →+∞；（D ）lim (arctan )2x x x π→+∞-． 11、下列命题中正确的是（）．（A ）若0x 为()f x 的极值点，则必有0()0f x '=；（B ）若0()0f x '=，则0x 必为()f x 的极值点；（C ）若()f x 在(a,b)内存在极大值，也存在极小值，则极大值必定大于极小值；

最全高等数学导数和积分公式汇总表

高等数学导数及积分公式汇总表一、导数公式 1．幂函数 0='c 1)(-='n n nu u 2．指数函数 a a a u u ln )(=' e e e u u ln )(=' 3．对数函数 a u a u ln 1 )(log =' u u 1)(ln = ' 4．三角函数 u u cos )(sin =' u u sin )(cos -=' u u 2sec )(tan =' u u 2csc )(cot -=' u u u tan sec )(sec =' u u u cot csc )(csc -=' 5．反三角函数 2 11)(arcsin u u -= ' 2 11)(arccos u u -- =' 11)(arctan u u +=' 11)cot (u u arc +-=' 6．其他 1='u 2 11)(u u -=' u u 21)(= ' 2 3 21 1 )( u u - =' 2 2 )(22a u u a u ±= '± 二、积分公式 1．幂函数 C du =?0 C u du u n n n += ++?11 1 2．指数函数 C e du e u u +=? C du a a a u u += ?ln 3．有关对数 C u du +=? ln 4．三角函数 C u udu +-=?cos sin C u udu +=?sin cos C u udu +=?tan sec 2 C u udu +-=?cot csc 2 C u udu u +=?sec tan sec C u udu u +-=?csc cot csc C u udu +-=?cos ln tan C u udu +=?sin ln cot C u u udu ++=?tan sec ln sec C u u udu +-=?cot csc ln csc 5．反三角函数 C a u u a u du +±+=? ±22ln 2 2 C a u u a du +=?-arcsin 2 2 C u a u a a u a du += -+-?ln 212 2 C a u a u a du +=? +arctan 12 2 6．其他 C u u du +-=? 12 C u du u +=? 23 3 2 C u du u +=? 2 1 21 C u u udu +-=? -222 2 C u u udu ++=? +2 2111ln 2

高数-导数的概念、定义及求法

导数的概念在学习到数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。例：设一质点沿x 轴运动时，其位置x是时间t的函数，，求质点在t 0的瞬时速度？我们知道时间从t 有增量△t时，质点的位置有增量，这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为： .若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在 t 0时的瞬时速度。我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t 时的瞬时速度，即：质点在t 时的瞬时速度= 为此就产生了导数的定义，如下：导数的定义：设函数在点x 0的某一邻域内有定义，当自变量x在x 处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函数有增量，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为在x 处的导数。记为：还可记为：，函数

处存在导数简称函数在点x 在点x 处可导，否则不可导。若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数的导函数。注：导数也就是差商的极限左、右导数前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。若极限存在，我们就称它为函数处的左导数。若极限在x=x 存在，我们就称它为函数在x=x 处的右导数。注：函数在x 处的左右导数存在且相等是函数

在x 处的可导的充分必要条件函数的和、差求导法则函数的和差求导法则法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).用公式可写为：。其中u、v为可导函数。例题：已知，求解答：例题：已知，求解答：函数的积商求导法则常数与函数的积的求导法则法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成：例题：已知

高数公式大全

高等数学公式汇总第一章一元函数的极限与连续 1、一些初等函数公式： sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1 cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβ αβ αβαβαβαββα αβαβαβαβαβαβ ±=±±=±±= ??±= ±±=±±=±m m m 和差角公式： sin sin 2sin cos 22sin sin 2cos sin 22cos cos 2cos cos 22cos cos 2sin sin 22 αβ αβ αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式： 1 sin cos [sin()sin()] 21 cos sin [sin()sin()]21 cos cos [cos()cos()] 21 sin sin [cos()cos()] 2 αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式： 2222222 222sin 22sin cos cos 22cos 1 12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1 cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααα αααααααα ==-=-=-= --= ==+= =-=+ 倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1 sin 2 cos 2 1cos sin tan 2 sin 1cos 1cos sin cot 2 sin 1cos x x x x ch x sh x ααααααα ααααα αα +=+=+=-===-===++=== -半角公式：

同济大学高等数学《导数及其应用》教案

第9次课2学时第二章导数与微分导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。导数反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度，而微分则指明当自变量有微小变化时函数大体上变化多少，它从根本上反映了函数的变化情况。本章主要学习和讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法，以后将陆续的介绍它们的用途。

§2、1导数的概念一、引例 1、切线问题：切线的概念在中学已见过。从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。准确地说，曲线在其上某点P 的切线是割线PQ 当Q 沿该曲线无限地接近于P 点的极限位置。设曲线方程为 )(x f y =，设P 点的坐标为),(00y x p ，动点Q 的坐标为),(y x Q ，要求出曲线在P 点的切线，只须求出P 点切线的斜率k 。由上知，k 恰好为割线PQ 的斜率的极限。我们不难求得PQ 的斜率为： 0) ()(x x x f x f --；因此，当Q P →时，其极限存在的话，其值就是k ，即 0) ()(lim x x x f x f k x x --=→。若设α为切线的倾角，则有αtan =k 。 2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为)(t s s =（t 表示时刻），又设当t 为0t 时刻时，位置在)(0t s s =处，问：质点在0t t =时刻的瞬时速度是多少？为此，可取0t 近邻的时刻t ，0t t >，也可取0t t <，在由0t 到t 这一段时间内，质点的平均速度为 00)()(t t t s t s --,显然当t 与0t 越近，用0 0) ()(t t t s t s --代替0t 的瞬时速度的效果越佳，特别地，当 0t t →时， 0) ()(t t t s t s --→某常值0v ，那么0v 必为0t 点的瞬时速度，此时，二、导数的定义综合上两个问题，它们均归纳为这一极限0 0) ()(lim x x x f x f x x --→（其中0x x -为自变量x 在0x 的增量，)()(0x f x f -为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲的导数。定义：设函数 )(x f y =在0x 点的某邻域内有定义，且当自变量在0x 点有一增量x ?（x x ?+0仍在该邻域中）时，函数相应地有增量y ?，若增量比极限：x y x ??→?0lim 即0 0)()(lim 0x x x f x f x x --→存在，就称函数 y f x =（）在x 0处可导，并称这个极限值为)(x f y =在0x x =点的导数，记为)(0x f '， 0x x y ='， x x dx dy =或 x x dx df =。即0 00) ()(lim )(0 x x x f x f x f x x --='→等等，这时，也称)(x f y =在0x x =点可导或有导数，导数存在。

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)

第三章微分中值定理与导数的应用一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（）是否为极值点不能断定的极值点不是　的极小值点是的极大值点是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是（） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（）． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x)π=+ =（） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (- -- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 3、的凸区间为曲线 x 3 e y x += _____________________ ．

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高等数学公式大全微分方程的相关概念：即得齐次方程通解。，代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。得：的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程　或　一阶微分方程：u x y u u du x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x y y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y -=∴=++====+====+='??)()(),(),()()()()()()(0 ),(),(),(???一阶线性微分方程： ) 1,0()()(2))((0)(,0)() ()(1)()()(≠=+? +?=≠? ===+?--n y x Q y x P dx dy e C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dx dy n dx x P dx x P dx x P ，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：全微分方程：通解。应该是该全微分方程的，，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果C y x u y x Q y u y x P x u dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P =∴=??=??=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),( 二阶微分方程：时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(22≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy x P dx y d

同济第六版《高等数学》教(学)案WORD版_第03章_中值定理与导数的应用

第三章中值定理与导数的应用教学目的： 1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。 3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。 4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 6、知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点： 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理； 2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法； 3、函数图形的凹凸性； 4、洛必达法则。教学难点： 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用； 2、极值的判断方法； 3、图形的凹凸性及函数的图形描绘； 4、洛必达法则的灵活运用。 §3. 1 中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0. 罗尔定理如果函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )可导, 且有f (a )=f (b ), 那么在(a , b )至少在一点 , 使得f '()=0. 简要证明: (1)如果f (x )是常函数, 则f '(x )≡0, 定理的结论显然成立. (2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(a , b )至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点∈(a , b ). 于是 0) ()(lim )()(≥--='='- →- ξξξξξx f x f f f x , 0) ()(lim )()(≤--='='+ →+ ξ ξξξξx f x f f f x ,

高等数学求导公式打印版

I.基本函数的导数 01.()0C '=； 02.()1x x μμμ-'=； 03.()sin cos x x '=； 04.()cos sin x x '=-； 05. ()2tan sec x x '=； 06.()2 cot csc x x '=-； 07.()sec sec tan x x x '=； 08.()csc csc cot x x x '=-； 09.() ln x x a a a '=； 10.()x x e e '=； 11.()1 log ln a x x a '=； 12.()1ln x x ' =； 13. ( )1 arcsin x '=； 14.( )arccos x ' =； 15.()21 arctan 1x x '= +； 16.()2 1 arccot 1x x '=- +。 II.和、差、积、商的导数 01.()u v u v '''±=±； 02.()Cu Cu ''=； 03.()uv u v uv '''=+； 04.2 (0)u u v uv v v v ''' -??=≠ ??? 。 III 复合函数的导数若()(),y f u u x ?==，则 dy dy du dx du dx = 或 ()()()y x f u x ?'''=。

● 计算极限时常用的等价无穷小 0limsin x x x →: 0lim tan x x x →: ()2 01lim 1cos 2x x x →-: ()0lim 1x x e x →-: ()0limln 1x x x →+: 01 1x x n →-: ● 两个重要极限: 0sin lim 1x x x →= 1lim 1x x e x →∞?? += ??? ● 若 ()()lim 0, lim f x A g x B =>=，则 () () lim g x B f x A = ● 罗尔定理：()0F x '≠若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则存在一 (),a b ξ∈，使()0f ξ'=。 ● 拉格朗日中值定理：若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则存在一(),a b ξ∈，使得 ()()()()f b f a f b a ξ'-=-。 ● 柯西中值定理：若()f x 、()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0F x '≠则存在一 (),a b ξ∈，使得0x x δ-<，则 ()()()()() () f b f a f F b F a F ξξ'-='-。 ● 罗必达法则：若（1）()()()() lim lim 0()x a x a f x F x →∞→∞==∞或或或，（2）()f x '及()F x '在00x x δ<-<（或x X >）处存在，且()0F x '≠，（3）() () lim () x a f x F x →∞''或存在（或∞），则()() () ()lim lim ()() x a x a f x f x F x F x →∞→∞'='或或。 ● 泰勒公式： ()()()()()()()()()()200000001!2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+L 其中：()()() ()()11 01! n n n f R x x x n ξ++= -+ ,()0,x x ξ∈。 ● 马克劳林公式： ()()()()()()()200001!2!! n n n f f f f x f x x x R x n '''=+++++L